第2部分 题型2 二次函数的图像与性质-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

类型一　二次函数的图象与系数的关系 【典例1】　(2024·东营)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．abc＜0 B．a－b＝0　 C．3a－c＝0 D．am2＋bm≤a－b(m为任意实数) D　[由函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 所以abc＞0． 故A选项不符合题意． 将点(－3，0)和(1，0)代入函数解析式，得 两式相减得， 8a－4b＝0， 所以2a－b＝0． 故B选项不符合题意． 将b＝2a代入a＋b＋c＝0得， a＋2a＋c＝0， 所以3a＋c＝0． 故C选项不符合题意． 因为抛物线与x轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)， 所以抛物线的对称轴为直线x＝＝－1． 又因为抛物线开口向下， 所以当x＝－1时，函数取得最大值a－b＋c， 所以对于抛物线上的任意一点(横坐标为m)，总有am2＋bm＋c≤a－b＋c， 即am2＋bm≤a－b． 故D选项符合题意． 故选D．] 　抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中， a，b，c，Δ的作用 字母 字母的符号 图象的特征 a a> 0 开口向上 a < 0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 a，b同号 对称轴在y轴的左侧 a，b异号 对称轴在y轴的右侧 c c＝0 经过原点 c>0 在x轴的上方(与y轴的正半轴相交) c<0 在x轴的下方(与y轴的负半轴相交) Δ Δ＝0 与x轴只有一个交点(顶点在x轴上) Δ>0 与x轴有两个交点 Δ<0 与x轴没有交点 [对点演练] 1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，则a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．a＞2 C．0＜a＜1 D．0＜a＜2 C　[由题图可得，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，则a＞0， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧， ∴－>0，即b＜0， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c分别与x轴、y轴交于点(－1，0)，(0，－1)， ∴a－b＋c＝0，c＝－1， ∴b＝a－1， ∴a－1＜0， 解得a＜1， ∴a的取值范围是0＜a＜1．故选C．] 2．(2024·四川眉山)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a＋2c＜0；③ax2＋bx≥a＋b；④若－2＜c＜－1，则－<a＋b＋c<－．其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[①∵函数图象开口向上，∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴上， ∴c＜0，∴bc＞0，故①错误； ②∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1， ∴－＝1，∴b＝－2a，∴x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴3a＋c＝0， ∴3a＋2c＜0，故②正确； ③∵对称轴为直线x＝1，a＞0， ∴y＝a＋b＋c是最小值，ax2＋bx＋c≥a＋b＋c，即ax2＋bx≥a＋b，故③正确； ④∵x1x2＝(－1)×3＝－3＝， ∴c＝－3a，∵－2＜c＜－1，∴－2＜－3a＜－1， ∴<a<，∵b＝－2a，∴a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a，∴－<a＋b＋c<－，故④正确． 综上所述，正确的有②③④．故选C．] 3．(2024·江苏连云港)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)的顶点为(1，2)．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2＋bx＋c＝0的一个根为3，则a＝－；④抛物线y＝ax2＋2是由抛物线y＝ax2＋bx＋c向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的．其中一定正确的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ B　[∵顶点为(1，2)， ∴－＝1， ∴b＝－2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵a＋b＋c＝2， ∴c＝2－a－b＝2－a－(－2a)＝2＋a， ∴c的正负无法判断，故①错误； ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确； ∵b＝－2a，c＝2＋a， ∴y＝ax2－2ax＋2＋a， ∵当x＝3时，y＝0， ∴0＝9a－6a＋2＋a， ∴a＝－，故③正确； ∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x－1)2＋2， ∴将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y＝a(x－1＋1)2＋2－2＝ax2，故④错误． 故选B．] 4．(2024·四川广安)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象与x轴交于点A，对称轴是直线x＝－，有以下结论：①abc＜0；②若点(－1，y1)和点(2，y2)都在抛物线上，则y1＜y2；③am2＋bm≤a－b(m为任意实数)；④3a＋4c＝0．其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　[∵二次函数的图象开口方向向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵－<0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①错误； ∵对称轴是直线x＝－，点(－1，y1)和点(2，y2)都在抛物线上， 又∵－－(－1)＝－＋1＝<2－＝， ∴y1＞y2，故②错误； ∵当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，当x＝－时，函数取最大值a－b＋c， ∴对于任意实数m有am2＋bm＋c≤a－b＋c， ∴am2＋bm≤a－b，故③正确； ∵－＝－， ∴b＝a， ∵当x＝－时，y＝0， ∴a－b＋c＝0， ∴9a－6b＋4c＝0，即3a＋4c＝0，故④正确． 故选B．] 5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论： ①abc＜0； ②2a＋b＝0； ③3a＋c＜0； ④方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0．其中正确的是________(只填序号)． ①②③④　[由题干图象可得， a＜0，b＞0，c＞0， 则abc＜0，故①正确； ∵－＝1， ∴b＝－2a， ∴2a＋b＝0，故②正确； ∵当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0， ∴y＝a＋2a＋c＜0， ∴3a＋c＜0，故③正确； ∵函数图象与x轴的正半轴交点在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是直线x＝1， ∴函数图象与x轴的另一个交点在点(0，0)和点(－1，0)之间， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0，故④正确． 综上，正确的结论是①②③④．] 类型二　二次函数与方程、不等式的关系 【典例2】　如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，－1)，B(0，3)两点．下列结论：①bc＜0；②b2－4ac＞0；③关于x的不等式ax2＋bx＋c≥kx＋m的解集是－3≤x≤0；④a2－ab＋ac＜0；⑤关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0无解．其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[由抛物线可知，a＞0，c＞0，－＜0， ∴b＞0，∴bc＞0， 故结论①不正确，不符合题意； ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＞0， 故结论②正确，符合题意； 由题干图象可知，关于x的不等式ax2＋bx＋c≥kx＋m的解集是x≤－3或x≥0， 故结论③不正确，不符合题意； 由抛物线可知，当x＝－1时，抛物线y＝ax2＋bx＋c对应的函数值小于0， 即a－b＋c＜0， ∵a＞0，∴a(a－b＋c)＝a2－ab＋ac＜0， 故结论④正确，符合题意； 由抛物线可知，抛物线的最低点的纵坐标介于－3和－2之间， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－4没有交点， ∴关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0无解， 故结论⑤正确，符合题意． 综上所述，正确的结论有3个． 故选C．] 　1．二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴的交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ (b2－4ac) 有两个交点 有两个相异的实数根 b2－4ac＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0 没有交点 没有实数根 b2－4ac＜0 2．二次函数与一元二次不等式的关系 设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)，则当a＞0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＜x1或x＞x2，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x1＜x＜x2；当a<0时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集是x1<x<x2，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是x<x1或x>x2． [对点演练] 6．若二次函数y＝(k－1)x2＋4x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k≤5 B．k≤5且k≠1　 C．k≥5 D．k<5且k≠1 B　[∵二次函数y＝(k－1)x2＋4x＋1的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有解， ∴ 解得k≤5且k≠1． 故选B．] 7．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－3，9)，B(1，1)，则关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为(　　) A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝－3　 C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝－3 D　[由题意可知，关于x的方程ax2－bx－c＝0的解，就是抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝bx＋c(b≠0)的两个交点坐标的横坐标，即x1＝1，x2＝－3．故选D．] 8．(2024·四川广元)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且－1＜x1＜0，2<x2＜3，则下列结论：①a－b＋c＜0；②方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根；③a＋b＞0；④a>；⑤b2－4ac＞4a2．其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[①∵抛物线开口向上，－1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0， 故①不符合题意； ②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)， ∴函数的最小值y＜－2， ∴ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根， ∴方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根， 故②符合题意； ③∵－1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－，且<－<， ∴1<－<3，而a＞0， ∴－3a＜b＜－a， ∴a＋b＜0， 故③不符合题意； ④∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)， ∴c＝－2， ∵当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，即3a－3b＋3c＞0，当x＝3时，y＝9a＋3b＋c＞0， ∴12a＋4c＞0， ∴12a＞8， ∴a>， 故④符合题意； ⑤∵－1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴x2－x1＞2， 由根与系数的关系可得：x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴＝－＝(x1＋x2)2－x1x2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝(x1－x2)2>×4＝1， ∴>1， ∴b2－4ac＞4a2， 故⑤符合题意． 综上，②④⑤正确，符合题意，正确的结论有3个． 故选C．] 9．(2024·邹城一模)如图，二次函数y＝ax2＋c的图象与一次函数y＝mx＋n的图象交于A(－2，p)，B(1，q)两点，则关于x的不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________． －2＜x＜1　[∵二次函数y＝ax2＋c的图象与一次函数y＝mx＋n的图象交于A(－2，p)，B(1，q)两点， ∴当－2＜x＜1时，ax2＋c＞mx＋n， ∴关于x的不等式ax2－mx＋c＞n的解集是－2＜x＜1．] 10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如表： x －4 －3 －1 1 5 y 0 5 9 5 －27 下列结论： ①abc＞0； ②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根； ③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5； ④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2； ⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3． 其中正确结论的序号为________． ①②④　[把(－4，0)，(－1，9)，(1，5)代入y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴abc＞0，故①正确； ∵a＝－1，b＝－2，c＝8， ∴y＝－x2－2x＋8， 当y＝9时，－x2－2x＋8＝9， ∴x2＋2x＋1＝0， ∵Δ＝22－4×1×1＝0， ∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝＝－1， ∴抛物线的顶点坐标为(－1，9)， 又∵a＜0， ∴当x＜－1时，y随x的增大而增大；当x＞－1时，y随x的增大而减小；当x＝－1时，函数取最大值9， ∵x＝－3与x＝1时函数值相等，等于5， ∴当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误； ∵＝－1， ∴点(m，y1)，(－m－2，y2)关于对称轴x＝－1对称， ∴y1＝y2，故④正确； 由ax2＋(b＋1)x＋c＜2，得ax2＋bx＋c＜－x＋2，即－x2－2x＋8＜－x＋2，画函数y＝－x2－2x＋8和y＝－x＋2图象，如图， 由解得 ∴A(2，0)，B(－3，5)， 由图象可得，当x＜－3或x＞2时，－x2－2x＋8＜－x＋2，即ax2＋(b＋1)x＋c＜2，故⑤错误． 综上，正确的结论为①②④．] 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $