2026年南京市中考数学高频易错题精选练习（一）

**基本信息** 聚焦南京中考高频易错点，以题载法构建“概念辨析-规律探究-综合应用”三阶训练体系，强化数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|8题（如1、16、24）|判定定理逆向辨析、旋转性质迁移、新定义构图|从四边形判定到相似三角形，构建“性质-判定-应用”逻辑链| |代数运算|10题（如2、3、11）|运算法则易错点对比、方程思想应用|从基础运算到代数式变形，形成“概念-法则-应用”递进| |函数与统计|7题（如4、22、23）|函数图像分析、统计量计算技巧|函数性质与统计图表结合，体现“数据-模型-决策”思维| |创新题型|2题（24、26）|新定义转化、动态几何最值|融合几何与代数，培养数学抽象与创新意识|

2026年南京市中考数学高频易错题精选练习（一） 一、选择题 1．下列命题是假命题的是（    ） A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 2．若的相反数是a，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算结果与不相等的是（  ） A． B． C． D． 4．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则下列说法错误的是（　　） A．该组数据的众数是7环 B．该组数据的平均数是7.5环 C．该组数据的中位数是7.5环 D．该组数据的极差是5环 5．已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2025个等腰直角三角形的面积是（    ） A．4050 B． C． D． 二、填空题 7．计算：_______． 8．将直线向下平移3个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是______． 9．若有意义，则________． 10．林业产权制度改革后，遂川生态环境明显改善，2019年遂川县第七次森林资源二类调查数据显示，全县林地总面积达万公顷，请将数用科学记数法表示为__________． 11．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根__________． 12．因式分解：______；______． 13．某小区建一个长方形草地，其周长为70米，对角线长为25米．若设长方形草地长为x米，则根据题意可列方程为______． 14．已知正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若，则k的值为________． 15．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则___________． 16．如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为______，的长的最小值为______． 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中． 18．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，，则的长为_____． 20．一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同． （1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率； （2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率． 21．DeepSeek是深度求索公司开发的人工智能助手，用户可以通过调用使用其服务．API调用费用由输入令牌和输出令牌的数量决定（令牌数是文本长度的度量，每千令牌为计费单位）．小明在一次调用中使用了千输入令牌和千输出令牌，共付费元；在另一次调用中使用了千输入令牌和千输出令牌，共付费元． (1)求每千输入令牌和每千输出令牌的收费各是多少元？ (2)小明计划再次进行调用，预计使用千输出令牌和千输入令牌，该次调用的总费用为元，求小明最多需要支付多少元？ 22．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)根据函数图象完成以下问题 ①当时，的取值范围为______． ②当时，的取值范围为______； 23．某学校为了了解本校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查了　 　名学生，扇形统计图中a的值为　 　； (2)请根据以上信息，直接在答题卡中补全条形统计图； (3)请直接写出本次调查获取的学生一周阅读的总时间数据的众数为　 　h，中位数为　 　，方差为　 　． (4)若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生一周阅读的时间小于6小时． 24．定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形；如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上．若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3．已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接．若的面积为，直接写出的长． 25．已知，为的直径，弦交于点E，连接，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点B作的弦，过点O作于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，若，的面积为，求线段的长． 26．有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． （1）当a＝﹣，b＝，c＝5，请判断四边形COBD是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由． （2）在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得S△ABE＝，若存在，请求出点E的横坐标，若不存在，请说明理由． （3）四边形COBD为“乐学四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足： ①a＜0，ab≠0，c＝2； ②△ABD为等腰直角三角形； 点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且t＝y0﹣x0．若t≤m+恒成立，求m的最小值． 27．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的；（，，的对应点分别为，，） (2)以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出；（，，的对应点分别为，，） (3)直接写出的外心坐标． 参考答案 1．D 【分析】根据正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】A：是真命题，是正方形的判定定理； B：是真命题，是矩形的判定定理； C：是真命题，是平行四边形的判定定理； D：不正确，是假命题，对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理，熟练掌握图形的判定定理是解题的关键． 2．A 【分析】此题考查求一个数的相反数．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：若的相反数是a，则． 故选：A． 3．C 【分析】根据同底数幂的乘法公式依次算出每个选项的结果即可. 【详解】A. ，正确；     B. ，正确；   C. ，错误；     D. ，正确； 故选C. 【点睛】此题主要考查同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键. 4．B 【分析】本题考查求众数，平均数，中位数和极差，根据相关数据的确定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、7环的人数最多，故众数为7环，原说法正确，不符合题意； B、该组数据的平均数是环，原说法错误，符合题意； C、第10个和第11个数据分别为：，中位数为：环，原说法正确，不符合题意； D、该组数据的极差是环，原说法正确，不符合题意； 故选B． 5．B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了坐标规律题，等腰三角形的性质，勾股定理第二个知识，根据图形找出一般规律是解题关键．根据题意求出每个三角形的面积，从而得出第个等腰直角三角形的面积为，即可求解． 【详解】解：， 等腰直角三角形①的面积为， ， 等腰直角三角形②的斜边长为， 等腰直角三角形②的直角边长为， 等腰直角三角形②的面积为； ， 等腰直角三角形③的边长为， 等腰直角三角形③的面积为； ， 等腰直角三角形④的边长为， 等腰直角三角形④的面积为； …… 观察发现，第个等腰直角三角形的面积为， 第2025个等腰直角三角形的面积是， 故选：C 7． 【分析】直接根据二次根式的加法运算计算即可． 【详解】解：． 8．/ 【分析】根据一次函数图象平移法则即可求解． 【详解】解：根据一次函数的平移法则可知: 将直线向下平移3个单位，得到; 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟知一次函数图象平移法则：“上加下减，左加右减”上下指函数值的加减，左右指自变量x的加减． 9． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得且，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 10． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11．4 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为．另一个根为， ∴， ∴， 故答案为：4． 12． 【分析】根据提公因式法和公式法求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查因式分解，熟记提公因式法和公式法是关键． 13． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，解答本题的关键是找出题中的等量关系；首先根据长方形周长计算公式，结合已知表示出长方形的宽；接下来根据直角三角形勾股定理，结合已知与上一步结论列方程即可． 【详解】解：∵长方形草地长为x米，周长为70米， ∴宽（米）， 又∵对角线长为25米， ∴可列方程为，即， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，两点距离计算公式，联立两函数解析式求出点A和点B坐标，再利用两点距离计算公式得到，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：联立， 解得或， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或 当时，，，故舍去， 故 故答案为：． 15． 【分析】由题意△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形）=S十二边形-S八边形，由此计算即可． 【详解】解：如图，由题意，△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形） =S十二边形-S八边形 =12××1×1×sin30°-8××1×1×sin45° =3-2． 故答案为：3-2． 【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16． / 2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由旋转的性质可得，，则，要使的值最小，即要使的值最小，故当，，三点共线时，的值最小；连接，可证明，得到，则线段的长的最小值即为线段的长的最小值，故当，，三点共线时，最短，即此时最短，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∴要使的值最小，即要使的值最小， ∵， 如图1，当，，三点共线时，的值最小． ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴的长的最小值为， ∴的长的最小值为． 如图2，连接， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长的最小值即为线段的长的最小值． ∴当，，三点共线时，最短，即此时最短， 在中，， ∴的长的最小值为． 故答案为：；2． 17．， 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再代值计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 18．，数轴见解析 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 【点睛】在数轴上表示解集时要注意是否包括x，若包括则x在该点是实心的，反之x在该点是空心的． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，，证出四边形是平行四边形，再结合即可得证． （）由（）知四边形 是矩形，得到，由角平分线的性质得到，结合平行线的性质得到，求出长，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴； ∵， ∴ 四边形是平行四边形； ∵，即， ∴ 平行四边形是矩形． （2）解：如图， ∵，， 在 中，， 由（）知四边形 是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 20．（1）从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是；（2）这个两位数不大于32的概率为． 【分析】(1)、根据题意可知：共有两张卡片写有数字1，然后根据概率的计算法则得出答案； (2)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1 ∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是 （2）组成的所有两位数列表为： 十位数 个位数 1 2 3 4 1 11 21 31 41 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 或列树状图为： ∴这个两位数不大于32的概率为． 【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，注意树状图与列表可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，，解题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与可能出现的总结果之比． 21．(1)每千输入令牌收费元，每千输出令牌收费元 (2)小明最多需要支付元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的最值问题，掌握好相关知识是关键． （1）设每千输入令牌收费元，每千输出令牌收费元，根据题意可列方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出与的关系式，结合一次函数的增减性和的取值范围求出的最大值． 【详解】（1）解：设每千输入令牌收费元，每千输出令牌收费元， 根据题意，得：， 解得：， 答：每千输入令牌收费元，每千输出令牌收费元． （2）解：根据题意，得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值． 答：小明最多需要支付元． 22．(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式变形、二次函数图象的性质（与轴的交点、开口方向、顶点坐标）．熟练掌握配方法转化二次函数形式、结合函数图象分析函数值的取值范围是解题的关键． （1）通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式； （2）①根据函数图象，找出对应的取值范围；②结合函数图象，确定时的最大值和最小值，从而得到取值范围． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵二次函数的图象与轴交点为、，且抛物线开口向上， ∴当时，的取值范围为． 故答案为：． ②∵二次函数顶点为（开口向上，此处取最小值）， 当时，； 当时，， ∴在时，的最大值为，最小值为， ∴的取值范围为． 故答案为：． 23．(1)50、30 (2)见解析 (3)6， 6小时，0.8小时2 (4)300 【分析】（1）由阅读时间为4小时的人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得a的值． （2）总人数乘以阅读时间为7小时的人数对应的百分比可得答案． （3）依据众数、中位数和方差的定义求解即可． （4）总人数乘以样本中一周阅读的时间小于6小时人数所占比例即可 【详解】（1）本次调查的总人数为5÷10％＝50（名）， a%=1-(10%+10%+50%)=30%, 即a＝30， 故答案为：50、30； （2）7小时对应人数为5030％＝15（名）， 补全图形如下： （3）学生一周阅读的总时间数据中6小时出现次数最多，所以众数为6小时； 中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为6小时、6小时，所以这组数据的中位数为6小时；这组数据的平均数为（小时），所以这组数据的方差为（小时2）， 故答案为：6， 6小时，0.8小时2 （4）估计该校一周阅读的时间小于6小时的人数为（名） 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 24．（1）见解析（答案不唯一）；（2）是；理由见解析；（3） 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，可知为的直角边，且两条直角边之比为，则可找出符合要求的点D； （2）由角平分线的定义得，则，从而得出，即可证明结论； （3）作于点M，根据相似三角形的性质可得，再利用锐角三角函数得，从而得出，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1所示（答案不唯一）： （2）是四边形的“相似对角线”，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）如图3，作于点M， ∵，平分， ∴． 又∵是四边形的“相似对角线”， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，理解“相似对角线”的含义是解题的关键． 25．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，结合已知可得，利用垂径定理即可得出结论； （2）通过证明即可得出结论； （3）过点H作与点M，设，则，，利用勾股定理即可表示出，推出，得到，推出，得到，即可解出，，利用三角形面积解出x的值，利用勾股定理即可求出，进一步求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， 点B为的中点， ； （2）， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点H作与点M， 设，则，， 即， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 即， 解得：或（负值舍去）， ，， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． 26．（1）四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”，理由见解析；（2）存在，点E的横坐标为4+4；（3） 【分析】（1）先求得A（，0），B（，0），C（0，5），D（4，8），由勾股定理得CD＝5，运用新定义“乐学四边形”，“善思线段”即可得出答案． （2）过点E作EH⊥x轴于点H，连接AE，BE，利用，求出EH，令y＝2，得，解方程即可． （3）在抛物线y＝ax2+bx+2中，顶点D的坐标为（，），C（0，2），根据CD＝OC．可得（﹣0）2+（﹣2）2＝22①，根据△ABD为等腰直角三角形，可得②，联立①②，且ab＜0，解得a＝，b＝，得出抛物线解析式为，进而可得，运用二次函数性质可得：当x0＝时，t有最大值，再结合题意求解即可得出答案． 【详解】（1）四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”． 理由如下： 当a＝，b＝，c＝5时，， 令y＝0，得， 解得：x1＝，x2＝， 令x＝0，得y＝5， ∴A（，0），B（，0），C（0，5）， ∵， ∴顶点D（4，8）， ∴OC＝5， ∵CD＝ ∴OC＝CD， ∴四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”． （2）存在．点E的横坐标为． 过点E作EH⊥x轴于点H，连接AE，BE， 则， ∵AB＝-＝， ∴EH＝2， ∵点E在第一象限内， ∴点E的纵坐标为2， 令y＝2，得， 解得：x1＝，x2＝（舍去）， ∴点E的横坐标为． （3）在抛物线y＝ax2+bx+2中，顶点D的坐标为（，），C（0，2）， ∵CD＝OC． ∴CD2＝OC2． ∴（﹣0）2+（﹣2）2＝22①， ∵△ABD为等腰直角三角形，过点D作DK⊥AB于点K， ∴DK＝AB， 在y＝ax2+bx+2中，令y＝0，得ax2+bx+2＝0， 解得：x1＝，x2＝， ∴A（，0），B（，0）， ∴AB＝﹣＝， ∵DK＝， ∴②， 联立①②，且ab＜0， 得a＝﹣，b＝， ∴抛物线解析式为， ∴， ∴当x0＝﹣时，t有最大值， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴＝， ∴m的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图像和性质，函数的思想求最值，新定义，等腰直角三角形性质，勾股定理等，解题关键是熟练掌握二次函数图像和性质，理解并运用新定义． 27．(1)见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了在平面直角坐标系内画轴对称图形，在平面直角坐标系内画旋转后的图形，勾股定理，作已知线段的垂直平分线等知识点，解题的关键是根据轴对称图形、旋转对称的意义找出对应点． （1）分别作出关于轴对称的对应点，，，再顺次连结得到； （2）以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到三个顶点对应点，，，再顺次连结得到； （3）根据三角形的外心的意义，找出与的垂直平分线交点，再写出其坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3）如图，分别作，的垂直平分线，，直线与交点为的外心， ∴的外心的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $