2026年中考数学二轮复习 二次函数与线段周长综合题特训

**基本信息** 以二次函数为载体，整合线段周长、面积最值及存在性问题，通过代数运算与几何性质融合，培养数学思维与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数基础|3题|待定系数法求解析式、对称轴计算|从抛物线与坐标轴交点切入，建立函数表达式与图像性质的关联| |线段与面积最值|5题|铅垂高法、二次函数顶点性质|通过动点坐标表示线段长度，转化为二次函数最值问题，体现数形结合| |几何变换与存在性|7题|平移翻折性质、分类讨论（等腰/平行四边形）|结合几何变换（平移、对称）探究图形存在性，强化逻辑推理与空间观念|

2026年中考数学必考知识点专题特训 二次函数与线段周长综合题 1．如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 3．如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点． (1)求三点的坐标； (2)点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线l：与该图形有交点，求t的取值范围． 8．如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 9．如图，一次函数分别交轴、轴于两点，抛物线过、B两点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)作垂直于轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)在（2）的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，求第四个顶点的坐标． 10．已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． (1)直接写出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 12．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 13．如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标， (3)连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标． 14．如图，一次函数与二次函数的图象交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点C的坐标为_______； (3)点D为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点D作轴，交线段于点E，求线段长度的最大值并求出此时点D的坐标． (4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 15．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学必考知识点专题特训-二次函数与线段周长综合题》参考答案 1．(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴和点D的坐标，根据待定系数法求出a、b的值； （2）过E作于F，根据角平分线的性质，然后根据可得出关于的方程，解方程即可求解； （3）①先求出平移后抛物线的解析式，分两种情况讨论：；，根据二次函数的性质求解即可； ②待定系数法求出的解析式，根据题意求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，点， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵，交抛物线于点D， ∴C、D关于直线对称， ∴， ∵抛物线交x轴于点，点， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 过E作于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：①由（1）知， ∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， 综上，； ②设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t， ∴M的纵坐标为，， 由①知：， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴当时，随t的增大而减小， 又， ∴， 即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小． 2．(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 3．(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 4．(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）可证明，则为定值，则可证明当有最大值时，有最大值；根据，推出，仿照（2）求出取得最大值时点E的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 5．(1)，， (2) (3)存在，或 【分析】（）分别把和代入解析式中计算即可求解； （）作轴于，交于，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，得，进而得到，可知当时，的面积最大，即得，作轴，作于，作于，由得，得到，即得到，即可求解； （）作轴于，由题意可得新抛物线的解析式为，设，由得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∵在的左侧， ∴，； （2）解：如图，作轴于，交于， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴， 作轴，作于，作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在点或，使，理由如下： 如图，作轴于， ∵抛物线沿射线方向平移后过点， ∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，（不合，舍去），，（不合，舍去）， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 7．(1)； (2)点P的坐标为． (3)时，直线l与“心形图”有交点． 【分析】（1）求出，再代入求出即可； （2）设，过点P作于点M，过点P作轴交于点N，求出，得出，根据二次函数性质求出结论即可； （3）当直线l与抛物线只有一个交点时，求出，再根据对称性求出当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点，进而求出结论． 【详解】（1）解：一次函数与x 轴分别交于点A、B两点， 当时，；当时，； 则， 把代入： 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设， 过点P作于点M，过点P作轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大为， 此时点 ∴点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标为． （3）解：当直线l与抛物线只有一个交点时， 令，即， 则， ∴， ∴， ∴当时，直线l与“心形图”右上方只有一个交点， 此时直线l与y轴交点， ∵直线l解析式的k值与直线解析式的k值相同，为， ∴直线l与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称，且直线可知： ∴上方直线l到直线的距离与下方直线l到直线的距离相等， 设下方直线l与轴交点为点E， 根据平行线分线段成比例可得， ， ， ，即， ∴当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线l与“心形图”有交点． 8．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 9．(1) (2)当时，有最大值，最大值为4 (3)或或 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）用含t的式子表示出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据（2）所求可求出点M和点N的坐标，再分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵抛物线过、B两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4； （3）解：由（2）可知，当时，， ∴． 设， 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 10．(1)对称轴为直线， (2) (3)； 或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可得到对称轴，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；根据题意得到点，，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最大值是5， ∴当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则 ， 解：由题意点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的坐标为或． 11．(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：由（2）得直线的解析式为， ∵点是直线上一动点， ∴设， ∵过点作线段（点在直线下方）， 则：， ∵点在抛物线上 ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵， 则或， ∴点的坐标为或． 12．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 13．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）把，代入求出的值即可确定函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式，设，则，，进而得到、，再根据列方程求得，即可确定点E的坐标； （3）过E作，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质得到，设，则，，进而得到，，再根据列方程求得m，即可确定点E的坐标． 【详解】（1）解：把，代入 得：， 解得． 抛物线的函数关系式为． （2）解：设直线的解析式为， 把，代入 得∶， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， 解得或（舍去）． ； （3）解：如图：过E作， ，关于PC对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ，， ，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ，解得：， ． 14．(1) (2) (3)有最大值为， (4) 【分析】（1）将，代入得到关于，的二元一次方程组求解即可； （2）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求解； （3）设，则，则，根据二次函数的性质得出的最大值，即可求解此时点坐标； （4）根据题意画出图形，分情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，设直线的解析式为：， 把点 ，代入， 得，解得 ， 直线的解析式为： ， 由（1）知抛物线的对称轴为， 点为抛物线对称轴上一动点，， 当点在上时，最小， 把代入，得， 点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，由（2）知 直线的解析式为，    设，则， 则， 当时，有最大值为， ∴ （4）解：如图，直线的解析式为：， 直线与轴的交点为， ， ， ， ， 若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形为正方形， 依题意，知D与F重合，点的坐标为；    ②以为中心分别作点F，点C的对称点 ，连接，则四边形是正方形， ∵， ∴点的坐标为；    ③延长到使，作于点，则四边形是正方形，    ∵点的坐标为，即，且为中点， ∴的坐标为； ④取的中点，的中点，则为正方形， ∵， ∴的坐标为，    综上所述，点N的坐标为： 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形面积问题，特殊四边形问题，正方形的性质，根据题意正确画图是解本题的关键． 15．(1) (2)最大值为4，此时 (3)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）利用抛物线经过的点以及对称轴的信息，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点P的坐标，进而表示出与的长度，得到关于点P横坐标的函数表达式，根据二次函数的性质求出最大值； （3）分点Q在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为：， ∴， 解得 ∴直线表达式为：， 设， 则由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为4，此时． （3）解：①当Q点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点Q， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时使得， ∵， ∴ ∵， 同上可求直线得解析式为， 联立，解得：或， ∴； ②当Q点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则点E与点Q重合， ∴， 综上所述：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $