精品解析：上海市向明中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025学年第二学期向明中学期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分） 1. 抛物线的准线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线方程求出，判断焦点位置，从而可得答案. 【详解】因为抛物线方程为， 所以， 又因为抛物线焦点在轴上， 所以抛物线的准线方程为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题. 2. 双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】由双曲线的方程知，所以双曲线的渐近线方程为． 考点：双曲线的几何性质． 3. 以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意正态分布曲线关于对称， 故 . 5. 物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒. 【答案】80 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，位移对时间的导数为瞬时速度，对给定的位移函数求导后代入计算即可. 【详解】由导数的物理意义可知，位移函数对时间的导函数即为瞬时速度函数， 所以，故， 即物体的瞬时速度为80米/秒. 6. 已知随机变量的分布是，则其方差_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用方差公式可求方差. 【详解】的期望为， 故， 故答案为： 7. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20， 可得np=30，npq=20，q=，则p=， 故答案为． 点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力． 8. 市场上的某种商品由三个厂家共同供应，厂家甲的供应量是厂家乙的2倍，厂家甲与厂家丙的供应量相等．已知甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为、、，则市场上该产品的次品率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出三个厂家的次品量，即可求解总的次品率. 【详解】根据题意设乙厂家的供应量是，则甲、丙的供应量分别为，根据甲乙丙的次品率分别为、、， 故该商品的次品率为. 9. 设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，若的内切圆的面积为，则___________. 【答案】4. 【解析】 【详解】如图.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，的内切圆的面积为π，∴的内切圆半径r=1． ∴的面积S==2a=4. 10. 一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出样本空间数，然后计算出至少有一个型血孩子的概率，再计算出两个孩子为型血的概率，最后使用条件概率得出结果. 【详解】由题意可得总样本空间为种， 令E事件为至少一个型血孩子， F事件为两个孩子都为型血，则F事件只有1种，故 E事件有，共7种情况，故 因此. 11. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 12. 已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对分类讨论：，和，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解. 【详解】函数的导函数为. 当时，令，解得：，所以函数有两个零点，不符合题意. 当时，要使函数只有一个零点，只需的极大值小于0或的极小值大于0. 令，解得：或. 列表： 0 + 0 - 0 + 单增 极大值 单减 极小值 单增 所以极大值不符合题意. 所以极小值，解得：； 当时，要使函数只有一个零点，只需极大值小于0或的极小值大于0. . 令，解得：或. 列表： 0 - 0 + 0 - 单减 极小值 单增 极大值 单减 所以极大值不符合题意. 所以极小值，解得：. 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（共4题，13，14题每题3分，15，16题每题4分，满分14分） 13. 下列求导运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项求导判断即可. 【详解】因为：， ， ， 故ACD计算正确； 因为，故B计算错误. 故选：B 14. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得 ，故圆心 ，半径； 对于圆：，配方得 ，故圆心 ，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为 ，两半径之和为 ， 显然满足，即，因此两圆相交. 15. 设两个正态分布和的正态密度函数图像如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察图象中对称轴的位置和曲线的形状即可判断 和 的大小关系. 【详解】 由图可知，曲线 的对称轴在 轴左侧，即 ； 曲线 的对称轴在 轴右侧，即 ，所以 ； 又因为曲线 比曲线 更“瘦高”，说明 更小，即 ，因此A正确. 16. 设，有如下两个命题： ①函数的图象与圆有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上． 则下列说法正确的是（ ）． A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 【答案】B 【解析】 【分析】对①：结合函数性质与图象判断即可得；对②：由曲线的对称性，可得要使得正方形存在，则为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存在两个正方形. 【详解】对①：令， 当时，，当时，， 则在、上单调递增，在上单调递减， 又，， 函数的图象与圆的图象如图所示： 故函数的图象与圆有且只有两个公共点，故①正确； 对②：由， 故要使得正方形存在，则为等腰直角三角形， 显然，当时，， 点在函数图像外侧，则，此时； 利用极限思想，时，，此时； 时，，此时，如图所示， 故至少两个正方形， 故②错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：结论②需注意使用极限思想，从而得到至少两个正方形. 三、解答题（本大题共5题，满分44分） 17. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）若函数在上严格递减，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据导数的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【小问1详解】 函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 对任意恒成立 故，解得， 故的取值范围为. 18. 已知直线，与圆． （1）证明：圆与直线一定会相交； （2）求直线被圆截得的线段长度的最小值． 【答案】（1） 证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）整理直线方程求出恒过的定点，证明定点在圆内部，即可得直线与圆恒相交； （2）当直线与定点和圆心的连线垂直时，圆心到直线距离最大，对应截得弦最短，利用垂径定理计算最小值． 【小问1详解】 变形为， 令 ，解得，即直线恒过定点， 圆的圆心为，半径，点到圆心的距离平方：， 故点在圆内部，因此圆与直线恒相交． 【小问2详解】 因为直线过圆内定点，圆心到直线的距离， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最小， ，由垂径定理可得最短弦长为 ． 19. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：小时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算） （1）已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率. （2）从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望 【解析】 【分析】（1）先换算每周活动达标时长，确定对应事件，算出相关概率，代入条件概率公式求解结果. （2）依据区间频率比确定分层抽取人数，确定随机变量取值，用组合数计算各概率列出分布列，再计算数学期望. 【小问1详解】 由题意，一周共7天，达标学生每周累计活动时长不少于小时. 每天活动时间不少于3小时对应每周时长不少于3小时. 设事件为“小明是达标学生”，事件为“小明每天活动时间不少于3小时”. 则：，. 根据条件概率公式，代入得. 【小问2详解】 活动时长在 和 的频率比为. 根据该比例抽取5人时，从 中抽取5人，从中抽取5人. 随机变量的所有可能取值为，计算对应概率： ， ， ， 因此的分布列如上 X 0 1 2 P 数学期望：. 20. 如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． （1）当直线的斜率时，求直线的斜率； （2）求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设 ，分别将坐标代入椭圆中，得出两等式，相减得出 ，写出的表达式，化简得出结果，然后代入计算. （2）设直线 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求出 ，算出的表达式，而 ，代入，用基本不等式求出最大值，再得出四边形面积的最大值. 【小问1详解】 设，，根据对称性，有. 因为，都在椭圆上，所以，. 两式相减得，. 所以为定值. 所以时，. 【小问2详解】 当的倾斜角为时，与重合，舍去. 当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，. 设直线的方程为，代入. 得. 显然，，. 所以 设，所以，. 所以. 当且仅当即时等号成立，所以 . 所以平行四边形面积的最大值为 . 21. 已知函数，，其中． （1）若是函数的极值点，求实数的值： （2）当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； （3）若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合题意，得到，列出方程，即可求解； （2）求得，分，和，三种讨论，得到函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解； （3）由，得到，令 ，转化为存在，使得，求得，得到的单调性和最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，且， 因为是函数的极值点，可得，即， 可得，解得，所以实数的值为. 【小问2详解】 解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，所以， 因为，解得或， 当时，即时， ， 在上单调递增，无极值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 综上可得，当即时，无极值点； 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极大值点，是极小值点. 【小问3详解】 解：由，可得， 整理得，即， 令 ，则问题转化为， ， 又由，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在或处取得最小值， 计算， 因为，所以 ， 因为存在，使得，所以， 所以实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期向明中学期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分） 1. 抛物线的准线方程为_______. 2. 双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______． 3. 以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 4. 已知随机变量服从正态分布，且 ，则 __________． 5. 物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒. 6. 已知随机变量的分布是，则其方差_________． 7. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________． 8. 市场上的某种商品由三个厂家共同供应，厂家甲的供应量是厂家乙的2倍，厂家甲与厂家丙的供应量相等．已知甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为、、，则市场上该产品的次品率为__________． 9. 设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，若的内切圆的面积为，则___________. 10. 一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 11. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 12. 已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________. 二、选择题（共4题，13，14题每题3分，15，16题每题4分，满分14分） 13. 下列求导运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 15. 设两个正态分布和的正态密度函数图像如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16. 设，有如下两个命题： ①函数的图象与圆有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上． 则下列说法正确的是（ ）． A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 三、解答题（本大题共5题，满分44分） 17. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）若函数在上严格递减，求实数的取值范围. 18. 已知直线，与圆． （1）证明：圆与直线一定会相交； （2）求直线被圆截得的线段长度的最小值． 19. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：小时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算） （1）已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率. （2）从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望． 20. 如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． （1）当直线的斜率时，求直线的斜率； （2）求四边形面积的最大值． 21. 已知函数，，其中． （1）若是函数的极值点，求实数的值： （2）当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； （3）若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $