2026年中考数学二轮专题提高训练-二次函数的图像与性质

**基本信息** 聚焦二次函数图像与性质，以“概念-性质-综合应用”逻辑链整合函数性质分析、数形结合、分类讨论等方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|单选1-3、填空10-12|函数图像识别、对称轴与函数值比较|从解析式到图像特征，推导增减性与最值规律| |函数综合|单选4-6、填空13-14|韦达定理、交点问题转化|一次/反比例函数与二次函数联立，构建方程关系| |几何综合|单选5、解答17-18|相似/勾股定理、折叠问题建模|几何图形与函数图像融合，培养几何直观| |新定义问题|单选9|新定义转化与方程求解|创新情境中应用函数性质，发展推理意识|

2026年中考数学二轮专题提高训练- 二次函数的图像与性质 一、单选题 1．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，则二次函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 3．已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，二次函数的图象的顶点与的点C重合，且经过点A，与交于点D，点B与点C的横坐标相同．若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，，点E为中点，点F，G分别在边上（不与端点重合），且．设（），，则y关于x的函数图象为（   ） A． B． C． D． 6．直线与二次函数的图像的交点坐标分别为、，且．同时直线与一次函数图像的交点坐标为．以下说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 9．定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（    ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 10．抛物线的对称轴为直线________． 11．若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________． 12．抛物线，其中、满足，，若点，，在此抛物线上，则，，的大小关系为是______．（用“”连接） 13．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 14．已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． （1）若，且，则的值为______； （2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为______． 15．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，，两点均在抛物线上． (1)若为抛物线的顶点． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）若直线经过，两点，且．求的值； (2)已知抛物线经过点，若，，且，试比较，的大小，并说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在第一象限内，．现将矩形纸片折叠，使得点的对应点恰好在轴上，折痕为过点作∥轴交于点，抛物线经过点，关于轴对称，与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)的长为_____，的长为_____，折痕所在直线的解析式为____； (2)求抛物线的函数解析式； (3)设以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，（在的上方)，与抛物线除点外的交点为，请求出四边形的面积． 18．已知二次函数与二次函数交于点． (1)求，的值； (2)若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，当点在两点间的曲线上运动时，求线段的最大值； (3)设，当时． 请从下列两个问题中任选一个作答： ①若的最大值为，求的值； ②求的最大值． 19．已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数，与轴交点坐标为． (1)当时，求的值； (2)当时，点在该函数图象上，且，求整数的值； (3)若，对于该函数图象的顶点坐标，满足，求的取值范围． 20．已知二次函数，其中a，b为常数． (1)当，时，求该函数的顶点坐标． (2)当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 21．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 22．在平面直角坐标系中，把函数（a、b为常数）的图象记为G． (1)当时，G与x轴只有一个交点，求a的值． (2)①设，若点在G上，则点必在G上，且G过点，求G的函数表达式． ②点、是①中函数图象上的两点，若，求m的取值范围． (3)矩形四个顶点的坐标分别为、、、，当时，函数的图象在矩形内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围． 参考答案 1．A 【分析】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质. 根据反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，可知，，然后即可判断二次函数的图象开口方向和对称轴所在的位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限， ，， 二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧， 故选：A 2．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， 故B错误，不符合题意；C正确，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 当时，，故D错误，不符合题意， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得开口方向向上，对称轴为直线，则当，，当，则，据此进行逐项分析就，即可作答． 【详解】解：∵抛物线，且， ∴开口方向向上，对称轴为， ∴越靠近对称轴的所对的函数值越小， 则当，，故A、B选项不符合题意； 当，则，故C选项符合题意； 当，则，故D选项不符合题意； 故选：C 4．A 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，一次函数与二次函数的交点问题，先求出二次函数的顶点坐标，得到，再根据平行四边形的面积求出，代入二次函数解析式即可求出，再求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点为，即， ∵点在x轴上， ∴，即， ∵点B与点C的横坐标相同，四边形是平行四边形，且， ∴，， ∴， ∵二次函数的图象的顶点经过点A， ∴，即， ∴，即， ∴，则， ∴，二次函数的解析式为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，则， 解得：或（舍去）， ∴，则， ∴， 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，正方形的性质，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可得到，即可解答． 【详解】解：在正方形中，，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设（），，则， ∴， ∴， ∵，且， ∴y关于x的函数图象为开口向下，顶点坐标为的抛物线，故选项A符合题意， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的解，掌握函数的交点和方程解的关系是解题的关键． 选项A∶ 二次函数最小值为−1，但需注意题目中存在两个交点，故，而非；选项B∶ 利用根的和，结合的表达式直接求解；选项C、D∶ 需分的正负讨论，判断的范围是否唯一成立． 【详解】解：选项A：二次函数的最小值为，当时，方程有唯一解，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，题目中明确存在两个交点，故判别式必须大于0，即：，故选项A错误； 选项B：直线与抛物线交点的横坐标满足方程，根据韦达定理：， 若，则， 将代入一次函数方程， ，故选项B正确； 选项C：条件即， 由一次函数方程，解得：， 当时，，即与符号相反： 若，则， 若，则， 因此，的取值范围不唯一，选项C错误； 选项D：条件即， 同理，由，得，即与符号相同： 若，则， 若，则， 因此，的取值范围不唯一，选项D错误； 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点，到对称轴的距离分别为，，结合，可得，即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数），的对称轴为直线，开口向上， 点，到对称轴的距离分别为，， ， ， 解得：， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 9．A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键．依据题意，根据“倍值点”的定义逐个判断分析可以得解． 【详解】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”， ． 又， 点是一次函数的“2倍值点”，故①正确． 对于②，由题意， “2倍值点”的， ． 联立方程组， ． 二次函数存在唯一的“2倍值点”， ． 或，②错误． 对于③，联立方程组， ． ． 为正整数， ． 反比例函数总存在二个的“倍值点”． 设其中一点为，另一个点为， ． 这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误． 对于④，联立方程组， ． 函数的“倍点”为． 点与点的距离为． 又当时， ．即， 又为正整数， 不合题意，故④错误． 故选：A． 10．1 【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线． 11． 【分析】根据二次项系数小于，抛物线开口向下，最高点为二次函数的顶点，顶点的横坐标即为所求的引爆时间求解即可． 【详解】解：对函数解析式配方得． ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值，即礼炮到达最高处引爆， ∴礼炮引爆的时间为． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据，，得出，对称轴直线在和之间，然后通过开口向下，则图象上的点离对称轴越远则的值越小即可求解，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴在和之间， ∵，， ∴点到对称轴的距离为：，在和之间； 点到对称轴的距离为：，在和之间； 点到对称轴的距离为：，在和之间； ∵， ∴开口向下，则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∴， ∴， 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 14． 1 【分析】（1）根据题意是方程的两个根，且，，得到，结合，得到，因式分解即可； （2）根据题意，得，一定是抛物线的顶点，得到，，，故，得，从而得到，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标应用，抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，因式分解，完全平方公式应用，熟练掌握抛物线性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． ∴是方程的两个根，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得， ∵函数的图象与轴仅有一个交点， ∴一定是抛物线的顶点， ∴，， ∴，， ∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． ∴是方程的两个根，且，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 15．4 【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值． 【详解】解：如图： 设点，， 则：直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， ， 过点分别作轴垂线，交轴于点， ∴， ∴， ∴， ， ， 则直线的表达式为：， 直线必过点， 当与轴平行时，边上的高有最大值，为． 16．(1)（ⅰ）的最大值为，（ⅱ） (2)，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）将二次函数的解析式化为顶点式即可得出，再结合二次函数的性质即可得出结果；（ⅱ）求出也在抛物线上，代入二次函数求出的值，从而得出点的坐标，即可得出结果； （2）求出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：（ⅰ）， ， 的最大值为； （ⅱ）由（ⅰ）可得：二次函数图象的顶点为， ∵直线经过，两点，且其表达式过原点， ∴点，，三点共线， ∵， ，关于点对称， 也在抛物线上， ， 解得， 点的坐标为或， ，且直线经过，两点， ； （2）解：，理由如下： ∵抛物线经过点， ， ， ， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， ， ， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且、的中点，又， ∴离对称轴的距离更远 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ． 17．(1)；；； (2)； (3) 【分析】本题考查矩形的折叠性质、勾股定理、一次函数解析式求解、二次函数的图象与性质等知识，关键是利用折叠的性质结合勾股定理求线段长度，利用函数对称性确定参数，再通过距离公式求交点距离计算面积． （1）利用折叠性质得，在中用勾股定理求，进而得；再在中设，用勾股定理列方程求解的长，然后根据、两点坐标求的解析式； （2）根据抛物线关于轴对称确定，再由轴得点横坐标为，代入解析式求点坐标，代入抛物线解析式求，从而得抛物线解析式； （3）先求的长度得到圆的半径，求出，然后结合四边形的对称性，求出的面积即可得到边形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，，； 由折叠性质知，， 在中，， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得，即； ∴点纵坐标为，即， 设所在直线的解析式为， 代入得，解得， ∴的解析式为； 故答案为：；；． （2）解：∵抛物线关于轴对称， ∴抛物线解析式为； 由，轴， ∴点横坐标为， 将代入的解析式得，即， 将代入抛物线解析式得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （3）解：∵， ∴， ∴以为圆心，为半径的圆的半径为， ∴． ∵点为圆心，为半径的圆与抛物线的交点分别为，， ∴四边形关于轴对称， ∴． 答：四边形的面积为． 18．(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)把点代入中得，求出，再把点代入中，求出，即可解答； （2）设，，得到，则当时，取最大值，即可解答； （3）①分类讨论：（ⅰ）若时，（ⅱ）若时，逐项分析求解即可；②分类讨论：（ⅰ）若时，（ⅱ）若时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中得：， 解得： 把点代入中得： 解得； （2）解：由题意可知点M在上，点N在上 设， ∴ ， ∵ ∴当时，取最大值． 即：线段的最大值为． （3）解：①（ⅰ）若时，， ∵时，y随x的增大而减小 ∴当时，取得最大值 即 解得：（不符合题意，舍去），， （ⅱ）若时，， 当时， 当时，， ∴ 令 当时，的最小值为， ∴ ∴时，y随x的增大而减小．当取得最大值， ∴ 解得（不符合题意，舍去） 综上所述： 时，t的值为，，t的值 ②（ⅰ）若时，， ∵y随x的增大而减小 ∴当时，取得最大值， （ⅱ）若时，， 当 当时，， ∴ 令 时，的最小值为 ∴ ∴最大值在的图象上取得． ∴当时，， 当 ∵y随x的增大而减小 取得最大值， 综上所述：的最大值为． 19．(1) (2)整数的值为，，， (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题． （1）将，代入解析式，即可求解； （2）分别表示出，根据得出，根据得出，则，根据抛物线与轴交点坐标为，得出，进而求得的取值范围； （3）根据题意可得，根据函数图象的顶点坐标，得出，根据得出，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：当时，二次函数． ∵函数与y轴交于点， ∴， （2）解：当时，二次函数， 已知点在该函数图像上，则， ∵， ∴， 解得． ∵， ∴， 即． ∵函数与y轴交点坐标为， 当时，． ∵， ∴， 则， 即， 所以整数的值为，，，； （3）解：∵函数与y轴交点坐标为， 将代入，得． 当时，， 该函数图象的顶点坐标， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴，即 20．(1)该函数的顶点坐标为 (2)①；② 【分析】（1）把，代入中求出二次函数解析式，再化为顶点式即可求解； （2）①把代入中，得，得对称轴为直线，且此时，则可得，再结合对称轴在之间，即可求出a的值，即可求解； ②由题意可得点B，C的纵坐标均为t，设B的横坐标为，C的横坐标为，由对称性求得，再利用点B为线段的中点，求得，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中， 得， 所以该函数的顶点坐标为； （2）解：①把代入中， 得， 所以对称轴为直线， 把代入中，得， ∵函数的最小值为，且二次项系数， ∴， 解得， 又因为对称轴在之间， 即 则， 故， ∴二次函数解析式为； ②由①知， ∴对称轴为直线， ∵点在y轴上，过点作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴点B，C的纵坐标均为t， 设B的横坐标为，C的横坐标为， ∵B，C关于直线对称， ∴， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴，即， ∴， ∴， 将代入， 得， ∴． 21．(1)对称轴为 (2)①；②， 【分析】（1）把点代入抛物线，得出，即可求解； （2）①把点和点分别代入和中，得出再比较大小，即可求解； ②根据得出，因为是一个与无关的定值，得出，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入抛物线，得， ∴， ∴抛物线的对称轴为． （2）①当时，则， 把点和点分别代入和中，． ∵， ∴， ∴，． ∴． ②∵， ∴，即， ∴， ∴．即． ∵是一个与无关的定值， ∴，即． ∴ 22．(1)或 (2)①；② (3)或 【分析】（1）分类讨论及两种情况，其中时，方程满足题意； （2）①由A，B两点坐标可得对称轴为直线，即可得出a，b的关系，再将点C坐标代入求解； ②图象开口向上，根据抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大求解，再由得，解方程即可； （3）b从小到大结合图象与图形交点情况画图求解． 【详解】（1）解：当时，， ①当时，一次函数与x轴只有一个交点． ②若，由抛物线与x轴只有一个交点可得： 中，即， 解得． ∴或； （2）解：①∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 将点代入得：， 解得， ∴； ②∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大， 若，则， 解得； （3）解：图象，开口向下， 对称轴为直线，与所在直线交点坐标为，与所在直线交点坐标为， 当时，如图1，抛物线经过点时， 解得； b增大满足题意，时抛物线顶点落在上，如图2， ∴满足题意； b增大，抛物线对称轴在右侧，当抛物线过点时，， 解得； 如图3， b增大，抛物线经过点时，， 解得， 如图4， ∴满足题意． 综上所述，或． 【点睛】注意通过数形结合方法求解． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $