精品解析：上海市莘庄中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期中试题

莘庄中学2025-2026学年第二学期 高二年级数学期中试题 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的关系求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 2. 一组数据2，3，5，7，8，9，9，10的第80百分位数是______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】解：共有8个数， 因为， 所以第百分之80分位数第个数， 即第百分之80分位数是9. 故答案为：9. 3. 将一个共有60个个体的总体编号为00，01，02，…，59，根据随机数表法从中抽取一个容量为10的样本，从随机数表的第8行，第11列开始读，依次获取样本号码，直至取满为止，则取出的第4个样本的编号为__________．附：随机数表第8行，63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用随机抽样（随机数表法）方法抽取即可，抽取过程注意剔除大于59以及重复的编号. 【详解】第8行第11列的数字为1，由此开始，依次抽取号码,第一个号码为16, 第二、四、六个号码都大于59，舍去,按照这个规则抽取号码， 抽取的前4个样本号码为16,55，19，10， 即取出的第4个样本的编号为10， 故答案为10. 【点睛】本题主要考查随机数表的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 4. 如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【解析】 【详解】因为，， 所以， ， . 5. 将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 【答案】36 【解析】 【分析】根据分组分配即可求解． 【详解】先将4名程序专家分成一个2人组和两个1人组，共有种，再分配给3个AI实验室,有种， 所以共有种不同的分配方案． 6. 若直线是曲线的一条切线，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义计算即可求解. 【详解】因为，所以， 令，得，所以切点为， 代入，得． 故答案为：. 7. 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交， 则第一天坐公交和骑车的概率均为， 在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为， 在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为， 所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为： ． 故答案为：. 8. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，再对等式两边求导后代入即可得到目标式的值． 【详解】， ， ， ， 令，可得． 9. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线平行斜率相等可以得到，再利用椭圆与双曲线的定义得到，利用均值不等式求最值即可. 【详解】设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴长为，虚轴长为， 因为椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行， 根据平行直线斜率相等得，，平方得，， 两边同时加1得，，即， 所以，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，所以等号不能成立，所以. 故答案为：. 10. 已知函数与的图像上恰有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，即有两解，构造，求导求单调性，求出值域，从而求得的取值范围. 【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点， 所以时有两解，即有两解， 所以有两解， 令，则， 所以当时，，函数单调递减; 当时，，函数单调递增， 所以在处取得极大值，， 且时，的值域为; 时，的值域为， 因此有两解时，实数的取值范围为. 故答案为: 11. 某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码，并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖．其它情况不获奖，已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定一次抽奖产生的总情况数，然后列出奖券码的表达式，分情况讨论二等奖的取值情况数，最后除以总情况数即是答案. 【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为，共有种情况， 生成的5个数字中有个0，个1，则，由题可知． 若获得二等奖，则为3的正整数倍，故可取的值为1，4，7． 当时，的取值为，共有种情况； 当时，的可能取值为，，，共有种情况； 当时，的取值为，共有种情况， 由分类加法计数原理得符合条件的有种情况，且设获得二等奖的概率为， 由古典概型概率公式得． 故答案为：． 12. 已知函数．设函数，若有两个不同的零点，且，则的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得方程有两个不同的实根，令，求导可得的单调性，进而画出函数的图像，数形结合可得，且，结合已知可求的取值范围． 【详解】由题意知是的两个相异的零点，即方程有两个不同的实根． 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 且当时，，当时，． 画出的大致图像，如图，可知若曲线与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为，则，且．    先考虑的情形： 由，得， 所以，，此时． 当时，，从而，符合条件； 当时，，从而，不符合条件． 所以要使，必须，得， 即的取值范围是． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 武汉市2016年各月的平均气温（）数据的茎叶图，如图所示，则这组数据的中位数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据茎叶图，按照大小顺序，写出数据，根据中位数定义，可得答案. 【详解】由茎叶图可得这组数据按照从小到大的顺序排列为4,8,12,15,18,21,23,23,23,28,33,34，共12个，其中第6个、第7个数分别为21,23，所以这组数据的中位数为22． 故选：B． 14. 某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 人工智能 生物医药 集成电路 汽车制造 IT服务 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 人工智能 集成电路 生物医药 养老护理 游戏 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中招聘人数和应聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 人工智能行业好于游戏行业 B. 养老护理行业好于汽车制造行业 C. 生物医药行业最紧张 D. 集成电路行业比IT服务行业紧张 【答案】C 【解析】 【分析】根据就业形势的好坏的衡量标准逐项分析即可求解． 【详解】人工智能行业的招聘人数和应聘人数的比值为：， 生物医药行业的招聘人数和应聘人数的比值为：， 集成电路行业的招聘人数和应聘人数的比值为：， 对于A，人工智能行业的招聘人数和应聘人数的比值约为，但游戏行业只知道招聘人数，不知道应聘人数，无法比较，故A错误； 对于B，养老护理行业只知道招聘人数，汽车制造行业只知道应聘人数，无法比较，故B错误； 对于C，生物医药行业在已知的招聘人数和应聘人数的比值行业中最小，故最紧张，故C正确； 对于D，集成电路行业的招聘人数和应聘人数的比值约为,IT服务行业只知道应聘人数，无法比较，故D错误． 15. 甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分别求出事件和事件的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 16. 已知函数若恰有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将恰有3个零点，转化为函数的图象与直线恰有三个交点.作出函数的图象，结合图象分析零点的取值情况，由此得到的取值范围. 【详解】由恰有个零点，得方程有个实根， 即函数的图象与直线恰有三个交点. 函数在上单调递减，且当时，； 又，所以. 所以，所以； 由，得， 因为，所以，所以，即，. 所以. 因此，，即. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，共78分） 17. 如图，在长方体中，为上一动点，已知，. （1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示） （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先找出即为直线与平面所成角，再求的大小即可； （2）根据，再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接，由题意得平面， 则即为直线与平面所成角， 又， 在直角中，，， ，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 由题意得，平面， 则. 所以三棱锥的体积为. 18. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）先利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，再利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可． 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得， 则样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的学生人数为， 所以用分层抽样的方法应从考核成绩在的学生中抽取（人）． 【小问2详解】 由频率分布直方图知， 成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 所以这两组学生成绩的平均数为， 所以这两组学生成绩的总方差为． 19. 小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． （1）若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； （2）若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论． 【小问1详解】 设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． 【小问2详解】 设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为. 20. 已知点，分别是椭圆右顶点与上顶点，坐标原点到直线的距离为，且点是圆的圆心，动直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在线段上，，且当取最小值时直线与圆相切，求的值； （3）若直线与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1) 由点是圆的圆心，，原点到直线的距离为，在中由等面积法有，可求答案. (2) 设，则,求出直线的方程，将点坐标代入直线的方程，可得，当且仅当时，取得最小值，可得到点的坐标，则可得到直线的方程，再由原点到直线的距离为，可求出的值. (3) 由,可得,求出，，可得,可求出的范围. 【详解】(1)由点是圆的圆心，，则,,则 坐标原点到直线的距离为，在中由等面积法有，可得. 所以椭圆的方程为 （2）设，则 则，则直线的方程为. 将点坐标代入直线的方程，可得 故，则当且仅当时，取得最小值. 此时点的坐标为，直线的方程为. 故. (3)由,可得,将代入椭圆方程得： ，即，故. 又点到直线的距离为，则 所以， 可得 令，则 故取值的范围是. 【点睛】本题求考查椭圆方程和考查椭圆中的弦长和圆中的弦长以及求参数的范围，属于中档题. 21. 已知函数． （1）若函数在处的切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数在单调，求a的取值范围； （3）当时，若（其中是函数的导函数），求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，结合两直线垂直的斜率关系，利用导数的几何意义列式即可求解； （2）由已知得在上恒成立，参变分离得在上恒成立，利用基本不等式求解即可； （3）由题意，利用韦达定理得，进而利用基本不等式得，，令，则，利用导数法求解值域即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 由直线的斜率为，得，， ，解得． 【小问2详解】 由已知得在上恒成立， 即，即在上恒成立，， ，当且仅当时即等号成立，， a的取值范围为． 【小问3详解】 当时，，， 令，得， ，是方程的两个根． 由根与系数的关系得：，即， 又，， ， 令，，则， ， 在上为增函数，， 从而． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莘庄中学2025-2026学年第二学期 高二年级数学期中试题 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则_________ 2. 一组数据2，3，5，7，8，9，9，10的第80百分位数是______. 3. 将一个共有60个个体的总体编号为00，01，02，…，59，根据随机数表法从中抽取一个容量为10的样本，从随机数表的第8行，第11列开始读，依次获取样本号码，直至取满为止，则取出的第4个样本的编号为__________．附：随机数表第8行，63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 4. 如图，在棱长为1的正方体中，______． 5. 将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 6. 若直线是曲线的一条切线，则实数______． 7. 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 8. 若，则______. 9. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是______. 10. 已知函数与的图像上恰有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是__________. 11. 某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码，并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖．其它情况不获奖，已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 12. 已知函数．设函数，若有两个不同的零点，且，则的取值范围为___________ 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 武汉市2016年各月的平均气温（）数据的茎叶图，如图所示，则这组数据的中位数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 14. 某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 人工智能 生物医药 集成电路 汽车制造 IT服务 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 人工智能 集成电路 生物医药 养老护理 游戏 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中招聘人数和应聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 人工智能行业好于游戏行业 B. 养老护理行业好于汽车制造行业 C. 生物医药行业最紧张 D. 集成电路行业比IT服务行业紧张 15. 甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数若恰有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共78分） 17. 如图，在长方体中，为上一动点，已知，. （1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示） （2）求三棱锥的体积. 18. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 19. 小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． （1）若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； （2）若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 20. 已知点，分别是椭圆右顶点与上顶点，坐标原点到直线的距离为，且点是圆的圆心，动直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在线段上，，且当取最小值时直线与圆相切，求的值； （3）若直线与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求的取值范围． 21. 已知函数． （1）若函数在处的切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数在单调，求a的取值范围； （3）当时，若（其中是函数的导函数），求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $