精品解析：上海师范大学附属中学2025-2026学年度第二学期高二期中考试数学试题

上师大附中2025-2026学年第二学期高二年级数学期中 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知函数的导函数为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本初等函数的求导公式求出的导函数，再代入计算即可得到结果. 【详解】函数 的定义域为，， 所以. 2. 曲线在点处的切线是_____.（一般式方程） 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得切线方程. 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为. 故答案为： 3. 已知函数的导函数为，若，则________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据导数的定义直接求解. 【详解】. 故答案为：5 4. 函数，其中的导数________． 【答案】 【解析】 【详解】，. 5. 从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接列举即可. 【详解】若取出的两个球标号为1，2，则标号和为3， 若取出的两个球标号为1，3，则标号和为4， 若取出的两个球标号为2，3，则标号和为5， 所以此随机现象的样本空间是. 故答案为： 6. 已知函数，其中，则的单调增区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】求定义域，求导数，利用导数可得答案. 【详解】由，即，可得函数定义域为. 易知 ， 即在定义域内恒成立， 综上，的单调增区间为. 7. 甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.7、0.6.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式，结合对立事件概率公式即可求解. 【详解】记甲乙两人中靶分别为事件，则有，，所求的事件可表示为， 所以. 故答案为： 8. 一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从五个球中任取两个， 共有种取法， 其中1，3；1，5；2，4；3，5四种取法数字之和为偶数， 利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为偶数的概率是， 故答案为：. 9. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，计算即可得. 【详解】，则，故， ， 则，故，则. 10. 某高中三个年级共有学生900人，其中男生528人，高一学生312人，高一男生l92人，共青团员670人，男团员336人，高一团员247人，高一男团员147人，则高二、高三女生中非团员的总人数为_______ 【答案】18 【解析】 【分析】根据题目数据，先计算全校女生，女团员，再计算高一女团员，女生，即可计算高二高三女生中非团员. 【详解】因为三个年级共有学生900人，其中男生528人，故女生共372人， 又高一学生312人，高一男生l92人，故高一女生120人， 由共青团员670人，男团员336人知女团员共有334人，其中高一女团员247-147=100人， 所以高二高三女生共372-120=252人，其中女团员共有334-100=234人， 所以高二、高三女生中非团员的总人数为252-234=18人. 故答案为18 【点睛】本题主要考查了学生对实际问题的分析能力，属于中档题. 11. 已知函数在处取得极值0，则______. 【答案】24 【解析】 【分析】根据极值点和极值可得关于参数的方程组，求出其解后再检验可得参数的值，从而可求. 【详解】函数，则， 又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，，则. 故答案为：. 12. 定义在区间 上的函数 满足：①对任意， ；② ，若任意 ，则整数 的值为 ______． 【答案】-3或-2 【解析】 【分析】把函数不等式转化为代数不等式，根据不等式在给定区间上恒成立，结合对勾函数求出参数的取值范围即可 【详解】根据函数的定义域，当时，恒成立， 所以在上恒成立. 设函数，当时，（当且仅当时取等号）， 所以. 又. 且在上单调递增，所以， 所以在上恒成立. 设，则函数在上单调递减，所以. 所以. 综上：，又为整数，所以或. 故答案为：-3或-2. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意得三个数字中只有1个偶数，且设概率为， 所以，即任取1个数，恰为偶数的概率是，故B正确. 故选：B 14. 以下是“我国2018-2022年货物进出口总额统计图”，下列说法错误的是（ ） A. 从2019年开始，2020年的进口额年增长率最小 B. 从2019年开始，2021年的出口额年增长率最大 C. 从2019年开始，进出口总额逐年增大 D. 从2019年开始，进出口总额年增长率逐年增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形图即可结合选项逐一求解. 【详解】由图中数据可知：2020年以及2019年的进口额分别为142936亿元和143254亿元，所以2020年的进口额年增长率为负数，而其他年份的增长率均为正数，故A正确， 由图中数据可知2021年与2020年比较，出口额差距最大,且为正增长，所以增长率最大，B正确， 由图中条形图的高度逐年上升可知从2019年开始，进出口总额逐年增大，C正确， 2020年的进出口总额为亿元，故2021年的增长率为，2022年的增长率为，故D错误， 故选：D 15. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ） A. 事件M与事件N相互独立 B. 事件X与事件Y相互独立 C. 事件M与事件Y相互独立 D. 事件N与事件Y相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形： ①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同， 所以，，，， 因为事件与事件互斥，所以，又， 所以事件M与事件N不相互独立，故A错误； ，故B错误； 由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确； 因为事件N与事件Y互斥，所以，又， 所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出，，，，再根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可. 16. 已知函数，其中，其中．给出下列两个命题： ①对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形； ②对于任意实数，存在，使有3个极大值点． 则下列说法正确的是（ ）. A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】令，对目标函数合理转化并利用轴对称的定义得到判断①，利用导数并结合零点存在性定理得到有2个极小值点，1个极大值点，进而得到的极值点情况判断②即可. 【详解】对于①，令， 若曲线是轴对称图形，则是轴对称图形， 设的对称轴是，可得， 而， 可得，解得，故①正确， 对于②，令， 由题意得， 当时，，当时，， 而， 对于任意实数，只需，则， 结合零点存在性定理得存在作为零点， 且， 令，令， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得有2个极小值点，1个极大值点，即有3个极大值点，故②正确． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知函数，其中，求： （1）点处的切线的斜率； （2）点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【小问1详解】 点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； 【小问2详解】 结合（1）可得切线方程为，即. 18. 已知函数，其中． （1）若，求的极小值； （2）令，讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在单增；当时，在单调递减，在上单调递增 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值； （2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求得的单调区间. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． 【小问2详解】 的定义域为， . 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在上单调递增. 19. 一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． （1）若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； （2）若标签的选取是有放回的，求的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【小问1详解】 若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ，共12种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； 【小问2详解】 若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ，共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率． 20. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），85 （2） （3）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 21. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． （1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； （2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程； （3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义求得切点，再分别求切线方程验证即可. （2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程. （3）利用“双重切线”的定义，分别设出对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对应切点之间的关系，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理确定判的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得. 【小问1详解】 的定义域为，求导得，直线的斜率为2， 令，解得，不妨设切点， 则点处的切线方程为，即， 点处的切线方程为，即， 所以直线是曲线的“双重切线”. 【小问2详解】 函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. 【小问3详解】 设对应的切点为，对应的切点为， 由，得，， 由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中， 由及余弦函数在上递增知，， 则， ， 因此，又，， 则，同理， 令，求导得， 则在上单调递增，显然，且， 函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有， 由，同理可得，而，因此， 于是，即有， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键点有两个：一是利用导数的几何意义求解切线的斜率；二是设切点并利用和切线方程得到之间的等式，进而消去一个未知数，构造函数利用导数的性质求得方程的零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中2025-2026学年第二学期高二年级数学期中 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知函数的导函数为，则________． 2. 曲线在点处的切线是_____.（一般式方程） 3. 已知函数的导函数为，若，则________. 4. 函数，其中的导数________． 5. 从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是________． 6. 已知函数，其中，则的单调增区间为________． 7. 甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.7、0.6.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为______. 8. 一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是________． 9. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，则______. 10. 某高中三个年级共有学生900人，其中男生528人，高一学生312人，高一男生l92人，共青团员670人，男团员336人，高一团员247人，高一男团员147人，则高二、高三女生中非团员的总人数为_______ 11. 已知函数在处取得极值0，则______. 12. 定义在区间 上的函数 满足：①对任意， ；② ，若任意 ，则整数 的值为 ______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 以下是“我国2018-2022年货物进出口总额统计图”，下列说法错误的是（ ） A. 从2019年开始，2020年的进口额年增长率最小 B. 从2019年开始，2021年的出口额年增长率最大 C. 从2019年开始，进出口总额逐年增大 D. 从2019年开始，进出口总额年增长率逐年增大 15. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ） A. 事件M与事件N相互独立 B. 事件X与事件Y相互独立 C. 事件M与事件Y相互独立 D. 事件N与事件Y相互独立 16. 已知函数，其中，其中．给出下列两个命题： ①对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形； ②对于任意实数，存在，使有3个极大值点． 则下列说法正确的是（ ）. A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知函数，其中，求： （1）点处的切线的斜率； （2）点处的切线方程. 18. 已知函数，其中． （1）若，求的极小值； （2）令，讨论函数的单调性． 19. 一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． （1）若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； （2）若标签的选取是有放回的，求的概率． 20. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 21. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． （1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； （2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程； （3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $