精品解析： 2024-2025学年人教版九年级下册数学期末复习卷

人教版数学九下期末复习卷 时间：100分 满分：120分 一、选择题(每小题3分，共30 分) 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后的括号内． 1. 下列各选项的坐标对应的点在反比例函数的图象上的是（　　） A. B. C. D. 2. 小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是（ ） A. 线段 B. 一个点 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 3. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若点，在反比例函数的图像上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为12cm，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是（ ） A. 8cm B. 10cm C. 20cm D. 60cm 6. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ） A. B. C. D. 8. 冬天迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，段为助滑段，长为米，坡角为，一个曲面平台连接了助滑坡与着陆坡，已知着陆坡的坡度为，长度为米，，之间的垂直距离为米，则一人从出发到处下降的垂直距离为（ ）（，，，结果保留一位小数) A B. C. D. 9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C D. 10. 如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ） A B. C. D. 5 二、填空题(每小题3分，共15 分) 11. 计算 _______． 12. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是_____个． 13. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为_____． 14. 如图，等边三角形的顶点的坐标为，顶点在反比例函数的图象上，则_______． 15. 如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连接分别交，于点，，则的长为______． 三、解答题(本大题共8个小题，满分 75 分) 16. 计算： （1）； （2）． 17. 小明想利用阳光下的影长测量学校旗杆的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆，测得其影长米． （1）请在图中画出此时旗杆在阳光下投影； （2）如果米，求旗杆的高． 18. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）求与的函数解析式； （2）当时，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，将进行位似变换得到△． （1）△与的相似比是________； （2）画出关于y轴对称的； （3）设为内一点，则依上述两次变换后，点P在内对应点的坐标是________． 20. 如图，△ABC的内角平分线AP与外角平分线AQ分别交BC及BC的延长线于点P，Q， （1）求∠PAQ的度数； （2）若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM•BM． 21. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 22. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：． 23. 如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． （1）求证：； （2）某兴趣小组探究与的关系，该小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学九下期末复习卷 时间：100分 满分：120分 一、选择题(每小题3分，共30 分) 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后的括号内． 1. 下列各选项的坐标对应的点在反比例函数的图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．将各个选项的点代入反比例函数解析式，计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故在反比例函数的图象上，符合题意； B、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； D、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：A． 2. 小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是（ ） A. 线段 B. 一个点 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析. 【详解】解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影如图：； 当等边三角形木框与阳光垂直时，投影如图：； 当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影如图：； 投影不可能是B. 故选B. 【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同 3. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可． 【详解】解：该几何体的主视图为， 故选：A． 4. 若点，在反比例函数的图像上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，根据解得，从而求得． 【详解】解：点，，，在反比例函数的图象上， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 5. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为12cm，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是（ ） A. 8cm B. 10cm C. 20cm D. 60cm 【答案】A 【解析】 【分析】易知，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】此题考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据题意，结合三角函数的定义，可得的值，进而可得的值． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，由图知α在一个直角边长分别为3和4的直角三角形中，且α的对边长为3， 所以这个直角三角形的斜边长为， ， ． 故． 故选：C． 7. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案. 【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得. 由头顶至脖子下端的长度为26cm， 可得， 解得. 由已知可得， 解得. 综上，此人身高m满足. 所以其身高可能为175cm. 故选：B 【点睛】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键. 8. 冬天迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，段为助滑段，长为米，坡角为，一个曲面平台连接了助滑坡与着陆坡，已知着陆坡的坡度为，长度为米，，之间的垂直距离为米，则一人从出发到处下降的垂直距离为（ ）（，，，结果保留一位小数) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于，于，于，根据正弦的定义求出，设米，则，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】解：作于，于，于， 在中，， 米， 设米， 陆坡的坡度为， ， 由勾股定理得：，即， 解得：， 一人从出发到处下降的垂直距离为（米）， 故选：C． 9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数（a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可． 【详解】解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0， 所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函数图像得到a＞0、b＜0、c＜0是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，设，证明和，推出和，由，列式计算求得，在中，求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，交于点， ∵矩形， ∴， 由折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， ∵， 由①②得， 解得，则， 在中，， ∵， ∴，即， 故答案为：A． 二、填空题(每小题3分，共15 分) 11 计算 _______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案． 【详解】解： 故答案为：． 12. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是_____个． 【答案】7 【解析】 【分析】根据主视图和俯视图的定义即可得． 【详解】解：由主视图和俯视图可知，搭成该几何体的小正方体最多如图所示：其中，各数字表示所在行、列上小正方体的最多的个数， 则搭成该几何体的小正方体最多是（个）， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了主视图和俯视图，在俯视图上表示出正确的数字是解题的关键． 13. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为_____． 【答案】7 【解析】 【详解】解：如图，根据题意得：∠EDF+∠DEF=90°，∠DFE=∠IHG=90°，∠CDG+∠CGD=90°，∠IGH+∠CGD=90°， ∴∠DEF=∠CDG=∠IGH， ∴△DEF∽△IGH， ∴，即， 解得x1＝7，x2＝0（舍去）． 故答案为：7 14. 如图，等边三角形的顶点的坐标为，顶点在反比例函数的图象上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点，灵活运用．过点作轴于点，由是等边三角形，点的坐标为，可得，，根据锐角三角函数的定义求出及的长，可得出点坐标，进而得出值． 【详解】解：过点作轴于点， 是等边三角形，点的坐标为， ，， ，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连接分别交，于点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的边长为，，可得，，，，根据，推出，得到，进而求出，，，证明，得到，推出，证明，得到，可求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：菱形的边长为，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题(本大题共8个小题，满分 75 分) 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，涉及绝对值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式，特殊三角函数值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先化简绝对值、计算三角函数和零指数幂，再算加减即可； （2）先化简绝对值、计算负整数指数幂、三角函数和零指数幂，再算加减即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 小明想利用阳光下的影长测量学校旗杆的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆，测得其影长米． （1）请在图中画出此时旗杆在阳光下的投影； （2）如果米，求旗杆的高． 【答案】（1）见解析 （2）旗杆的高为 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，过A点作交于F，则为所求； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：连接，过A点作交于F，则为所求，如图∶ 【小问2详解】 解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， 即， ∴． 答：旗杆的高为． 18. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）求与的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，已知自变量求函数值， （1）设，将，代入求出即可； （2）将代入解析式求出的值． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 当时，， ， 与的函数解析式为； 【小问2详解】 当时，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，将进行位似变换得到△． （1）△与相似比是________； （2）画出关于y轴对称的； （3）设为内一点，则依上述两次变换后，点P在内的对应点的坐标是________． 【答案】（1）3 （2）图见详解； （3） 【解析】 【分析】此题考查作图——轴对称变换，位似图形的性质，关于对称轴对称的点的坐标，关键是根据轴对称图形的画法和位似图形的性质分析． （1）根据位似图形可得位似比即可； （2）根据轴对称图形的画法画出图形即可； （3）根据三次变换规律得出坐标即可． 【小问1详解】 解：与的相似比是： ， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：如图所示，分别找出 各顶点关于y轴对称的对称点，即可得 ； 【小问3详解】 解：点为内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为， 故答案为∶ ． 20. 如图，△ABC的内角平分线AP与外角平分线AQ分别交BC及BC的延长线于点P，Q， （1）求∠PAQ的度数； （2）若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM•BM． 【答案】（1）90°；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义即可解决问题； （2）首先证明MA=MP=MQ，再证明△AMC∽△BMA，可得＝，，由此即可解决问题； 【详解】（1）解：∵∠1＝∠BAC，∠CAQ＝∠CAD， ∴∠PAQ＝∠1+∠CAQ＝（∠BAC+∠CAD）＝90°． （2）证明：∵∠PAQ＝90°，PM＝MQ， ∴AM＝MP＝MQ， ∴∠MPA＝∠MAP， ∴∠B+∠BAP＝∠1+∠2， ∵∠BAP＝∠1， ∴∠2＝∠B， ∵∠AMC＝∠BMA， ∴△AMC∽△BMA， ∴＝， ∴MA2＝CM•BM， ∵MA＝MP， ∴PM2＝CM•BM． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的外角的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题关键正确寻找相似三角形解决问题． 21. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【小问1详解】 解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 22. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分别在表示出，，在得出，在中，根据等腰三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：过点B作于点E， 在中，，米， ∴米，米， 米， 米 在中，， 米， 米， ， 米． 答：杨树的高度约米． 23. 如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． （1）求证：； （2）某兴趣小组探究与的关系，该小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②当时，猜想，证明见解析 【解析】 【分析】（1）等边对等角，得到，等角余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论； （2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果； ②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， ∴当时，； ②当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$