学易金卷：高一数学下学期第三次月考【天津专用，测试范围：人教A版必修第二册第6～9章】

**基本信息** 聚焦高一数学必修二（第六章~第九章）核心内容，以基础巩固与能力提升为梯度，融合空间几何、统计应用等现实情境，适配月考阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|向量共线、空间线面关系、直观图面积|基础概念辨析，如向量共线（题1）、空间命题判断（题5），渗透几何直观| |填空题|5/20|复数运算、统计平均数、实际测量|分层设问，如塔高测量（题13）体现应用意识，圆柱内切球体积比（题15）考查空间观念| |解答题|5/60|复数分类、解三角形、统计图表、立体几何证明|综合能力考查，如四棱锥线面垂直证明（题19）培养推理能力，长方体截面问题（题20）发展空间想象|

■■■ ■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 姓 名： 答题卡 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 n 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2IA][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][CI[D] 8[A][B][C][D] 說 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 13 1 14 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) M D B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) D' B2 D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．向量与共线，则的值为（    ） A． B．4 C．9 D． 2．已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 3．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 4．在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 6．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 7．已知中，，且E为中点，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 8．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 10．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．已知是虚数单位，则______． 12．若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 13．某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米． 14．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 15．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．当实数取何值时，复数满足： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第四象限． 17．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 18．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2．    (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 20．如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 ． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [ A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 4 分，共 2 0 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． __________________ __ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共 60 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．向量与共线，则的值为（    ） A． B．4 C．9 D． 【答案】D 【详解】因为向量与共线， 所以 ，解得. 2．已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又A、C、D三点共线，所以，所以，解得. 3．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在四边形中，，， 根据是平行四边形可得，四边形是矩形，且， 所以四边形的面积. 4．在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理得，，所以. 5．已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】C 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 6．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【详解】该正四棱锥的高为，则该正四棱锥的体积． 7．已知中，，且E为中点，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 已知中，， ， E为中点， ，故， ． 8．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 9．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 10．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．已知是虚数单位，则______． 【答案】1 【详解】由， 则. 12．若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 【答案】 【详解】设一组数据的，，，的平均数为，则， 则，，，的平均数为. 13．某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米． 【答案】 【详解】设塔高米， 在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以； 在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以； 在中，已知，， 由余弦定理得， 得， 化简得，解得 或（舍去）， 即塔高为米. 14．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 【答案】 /0.5 2 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 15．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【答案】 2:3/ 【详解】已知球的半径，则球的体积为. 根据题意得，，则圆柱体积，则. 设为点到平面的距离，则，而平面经过线段的中点， 四面体的体积：. 所以四面体 的体积的取值范围为. 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．当实数取何值时，复数满足： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第四象限． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【详解】（1）若为实数，则，解得或； （2）若为纯虚数，则，解得或； （3）若在复平面内对应的点在第四象限， 则，即，解得，解得， 故的取值范围为. 17．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，， 可得， 由余弦定理， 可得. （2）由题， 由正弦定理得， 因为，所以，即， 由（1），所以， 得. （3）由（1）可知，所以为钝角，为锐角， 所以， 因为，， 所以. 18．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2．    (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 【答案】(1)50，0.03，0.004 (2)71，70.6 【详解】（1）由题意可知，样本容量为，， ； （2）设中位数为m， ，则， 由题意可得：，解得， 所以本次竞赛学生成绩的中位数为71； 由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为 ， 所以本次竞赛学生成绩的平均数为70.6． 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 20．如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为截面为正方形， 所以， 在中，， 即，解得， 所以三棱柱的表面积 （2）由题可得： （3）因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 5 7 8 9 10 答案 D Q B C D C D 第二部分（非选择题共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.112.1313.50 14.0.5 2 15. 2-3 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(10分) 【答案】(1)m=0或m=4 (2)m=-2或m=3 (3)3,4 【详解】(1)若z=m2-m-6)+m2-4m)i为实数，则m2-4m=0,解得m=0或m=4; (2)若z=m2-m-6+(m2-4m)i为纯虚数，则 m2-4m≠0 m2-m-6=0'解得m=-2或m=3: (3)若z=(m2-m-6)+(m2-4m)i在复平面内对应的点在第四象限， 则 m2-4m<0 m(m-4<0 [0<m<4 -m-6⊙0年圆-到四+2>0解得-2或m≥3解得3<m<4, 故m的取值范围为3,4) 17.(10分) 【答案10-号 ②4 1/5 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 8i5+3V7 32 【详解】(1)由题可知，b2+2bc+c2=a2+二bc, 2 可得B2+c2-a2=-3c, 2 由余弦定理cosA= b2+c2-a2 2bc 可得cosA三- (2)由题√7 c sin B=bsinA, 由正弦定理得√7 sin Csin B=sin Bsin A, 因为sinB≠0，所以V万siC=sinA,即sinC- -sin 4, 7 由(1)cosA=&,所以smA=Vcos27专V7 4 得sic-5sin4-5x5- 7×44 (3)由1)可知coA=-3<0,所以A为钝角，C为锐角， 4 所以cosC=-sin'c=5 4 因为sin2A=2sin4osA=3 cos24=2cos4-1= 8 所以cos(2A+C)=cos2 AcosC-sin2 Asin C= √15+3√万 32 18.(10分) 【答案】(1)50,0.03,0.004 (2)71,70.6 2 【详解】(1)由题意可知，样本容量为n= =50,y= =0.004, 0.016×10 50×10 x=0.1-0.016-0.04-0.01-0.004=0.03; (2)设中位数为m, (0.016+0.03)×10<0.5<(0.016+0.03+0.04×10,则me[70,80], 由题意可得：(0.016+0.03×10+(m-70)×0.04=0.5,解得m=71, 所以本次竞赛学生成绩的中位数为71： 由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为 2/5 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x=55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6, 所以本次竞赛学生成绩的平均数为70.6. 19.(15分) 【答案】(1)证明见解析 (②)证明见解析 3)vf05 21 【详解】(1)连接BD,OM,因为底面ABCD为平行四边形， O为AC中点，故BD与AC相交于O, 因为M为PD的中点，则OM11PB, 因为OMc平面ACM,PBg平面ACM, 所以PB/1平面ACM. M B (2)因为∠ADC=45°，AD=AC=1, 由余弦定理得cos∠ADC=4D+CD-AC2 2AD.CD 即cos459=1+CD,解得cD=V2了 2CD 因为AD2+AC2=CD2,所以AD⊥AC, 因为PO⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PO⊥AD, 因为AC,P0c平面PAC,且AC交PO于O, 所以AD⊥平面PAC. (3)取OD的中点N,连接MN,AN,则MN/OP, 3/5 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 因为PO⊥平面ABCD,所以MN⊥平面ABCD, 则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成角， 其中P0=2,故MN=OP=1, 2 因为AD上AC,A0=AC= 2 股定理得0p=aD±A0L+=5,放NO2 42 4 5 由勾股定理得AM=VAN'+MN产=②，所以cos∠MaN=4N- 4 V105 4 AM V27 21 即直线AM与平面ABCD所成角的余弦值为VO5 21 20.(15分) 【答案】(1)288 (2)120 (3)80 【详解】(1)因为截面A'D'EF为正方形， 所以A'D'=A'F=BC=10, 在RtaA'AF中，AA2+AF2=AF2, 即62+AF2=102,解得AF=8, 所以三棱柱AA'F-DD'E的表面积 =2S.Ar+S矩形ADD4+S矩形ADEF+S正方形AFED=2×)×6×8+10×6+10×8+10×10=288 2 1 1 (2)由题可得：'c-pr='r-Dc=×EF×S,c=7×10×5×6×12=120 3 3 2 4/5 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)因为'g-ADEP=2Vg-EP=2V-EF, 在长方体中AA'⊥平面BEF, 所以三棱锥A'-BEF的高为AA=6, 所以%au=2写x5w×H=2x合EFxF水6 ×1x1x10×4×6=80 =2×32 5/5 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．向量与共线，则的值为（    ） A． B．4 C．9 D． 2．已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 3．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 4．在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 6．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 7．已知中，，且E为中点，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 8．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 10．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．已知是虚数单位，则______． 12．若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 13．某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米． 14．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 15．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．当实数取何值时，复数满足： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第四象限． 17．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 18．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2．    (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 20．如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 ． 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $