精品解析：天津市蓟州中学2025-2026学年第二学期第一次知识竞赛数学试卷

蓟州中学2025－2026学年度第二学期第一次知识竞赛数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. ，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是夹角为60°的单位向量，则（ ） A. 7 B. 13 C. D. 4. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数，则 A. B. C. D. 7. 已知向量，，若，则实数x的值为（ ） A. -3 B. 2 C. 4 D. -6 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若，方向相反，则与为相反向量 B. 模相等的两个平行向量相等 C. 零向量与任意向量平行 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 9. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（ ） A. -1 B. C. 1或 D. -1或 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 复数（i为虚数单位），则的虚部为______ 12. 如图，在中，，点E是CD的中点，，则______．(用表示) 13. 已知，，，则实数______． 14. 已知三边长分别为，则该三角形是______三角形.（填锐角/直角/钝角） 15. 在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是________． 三、解答题．（本大题共5个小题，共60分） 16. 已知与的夹角为，且，. （1）求； （2）求； （3）若（），求t的值. 17. 取何实数时，复数． （1）是实数？ （2）是虚数？ （3）是纯虚数？ 18. 如图，已知任意两个非零向量和，试作，，．猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想． 19. 在中，已知在线段上，且，设． （1）用向量表示； （2）若，求． 20. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓟州中学2025－2026学年度第二学期第一次知识竞赛数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. ，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量坐标的定义计算即得. 【详解】因，，则. 故选：C. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：，故中两向量共线，故A不能作为基底； 选项B：，故中两向量共线，故B不能作为基底； 选项C：，故中两向量共线，故C不能作为基底； 选项D：假设两向量共线，则存在实数， 使得，即， 若是基底，故不共线， 系数必须同时为0，即，方程组无解，假设不成立， 故两向量不共线，可以作为基底． 3. 已知，是夹角为60°的单位向量，则（ ） A. 7 B. 13 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合单位向量的定义及数量积的公式，求出，进而可求. 【详解】解：，所以. 故选:C. 【点睛】本题考查了单位向量的定义，考查了向量的数量积公式，考查了向量模的求解.本题的关键是求出模的平方.一般求向量的模时，可通过向量的平方等于模的平方这一性质，先求出向量平方的值，再求模；也可由模的坐标表示进行求解. 4. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 6. 已知复数，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的运算法则化简复数，进而可求其模长. 【详解】 ∴ 故选： 7. 已知向量，，若，则实数x的值为（ ） A. -3 B. 2 C. 4 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【详解】因为，，，所以，解得． 故选：D. 【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若，方向相反，则与为相反向量 B. 模相等的两个平行向量相等 C. 零向量与任意向量平行 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可知，从而得出结果． 【详解】∵， ∴由正弦定理可得：， ，，. 故选：A． 10. 已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（ ） A. -1 B. C. 1或 D. -1或 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的共线定理列方程求出的值，再讨论的值是否满足与反向． 【详解】因为向量，不共线，且向量，，与方向相反， 所以存在实数使， 则，即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 复数（i为虚数单位），则的虚部为______ 【答案】 【解析】 【详解】由已知， 又 ， ， 因此，可得，所以的虚部为. 12. 如图，在中，，点E是CD的中点，，则______．(用表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据中点向量公式得，将代入求解即可. 【详解】由，得， 因为点E是CD的中点，所以. 故答案为： 13. 已知，，，则实数______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的充要条件（数量积为0），结合向量坐标运算列方程，即可求解. 【详解】因为，，则， 又，则，解得. 14. 已知三边长分别为，则该三角形是______三角形.（填锐角/直角/钝角） 【答案】钝角 【解析】 【分析】利用大边对大角确定最大内角，通过余弦定理计算该角的余弦值符号判断三角形类型. 【详解】根据三角形大边对大角的性质，边长为的边为最大边，其所对内角为最大内角，记为，其中， 令三角形的其余两边分别为， 由余弦定理得： 因此角为钝角，故为钝角三角形. 15. 在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系，由点在边上（包含端点），则可设，结合平面向量的数量积的坐标表示、二次函数的性质求解即可. 【详解】 在直角梯形中，， 以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系， 因为， 则，，， 则, 因为点在边上（包含端点），有， 设，则， 所以，则， 所以， 则， 则， 所以， 则当时，有最大值， 当时，有最小值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题．（本大题共5个小题，共60分） 16. 已知与的夹角为，且，. （1）求； （2）求； （3）若（），求t的值. 【答案】（1）3 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式进行计算； （2）利用和向量数量积运算法则计算出答案； （3）根据垂直关系得到数量积为0，从而得到方程，求出t的值. 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且，， 则； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为，所以， 即， 所以，解得 17. 取何实数时，复数． （1）是实数？ （2）是虚数？ （3）是纯虚数？ 【答案】（1）或 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）对于复数（），当时，为实数，构造方程计算； （2）对于复数（），当时，为虚数，构造方程计算； （3）对于复数（），当且时，为纯虚数，构造方程计算. 【小问1详解】 当复数为实数时，其虚部等于零，即. 可得或，即或. 所以，当或时，复数为实数. 【小问2详解】 当复数为虚数时，其虚部不等于零，即，得且，即且. 所以，当且时，复数为虚数. 【小问3详解】 当复数为纯虚数时，其实部等于零且虚部不等于零，即. 解方程，可得或，即或. 结合，即，可得且. 综合以上两个条件，舍去，所以. 所以，当时，复数为纯虚数. 18. 如图，已知任意两个非零向量和，试作，，．猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想． 【答案】A，B，C三点共线，见解析. 【解析】 【分析】判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立． 【详解】分别作向量，，，过点A，C作直线（如图）， 观察发现，不论向量和怎样变化，点B始终在直线上，猜想A，B，C三点共线． 事实上，因为， ， 所以． 因此，A，B，C三点共线． 【点睛】本题考查用向量证明三点共线，方法是先证明两个向量共线，且有公共点，属于常考题. 19. 在中，已知在线段上，且，设． （1）用向量表示； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量基本定理求出答案； （2）先求出，结合（1）中所求的，利用向量数量积公式求出的值. 【小问1详解】 因为，所以， 由题得； 【小问2详解】 由已知得， ． 20. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案； （2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案. 【小问1详解】 因为，，且， 则.， 由正弦定理得， 因为，所以， 可得，即. 且，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，或（舍）， 所以的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $