河南九年级下册期末数学测试卷

**基本信息** 河南九年级下册期末数学测试，立足人教版全六册，以汝瓷三视图、金箔科学记数法等原创情境题，融合跨学科与项目式学习，考查数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|实数、三视图、科学记数法、运算、几何证明|第2题汝瓷传统文化考三视图，第3题跨学科考科学记数法| |填空题|5题15分|计算、方程根、统计、面积计算|第13题课堂评价统计考查数据意识| |解答题|8题75分|统计分析、函数应用、几何综合、项目式学习|第18题非遗文创考函数最值，第22题炮弹飞行跨学科考二次函数应用|

应用场景：期末测试 河南九年级下册期末数学测试 初中阶段人教版全六册 （考试时间：100分钟，分值：120分） 一、选择题。（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。 1．下列各数中最小的数是（　　） A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣5 2．（原创）（新情境·传统文化）汝瓷产于河南省平顶山市宝丰县清凉寺（古属汝州），始烧于唐朝中期，盛名于北宋，位居宋代“五大名瓷”之首．下面汝瓷作品有关其三视图的说法正确的是（　　） A．主视图和左视图完全相同 B．主视图和俯视图完全相同 C．左视图和俯视图完全相同 D．三视图完全相同 3．（原创）（新考向·跨学科）在自然界中，‌延展性最好的金属是金（Au）‌，可碾压成厚度仅‌0.000127毫米的金箔，数据‌0.000127用科学记数法表示为（　　） A．1.27×10﹣3 B．0.127×10﹣3 C．1.27×10﹣4 D．127×10﹣6 4．下列运算正确的是（　　） A．（ab3）2＝a2b6 B．a3+a2＝a5 C．a3•a2＝a6 D．2（a﹣b）＝2a﹣b 5．如图，l1∥l2，l2∥l3，若∠1＝131°，则∠2的度数为（　　） A．31° B．49° C．51° D．59° 6．(新考法·学科内知识融合)已知函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+x+b＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 7．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD于H，交BC的延长线于点F，连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（　　） A．4 B． C． D． 8．（原创）（新情境·生产生活）某火锅店将A，B，C，D四种凉菜摆放在甲，乙，丙，丁四块区域里（中间有一圆形火锅），每块区域只能摆放一种凉菜，则C，D两种凉菜位置相邻的概率是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在正方形ABDE中，连接AD，将含30°的三角板放在如图△ABC的位置上，∠C＝30°，AB＝2，将三角板ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，旋转角是一个锐角，并且使A′C′∥AD，A′C′交BC于点F，求BF的长是（　　） A． B． C． D． 10．如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ﹣DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题。（每小题3分，共15分） 11．计算：　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝　　 ． 13．（新情境.课改实践）某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：2：1：2：3对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为　 　 ． 14．如图，点O是边长为1的正六边形的中心，以OA为半径的扇形的圆心角∠AOB＝60°，，则阴影部分的面积为　 　 ． 15．如图，AC是矩形ABCD的对角线，DE⊥AC，垂足为E，点M，N分别在线段AC，BC上，AM：CN＝2：．若△MNE是以ME为腰的等腰三角形，AB＝10，∠CAD＝30°，则AM的长是 　 　 ． 三、解答题。（本大题共8个小题，共75分） 16．（10分）（1）化简：． （2）解不等式组：． 17．（9分）（新情境·五育并举）为了加强学校体育工作，促进学生身心健康发展，教育部和国家体育总局颁发了《学生体质健康标准》．某校体育老师为准确掌握初中学生体质健康变化情况，对同一届学生在初一学年和初二学年的体质健康测试成绩进行了统计，并从中随机抽取了20名学生，对他们的两次测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．这20名学生初一测试、初二测试成绩得分统计如图： b．这20名学生初一测试成绩、初二测试成绩的平均数、中位数、方差如表： 平均数 中位数 方差 初一测试 72.0 71.5 99.7 初二测试 86.8 m 88.4 c．按照初二测试成绩把学生成绩分为A、B、C三个等级，若初二测试的成绩为x，被抽取的20名学生中有8人是A等级（90≤x≤100），有7人是B等级（80≤x＜90），有5人是C等级（x＜80），其中B等级所有学生的成绩是：80 82 83 85 87 88 88． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小涵同学初一测试的成绩为80分，初二测试的成绩为95分，请在图中用“〇”圈出小涵对应的点； （2）写出表中m的值，m＝ 　 　 ； （3）全年级学生共760人，估计能获得“A等级”的学生有 　 　 人； （4）若“体质健康增长率%”，请在图中用△标记出8名获得A等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点． 18．（9分）（新情境· 地域名片）某非遗文创工坊生产两种河南特色手工艺品：汴绣挂件与龙门摆件．已知生产3个汴绣挂件和2个龙门摆件共需成本280元；生产5个汴绣挂件和4个龙门摆件共需成本500元． （1）每个汴绣挂件、龙门摆件的生产成本各是多少元？ （2）该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品80个，要求龙门摆件的数量不超过汴绣挂件数量的2倍．设生产汴绣挂件x个，总利润为w元．已知每个汴绣挂件利润为25元，每个龙门摆件利润为40元． ①求w与x的函数关系式； ②如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 19．（9分）（改编）如图所示，在△ABC中，，∠B＝30°，点O为边BC上一点，以O为圆心的圆经过点A，B． （1）求作圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：AC是⊙O的切线． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）在平面内存在一点P，且∠APB＝90°，请直接写出OP的最小值． 21．（9分）（新考法·项目式学习）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案． 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：C为AB的中点，CD⊥AB 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： （1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是　 　 ； A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 （2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变．若其他因素忽略不计，测得CD＝32cm，∠C'AC＝12°，∠C'AD＝45°，请计算此时水桶下降的高度CC'（参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2）． 22．（10分）（改编）（新考向·跨学科）炮弹飞行的高低远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，在忽略空气阻力、炮口与地面的高度等其他因素的前提下，发射的炮弹在飞行过程中距发射点的竖直高度y（单位：百米）与水平距离x（单位：百米）近似满足二次函数关系．某军备部门选择在一座小山前对新研制的榴弹炮进行测试，如图，小山位于榴弹炮正前方，山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米．（图中各点在同一平面内，榴弹炮与山脚、居民区在同一水平线上，榴弹炮底座高度忽略不计） （1）在某次测试中发现，当炮弹飞行的水平距离x为12时，达到的最大高度y为2.88；若以炮口为坐标原点，以榴弹炮和山脚M所在水平线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，则山顶A的坐标是　 　 ，炮弹飞行轨迹的顶点坐标是　 　 ； （2）在（1）的条件下，请通过计算说明炮弹能否越过山顶； （3）通过调整发射角度改变炮弹飞行轨迹，设调整后炮弹的运行轨迹为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0），已知炮弹的最大杀伤半径为2百米，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点N处有居民区；若要求炮弹落点在山顶和居民区之间（既要越过山顶，又不影响居民区），求a的取值范围． 23．（10分）（改编）问题情境：如图1，在△ABC中（AB＞BC），点D在边AB上（AD＞BD）．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平． （1）猜想证明：判断四边形BDB′E的形状，并说明理由； （2）拓展探究：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，折痕与边AC交于点F，展平后连接A′E交边AC于点G，连接A′F．若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由； （3）若∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 3 有理数大小比较 0.85 2 单选题 3 简单组合体的三视图 0.8 3 单选题 3 科学记数法—表示较小的数 0.75 4 单选题 3 幂的乘方与积的乘方；合并同类项 0.75 5 单选题 3 平行线的性质；平行公理及推论 0.65 6 单选题 3 根的判别式；一次函数的图象 0.7 7 单选题 3 菱形的性质 0.45 8 单选题 3 列表法与树状图法 0.5 9 单选题 3 旋转的性质；正方形的性质 0.6 10 单选题 3 动点问题的函数图象 0.55 11 填空题 3 实数的运算 0.75 12 填空题 3 一元二次方程根的判别式 0.75 13 填空题 3 加权平均数 0.65 14 填空题 3 正多边形和圆；扇形面积的计算 0.65 15 填空题 3 矩形的性质；等腰三角形的性质 0.3 16 解答题 10 分式的化简；解一元一次不等式组 0.8 17 解答题 9 方差；用样本估计总体；加权平均数；中位数 0.75 18 解答题 9 一次函数的应用；二元一次方程组的应用 0.75 19 解答题 9 作图—复杂作图；切线的判定 0.75 20 解答题 9 反比例函数综合题 0.65 21 解答题 9 解直角三角形的应用 0.65 22 解答题 10 二次函数综合题 0.4 23 解答题 10 四边形综合题 0.35 $ 河南九年级下册期末数学测试 初中阶段人教版全六册 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C A B B C A D B 一、选择题。（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。 1. 【答案】D． 【解析】4，0，﹣3，﹣5中最小的数是﹣5，故选：D． 2. 【答案】A． 【解析】根据题意可知，汝瓷作品的主视图和左视图是完全相同．故选：A． 3. 【答案】C． 【解析】‌0.000127＝1.27×10﹣4．故选：C． 4. 【答案】A． 【解析】（ab3）2＝a2b6，则A符合题意，a3与a2不是同类项，无法合并，则B不符合题意， a3•a2＝a5，则C不符合题意，2（a﹣b）＝2a﹣2b，则D不符合题意，故选：A． 5. 【答案】B． 【解析】∵l1∥l2，∴∠1+∠2＝180°．又∵∠1＝131°，∴∠2＝180°﹣131°＝49°．故选：B． 6. 【答案】B． 【解析】根据一次函数的性质得b＜0，∴Δ＝1﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B． 7. 【答案】C． 【解答】设CD与EF的交点为M，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CDB， ∵点E是AD中点， ∴，在△DEM和△DHM中，， ∴△DEM≌△DHM（ASA），∴DE＝DH，∴DH＝CH， ∵AD∥BC，∴△DEH△CFH，∴，∴DE＝CF＝2， ∴AD＝4＝CD＝BC，∴BF＝6，∵BD＝4，∴BC＝CD＝BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠DBC＝60°，∴∠BFM＝30°，∴，， ∴DM＝1，∴．故选：C． 8. 【答案】A． 【解析】设将A种种菜肴摆放在甲区域，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中C，D两种菜肴位置相邻的结果有4种，∴C，D两种菜肴位置相邻的概率是，故选：A． 9. 【答案】D． 【解析】如图，四边形ABDE 是正方形，过点B作BG⊥A′F，交A′F于点G， ∴∠ADB＝45°，∵A′F∥AD，∴∠A′FB＝∠ADB＝45°， ∵三角板ABC绕点B 旋转至△A′BC′， ∴∠BA′C′＝∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AB＝A′B＝2， 在Rt△A′BG中，，即， 解得：， 在Rt△BFG中，，即，解得：．故选：D． 10. 【答案】B． 【解析】由图象得：CD＝2，当BD+BP＝4时，PQ＝CD＝2，设AD﹣CD＝a，则BD＝4﹣a， 在Rt△BCD中，BD2﹣BC2＝CD2， 即：（4﹣a）2﹣（a+2）2＝22， 解得：a，∴AD＝a+2，故选：B． 二、填空题。（每小题3分，共15分） 11. 【答案】3．（3分） 【解析】原式＝1+2＝3，故答案为：3． 12. 【答案】1．（3分） 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即4﹣4k＝0， 解得k＝1，故答案为：1． 13. 【答案】8．（3分） 【解析】“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：2：1：2：3对学生学习过程进行课堂评价，结合图可得，该学生的课堂评价成绩为：，故答案为：8． 14. 【答案】．（3分） 【解析】如图，设正六边形的边长CD，连接OC，OD，则∠COD＝60°，OC＝OD＝CD＝1， ∵∠AOB＝60＝∠COM＝∠CON，∠COD＝60°＝∠DON+∠CON，∴∠COM＝∠DON， ∵∠ODN＝∠OCM，OC＝OD， ∴△COM≌△DON（ASA），∴S四边形OMCN＝S△COD， ∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S四边形OMCN＝S扇形OAB﹣S△COD1 ． 故答案为：． 15. 【答案】10或．（3分） 【解析】作FE⊥BC，MH⊥BC，分别交BC于点F、H， ∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝10．∠ADC＝90°，AD∥BC， 设AM＝2x，则CNx，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD＝2×10＝20，∵∠DCE＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣60°＝30°，∴CECD10＝5， ∴ME＝AC﹣AM﹣CE＝20﹣2x﹣5＝15﹣2x，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝30°， ∴MHCM（AC﹣AM）（20﹣2x）＝10﹣x， ∴CH（10﹣x）， ∴NH＝CH﹣CN（10﹣x）x＝102x， 在△MNH中，MN2＝MH2+HN2＝（10﹣x）2+（102x）2＝13x2﹣140x+400， 当ME＝MN，则ME2＝MN2，即（15﹣2x）2＝13x2﹣140x+400，解得：x1＝5，x2， ∴AM＝2×5＝10或AM＝2，在Rt△CEF 中，EFCE， ∴CF，∴NF＝CN﹣CF， 在Rt△ENF中，EN2＝EF2+NF2， 当ME＝EN时，则ME2＝EN2， 即（15﹣2x）2＝3x2﹣15x+25，解得：x＝40或x＝5，AM＝2x＝80或AM＝10， ∵0＜AM＜20，综上所述，AM＝10或，故答案为：10或． 三、解答题。（本大题共8个小题，共75分） 16．【答案】（1） ．（2）1≤x＜2． 【解析】（1）原式 （2分） （4分） ．（5分） （2）， 解不等式①得x≥1．（2分） 解不等式②得x＜2．（4分） 所以不等式组的解集为：1≤x＜2．（5分） 17．【答案】（1）如解析图所示；（2）87.5；（3）304；（4）如解析图所示． 【解析】（1）解：将小涵同学初一测试的成绩和初二测试的成绩在图中用““圈出对应的点， 如图所示：（3分） ； （2）初二测试的成绩，被抽取的20名学生中有8人是A等级（90≤x≤100）， 有7人是B等级（80≤x＜90），有5人是C等级（x＜80） ，其中B等级所有学生的成绩是：80，82，83，85，87，88，88， 将初二测试成绩按照从小到大的顺序排列， 排在10和11位的是87，88， 则初二测试成绩的中位数m＝（87+88）÷2＝87.5，故答案为：87.5；（5分） （3）依题意，760304（人）， 即全年级学生共760人，估计能获得“A等级”的学生有304人， 故答案为：304；（7分） （4）根据“体质健康增长率%”， 则标记8名获得4等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点，如图所示：（9分） ． 18．（9分）【答案】（1）每个汴绣挂件成本为60元，每个龙门摆件成本为50元； （2）生产汴绣挂件27个，龙门摆件53个时利润最大，最大利润为2795元． 【解析】（1）设每个汴绣挂件成本为x元，每个龙门摆件成本为y元，（1分） 根据题意，得，（3分） 解得，（4分） 答：每个汴绣挂件成本为60元，每个龙门摆件成本为50元； （2）该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品80个，要求龙门摆件的数量不超过汴绣挂件数量的2倍． ①设生产汴绣挂件x个，根据题意，得w＝25x+40（80﹣x），∴w＝﹣15x+3200，（5分） 即w＝﹣15x+3200；（6分） ②根据题意，得80﹣x≤2x，解得，（7分） ∵在w＝﹣15x+3200中，﹣15＜0， ∴w随x的增大而减小，（8分） ∵x为整数， ∴当x＝27时，w最大，为﹣15×27+3200＝2795， 此时龙门摆件：80﹣27＝53个， 即生产汴绣挂件27个，龙门摆件53个时利润最大，最大利润为2795元．（9分） 19．（9分）【答案】（1）解：如解析图，圆O即为所求； （2）见解析． 【解析】（1）解：如图，圆O即为所求；（4分） （2）证明：连接OA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°，（5分） ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝30°， ∴∠BAC＝120°，（7分） ∴∠CAO＝∠BAC﹣∠OAB＝90°， ∴OA⊥AC，∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．（9分） 20．【答案】（1）一次函数解析式为y1＝x+1；（2）x＜﹣2或0＜x＜1；（3）． 【解析】（1）A（1，2）在反比例函数y2的图象上， ∴k＝1×2＝2， ∴反比例函数的解析式为y2，（2分） ∵B（﹣2，m）在反比例函数y2的图象上， ∴m1，（3分） ∴B（﹣2，﹣1），把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝ax+b得：， 解得，（4分） ∴一次函数解析式为y1＝x+1；（5分） （2）由函数图象可知：y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜1；（6分） （3）∵∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动， 设AB的中点为Q，当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值， ∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）， ∴AB3，∴PQAB，（7分） ∵AB的中点为Q， ∴Q（，），∴OQ，∴OP＝PQ﹣OQ，故OP的最小值为．（9分） 21．【答案】（1）A；（2）此时水桶下降的高度CC′为8cm． 【解析】（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，故答案为：A；（3分） （2）设CC′＝xcm，由题意得：DC′⊥AB，C′D＝CC′+CD＝（x+32）cm，（4分） ∵∠C′AD＝45°， ∴△AC′D是等腰直角三角形，∴AC′＝C′D＝（x+32）cm，（5分） 在Rt△C′AC中，∠C′AC＝12°， ∴，（7分） 解得：x＝8，（8分） 答：此时水桶下降的高度CC′为8cm．（9分） 22．（10分）【答案】（1）（5，2）；（12，2.88）；（2）炮弹不能够越过山丘；（3）． 【解析】（1）由山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米可得山顶A的坐标（5，2）， 由当炮弹飞行的水平距离x为12时，达到的最大高度y为2.88可得炮弹飞行轨迹的顶点坐标（12，2.88）， 故答案为：（5，2）；（12，2.88）；（4分） （2）炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度是2.88百米， ∴设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为：y＝a（x﹣12）2+2.88代入（0，0）得144a+2.88＝0， ∴a＝﹣0.02，（5分） ∴y＝﹣0.02（x﹣12）2+2.88；（6分） ∵山顶距炮口的水平距离为5百米，∴当x＝5时，y＝1.9＜2，∴炮弹不能够越过山丘；（7分） （3）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c（a＜0），抛物线经过原点，开口向下， 所以抛物线解析式为：y＝ax2+bx（a＜0），∵要越过山顶， ∴当x＝5时，y＞2，即25a+5b＞2， ∴b＞0.4﹣5a①，（8分） 根据题意，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点N处有居民区，则居民区在x＝20处， ∵炮弹的最大杀伤半径为2百米，且需不影响居民区， ∴当x＝18时，y＜0，即324a+18b＜0； ∴b＜﹣18a②；（9分） 由①②得：﹣18a＞0.4﹣5a，解得：．（10分） 23．【答案】（1）四边形BDB′E是菱形；（2）DE与A′E的位置关系为DE⊥A′E；（3）或． 【解析】（1）四边形BDB′E是菱形； 证明：∵沿过点D的直线折叠该纸片，折痕与边BC交于点E，得到△DB′E， ∴△BDE≌△B′DE，（1分） ∴DB＝DB′，EB＝EB′，∠BDE＝∠B'DE，∵DB′∥BC，∴∠B′DE＝∠BED，∴∠BED＝∠BDE， ∴BE＝BD，∴BE＝DB'，∵BE∥DB'，∴四边形BDB′E是平行四边形，（3分） ∵DB＝DB′，∴四边形BDB′E是菱形；（4分） （2）DE与A′E的位置关系为DE⊥A′E；（5分）理由如下：由（1）知：四边形BDB′E是菱形， ∴BD＝B′D＝B′E， ∴∠B'DE＝∠B'ED，（6分） ∵沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上， ∴AD＝A′D．∵AD＝2BD，∴A′D＝2BD，（7分） ∴A'B＝BD，∴A'B＝B'E，∴∠B'EA'＝∠B'A'E，∵∠B'DE+∠B'ED+∠B'EA'+∠B'A'E＝180°， ∴∠B'ED+∠B'EA'＝90°，即∠DEA′＝90°， ∴DE与A′E的位置关系为DE⊥A′E；（8分） （3）或．（10分）提示如下：设A′D与AC交于点H，如图， 当A′F＝FG时，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， 由勾股定理得：，， ∵沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上， ∴∠A＝∠FA'B'，FA＝FA′，∴，∴， 设FH＝3k，则FA′＝5k， 在直角三角形FA′H中，由勾股定理得：， ∴FA＝FG＝FA'＝5k，AH＝AF+FH＝8k，∴HG＝FG﹣FH＝2k，AG＝FA+FG＝10k， ∴CG＝AC﹣AG＝8﹣10k，∵A′D∥BC，∴，∴， ∴AD＝10k，∴BD＝10﹣10k，∴DB′＝BD＝BE＝10﹣10k， ∴CE＝BC﹣BE＝10k﹣4，∵A′D∥BC，∴△A'HG∽△ECG， ∴，∴，解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴； 当A′F＝A′G＝5k时，FH＝HG＝3k，∴AG＝AF+FH+GH＝11k，∴CG＝CA﹣AG＝8﹣11k， ∵A′D∥BC，∴△A'HG∽△ECG，∴，∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意），∴．综上所述，AF的长为或． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $