2026年南京市中考数学高频易错题精选练习（二）

**基本信息** 聚焦中考高频易错点，以题载法构建代数几何综合突破体系，强化数学思维与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|6题|函数定义域分析、幂运算公式、科学记数法|从概念（自变量取值）到运算（同底数幂）再到应用（科学记数）| |几何推理|8题|平行线判定、三角形全等/相似、圆切线性质|从图形性质（平行线）到证明方法（全等）再到综合应用（动态几何）| |综合应用|5题|统计分析、解直角三角形、二次函数变换|结合实际情境（测量、家务劳动），体现模型意识与数据观念|

2026年南京市中考数学高频易错题精选练习（二） 一、选择题 1．在关系式中，自变量的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 2．表示a，b两数的点在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，则将直线绕着点B逆时针旋转后与x轴交点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 5．用边长相同的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形在一起组合，不能铺满地面的是（    ） A．正三角形和正四边形 B．正三角形和正六边形 C．正四边形和正六边形 D．正四边形和正八边形 6．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算：m·m2·m9= ________________． 8．__________ 9．不等式组所有整数解的积是________． 10．月球的平均亮度只有太阳的0.00000214，数据0.00000214用科学记数法可表示为______． 11．某校为了解七年级500名学生身高情况．随机抽取了100名学生调查得到如图所示身高频数分布直方图，那么该校七年级学生身高在范围的大约有_______人． 12．在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是________． 13．如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度． 14．如图，在中，，，，按下列步骤作图： ①在和上分别截取、，使． ②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于 ③作射线交于点．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是________________ ． 15．某工人需要用撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．当动力臂为，撬动大石头至少需要动力．若要使动力不超过的一半，则关于动力臂至少要加长________． 16．已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有__________． 三、解答题 17．化简：． 18．（1）计算：． （2）解方程组：． 19．已知整数．满足． (1)求证：为正数； (2)若为偶数，判断是奇数还是偶数，并说明理由． 20．小榕同学将宋、元、明、清四个朝代的名称分别写在四张完全相同的卡片的正面，并将卡片背面朝上随机放好 (1)小闽同学从中随机抽取一张，恰好卡片上写着是“宋”字的概率是__________； (2)把这四张卡片分成两组，每组两张．求卡片上写着“清”、“明”两字分在同一组的概率． 21．图，点C是半圆O的弧的中点，点D在的延长线上，过D作半圆O的切线交的延长线于点E，切点为F，连接交于点G． (1)证明：； (2)若，求的长． 22．如图，是的一条角平分线，交于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，当______度时，四边形为正方形（直接填空）． 23．学习了三角函数测高之后，64中学数学老师带领九三班学生对本校凉亭进行测高，经询问后勤老师得知，亭子最顶端高，学生在点D处测得亭子顶端点的仰角，测得点的仰角． (1)请根据测量数据求出凉亭的高度．（结果精确到．参考数据：， (2)经过计算发现结果与学校留档记录的真实高度稍有出入，请说出一条减少误差的建议． 24．某校开展八、九年级家务劳动专项测试，测试成绩满分为分．分及分以上为优秀，从八、九两个年级各随机抽取名学生的测试成绩作为样本，并绘制了两幅统计图，部分信息如下： 八、九年级学生测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 八 九 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上表中，的值； (2)根据上述样本数据，你认为哪个年级学生家务劳动专项测试成绩较好？请说明理由（写出条理由即可）； (3)该校八、九年级各有名学生参加了此项测试，根据样本估计八、九年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数一共有多少人？ 25．已知：在中，弦交于点E，连接，点E在弦的垂直平分线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是上一点，点B是的中点，点M在上，连接交于点G，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点N，连接，过点B作于点B，交于点K，当时，求线段的长． 26．如图，在中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P不与点B重合时，过点P作于点Q，将点Q绕点P逆时针旋转得到点M，连结．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长； (2)连结，则的值为_____________； (3)当与的重叠部分是轴对称图形时，求t的取值范围； (4)取的中点E，连结，当与的一条边垂直时，直接写出t的值． 27．在平面直角坐标系中，是关于自变量的函数．给定一个实数，构造一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的“界变构函数”．例如：当时，一次函数的“1界变构函数”为． (1)求一次函数的“3界变构函数”． (2)点在反比例函数的“0界变构函数”上，求的值． (3)已知关于的二次函数，点在该二次函数的“界变构函数”上． ①求的值； ②当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，求的取值范围． 参考答案 1．B 【分析】此题考查了函数自变量有意义的条件，根据关系式中不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得：，     故选：． 2．B 【分析】先根据a、b两点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】由图可知，，， A：且 ，故本选项不合题意； B： ，故本选项正确； C： ，故本选项不合题意； D： ，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是数轴、绝对值的意义、有理数的加法法则、有理数的乘法法则等知识点，难度一般．解题的关键是根据a、b两点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小． 3．B 【分析】设直线绕着点B逆时针旋转后与x轴交于点C，过点C作于点D，则，，可得，再可得，，证明，可得，设，则，，在中，可得，可得，可得，的长，可求得，即可得点的坐标． 【详解】解：如图，设直线绕着点B逆时针旋转后与x轴交于点C，过点C作于点D，则，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B， 当时，；当时，，则， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点的横坐标是． 4．B 【分析】本题考查了平行投影，勾股定理，矩形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，，则易知四边形是矩形，故，然后根据勾股定理，角所对直角边是斜边的一半即可求解，画出示意图，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】如图，是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵太阳光线与地面成的角， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了平面镶嵌，先算出每个多边形的内角，正多边形的组合能否铺满地面，解题的关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，解题的关键是掌握平面镶嵌定义． 【详解】解：、正三角形的每个内角是，正四边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满地面，不符合题意； 、正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满地面，不符合题意； 、正四边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，， ∴，显然取任何整数时，不能得正整数，故不能铺满，符合题意； 、正四边形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满地面，不符合题意， 故选：． 6．C 【分析】本题考查了平行线的判定， 利用直线，形成的内错角相等、同位角相等，或同旁内角互补对选项逐个分析即可． 【详解】解：A． ∵，是直线，形成的同位角， ∴可判断，故不能判断； B． ∵，是直线，形成的内错角， ∴可判断，故不能判断； C． ∵，直线，形成的同旁内角， ∴， ∴， 故可判定； D． ∵，是直线，形成的同位角， ∴可判断，故不能判断； 故选∶C． 7．m12 【分析】利用同底数幂乘法的运算法则进行计算即可得. 【详解】m·m2·m9=m1+2+9=m12， 故答案为m12. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，灵活应用运算法则是解题的关键. 8．6 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和平方差公式． 利用平方差公式及二次根式的运算法则进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：6． 9．12 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，找出解集中的所有整数解，再计算整数解的乘积即可． 【详解】解：解不等式 ，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为 ， 所有整数解的积为 ． 10． 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：0.00000214用科学记数法可表示为， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了频数分布直方图以及用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． 用乘以身高在的占比即可求解． 【详解】解：由题意得，（人）， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了配方法的运用，二次函数的性质．根据题意得到，先将配方得到，由，进而得到，即可得到，再根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：是关于字母的二次三项式， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 13． 【分析】连接、，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：连接、，如下图： 由勾股定理得，，， ，， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形，为直角三角形， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理． 14． 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，线段之和最小等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和锐角三角函数． 利用角平分线的性质得出，作于点，找到线段之和最小值时点的位置，利用三角函数比即可求解． 【详解】 解：由作图可知，是的平分线，且， ， 如图，作于点， ， ， ∴当、、三点共线，的值最小为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据动力动力臂阻力阻力臂即可得函数关系式，再将代入求出的值，再求出时，求出的值，再根据反比例函数的增减性求解即可得． 【详解】解：由“杠杆原理”得：，即， ∴， 当时，， 所以当动力臂为时，撬动石头至少需要的力． 当时，， ∵在内，随的增大而减小，且， ∴要使动力不超过的一半，则关于动力臂至少要加长则． 故答案为：． 16．①②④ 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是熟练掌握几何图形的性质． ①根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到；故①正确； ②设与交于F，根据全等三角形的性质得到，得到，根据平角的定义得到，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到，，根据线段的中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，推出不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可得到平分，故④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②设与交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴ 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H， ∵， ∴， ∴平分，故④正确， 故答案为：①②④． 17． 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 18．（1）；（2） 【分析】（1）根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 解：①②得， 解得：， 将代入①得，， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二元一次方程组的应用，熟练掌握实数的运算法则以及加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)是偶数，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由，，，为整数，为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，得出为偶数，即可得出为偶数． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴为正数． （2）解：为偶数，理由如下： ∵，，，为整数，为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴，同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴是偶数． 20．(1) (2) 【分析】本题考查列举法求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列举法求概率即可． 【详解】（1）小闽同学从中随机抽取一张，恰好卡片上写着是“宋”字的概率是； 故答案为：； （2）解∶这四张卡片分成两组，每组两张．有如下3种情况∶ “宋”、“元”与“清”、“明”；“宋”、“明”与“元”、“清”；“宋”、“清”与“元”、“明”， 并且它们出现的可能性相等， 其中“清”、“明”两字分在同一组有1种情况 ∴卡片上写着“清”、“明”两字分在同一组的概率为． 21．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用切线的性质、垂径定理、等角对等边进行证明即可； （2）由勾股定理求出半径，再证明，利用相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是半圆的切线， ，即； 是半圆弧的中点， 于， ，即， ， ， ， ， ， ． （2）设，则， 在中，由勾股定理：， ． 由（1）可得：， ， ， ∴， ，， ． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：有两组对边相互平行的四边形是平行四边形，推知四边形是平行四边形；然后由平行四边形的对角相等、对角线平分对角的性质以及角平分线的性质证得；最后由等角对等边推知的邻边； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】（1）解：证明：，， ，， 四边形是平行四边形， ； 又是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴, ∵四边形是菱形， ∴四边形为正方形． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定是解题的关键． 23．(1)凉亭的高度约为 (2)多测量几次求平均值，可以减少误差 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，求出，在中，求出，根据求出，进而根据即可求解； （2）根据多测量几次求平均值，可以减少误差，即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴． 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：多测量几次求平均值，可以减少误差． 24．(1)； (2)九年级学生家务劳动专项测试成绩较好，理由见解析 (3)人 【分析】本题考查数据的分析与统计图结合，样本估计总体，熟练根据统计图得出相应的数据，并熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义，结合统计图即可求解； （2）利用平均数、众数和中位数进行决策即可； （3）利用样本估计总体进行解答即可． 【详解】（1）解：八年级名学生成绩扇形统计图可知出现次数最多的是分， 故； 九年级名学生成绩从小到大排列后中间的两个数是第和的平均数，分别是分和分， 故， 故答案为：；； （2）解：九年级学生家务劳动专项测试成绩较好，理由如下： ∵八年级和九年级学生成绩的平均数相同，但九年级学生成绩的众数大于八年级学生成绩的众数，九年级学生成绩的中位数大于八年级学生成绩的中位数， ∴九年级学生家务劳动专项测试成绩较好； （3）解：八年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数约有（人）， 九年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数约有（人）， ∴估计八、九年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数一共有人（人）． 25．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由垂直平分线的性质求得，推出，再利用圆周角定理即可证明，，据此即可得证； （2）设，利用圆周角定理求得，利用三角形内角和定理求得，求得，据此即可证明结论成立； （3）先求得，证明，推出，求得，，过点B作于K，利用勾股定理求得，在和中，利用正切函数的定义求得，，过点F作于H，设，则，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵点E在弦的垂直平分线上， ∴， ∴， 又∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作于K， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴在中，， 在中，，， 在中，，， 又∵， ∴，， 过点F作于H，在中，， ∴设，则， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 26．(1)7 (2) (3)当与的重叠部分是轴对称图形时，则t的取值范围为或或 (4)当与的一条边垂直时，则或或 【分析】（1）过点A作，然后根据三角函数可进行求解； （2）过点M作于点E，由题意易得四边形是正方形，，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分当与的重叠部分是三角形，且全在内部时；当与的重叠部分是四边形，且点P还在线段上时；当与的重叠部分又是三角形，且重叠部分从点P与点A重合到点Q与点C重合为止；然后分类求解即可； （4）由题意可分当时，当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：过点A作，如图所示： ∵， ∴设， 则， 解得：， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：过点M作于点E，如图所示： 由题意得：，， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为； （3）解：当与的重叠部分是轴对称图形时，则可分： ①当与的重叠部分是三角形，且全在内部时，即，则重叠部分即为，而是等腰直角三角形，是轴对称图形，符合题意，当点M落在上时，刚好满足此种情况的最大值，如图： 由（2）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴此时t的取值范围是； ②当与的重叠部分是四边形，且点P还在线段上时，即，如图所示： 设与交于点N，与交于点F，由图可知：四边形是以为对称轴的轴对称图形， ∴， 由①可知：， 解得：，（符合题意）； ③当与的重叠部分又是三角形，且重叠部分从点P与点A重合到点Q与点C重合为止，则，所以，即，如图所示： 由题意得：都为等腰直角三角形，且点P在线段的延长线时，始终都有是等腰直角三角形，所以与的重叠部分始终为等腰直角三角形， ∴此时t的取值范围为； 综上所述：当与的重叠部分是轴对称图形时，则t的取值范围为或或； （4）解：由题意可分： ①当时，延长交于点D，则，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： 由（2）可知四边形是正方形，即， ∴， 解得：； ③当时，根据（3）可知不管点P怎么运动，都有，所以若要满足，则需点Q与点E重合，如图所示： ∴， 解得：； 综上所述：当与的一条边垂直时，则或或． 【点睛】本题主要考查解直角三角形、勾股定理、正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及旋转的性质，解题的关键是辅助线的作法及分类讨论思想的运用． 27．(1) (2)或3 (3)①2；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，理解新定义，通过数形结合求解． （1）根据“界变构函数”的定义解答即可； （2）根据“界变构函数”的定义，可得反比例函数的“0界变构函数”为，再分类解答，即可求解； （3）①根据“界变构函数”的定义，可得函数称为原函数的“界变构函数”，再把点代入解答即可； ②由①可得函数称为原函数的“界变构函数”，然后画出函数图象，结合函数图象可得当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，把代入得：，把代入得：，，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 即一次函数的“3界变构函数”为； （2）解：根据题意得：反比例函数的“0界变构函数”为， ∵点在反比例函数的“0界变构函数”上， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 综上所述，的值为或3； （3）解：①根据题意得：二次函数的二次函数的“界变构函数”为， ∵点在该二次函数的“界变构函数”上， ∴或， 解得：或， ∵， ∴； ②由①得：二次函数的二次函数的“界变构函数”为，即， 画出函数图象，如下图， 对于， 当时，， 解得：， ∴当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是， 把代入得：， 把代入得：，， ∵当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是， ∴当k在之间时，才能满足题意， ∴根据函数图象可知：． 学科网（北京）股份有限公司 $