2024年湖南湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学创新班中考选拔考试数学科试题卷

**基本信息** 湘钢一中创新班选拔数学卷，以刘徽割圆术（第12题）、水上乐园租金优化（第19题）为情境，通过选择、填空、解答分层设计，考查数学抽象、运算推理及模型意识，适配自主招生能力选拔需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|单选考网格几何（第4题）、程序运算（第5题）；多选考正方形综合（第9题）|基础与能力结合，多选考查综合判断| |填空题|3题15分|割圆术（第12题）、反比例函数（第13题）、正六边形滚动（第14题）|融入文化素材，考查空间观念与创新意识| |解答题|5题77分|角平分线定理证明（第16题）、抛物线综合（第17题）、租金优化（第19题）|注重推理与模型构建，综合考查数学思维与应用能力|

湘钢一中创新班选拔考试 数学科试题卷 一.选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各式中计算正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知关于x的方程 有一个实数根是x=2，那么m的值为( ) A. 5 B. 4 C. 5或4 D. 一切实数. 3、在 中，其中无理数的个数共有( ) A. 44个 B. 45个 C. 1979个 D. 1980个 4.如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ACB的正弦值是( ) A. B. C. D. 5.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>94”为一次程序操作，如果程序操作进行了四次才停止，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.如图,在平行四边形ABCD中, E为CD上一点, DE: CE=2: 3,连接AE交对角线 BD于点F，则 等于( ) A. 4: 10: 25 B. 9: 16: 49 C. 4: 6: 25 D. 3: 7: 49 7. 向上抛掷质地均匀的骰子，落地时向上的面点数为a (a的可能取值为1，2，3，4，5和6)，则关于x的不等式 有大于 5的整数解的概率为( ) A. B. C. D. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 8.如图，正方形ABCD的顶点A(2-2 ,0) , B(0,2),将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°后，点C的坐标为( ) A. B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，以△ABC的边AB，AC为边向外分别作正方形ABEF与正方形ACGD,连接BD, CF, DF,则下列说法正确的是( ) A. FC=BD B.△AFD为直角三角形 C. D.若 AB=1, AC=3,则 B 10.已知关于x的不等式组 有且只有三个整数解，且一次函数y=kx+k-6的图象不经过第四象限，则下列四个数中符合条件的整数k值有( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11.若有前后依次排列的两个整式 用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为C₁，用整式C₁与前一个整式B作差后得到新的整式C₂，用整式C₂与前一个整式C₁作差后得到新的整式C₃，…，依次进行作差，然后化简得到新的整式.则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 三.填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位.刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率π的近似值.例如：设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，如图，当n=6时， 当n=18时, (结果精确到0.01，参考数据： 第 2 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 13.如图，在矩形AOBC中，点O是坐标原点，点A在 的图象上，点B 在反比例函数 上， 则k= . 14.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形 ABCDEF，其中A、B的坐标分别为(1，0)和(2，0).若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点 A. B. C. D. E、F中, 会过点(45, 2) 的是点 . 四.解答题：共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题 13 分)化简下列各式. 16. (本题15分)三角形中有一条重要的角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线, (1) 请证明: (2) 当AB=3, AC=2, ∠BAC=60°时, 求AD的长. 第 3 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 17.(本题15分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A(-1,0), B(4,0)两点,与y轴交于点 C,连接BC. (1)求抛物线的解析式； (2)点 D为抛物线上一点且在x轴上方，满足∠DBA=∠ACO，求D点坐标； (3)点 M为线段BC上一动点(不与B，C重合)，过点M作 轴于点 P，交抛物线于点N.如图2,在抛物线上找一点Q,连接AM, QN, QP,使得△PQN与 的面积相等，求线段QN长度的最小值，并写出此时Q点坐标. 第 4 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 18.(本题17分)综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点， 的顶点B、C在x轴上,A在y轴上,OA=OC=2OB=4,直线 分别与x轴、y轴、线段AD、直线AB交于点 E、F、P、Q. (1)当t=1时,求证: AP=DP. (2)探究线段AP、PQ之间的数量关系，并说明理由. (3)在x轴上是否存在点M，使得 ，且以点 M、P、Q为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由. 第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 19. (本题17分)(1)如图①,在四边形ABCD中, ∠BAD=∠BCD=90°, AC和BD是两条对角线，∠ABD=30°，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，求 的值； (2)炎热的夏天即将到来，水上乐园成为亲子游玩的好去处.某开发公司将在一片浅水湖建造一个大型的水上乐园，并同时开发三条水上商业步行街.如图②，四边形ABCD是项目开发的雏形图，其中A，B，D是三条步行街的入口. AC，BC，DC分别是通向水上乐园C的三条步行街(三条街道宽度相同).根据仪器测量BD的长约 千米，∠ABD=30°, ∠ADB=45°.同时根据设计要求还要满足∠BCD=75°.由于招商类型与环境设计的不同，预计AC段每月平均每千米的租金收入是 10万元，BC段每月平均每千米的租金收入是 万元，CD段每月平均每千米的租金收入是20万元.问是否存在一点C，使得三条步行街每月的租金总收入最大.若存在，求出每月租金总收入的最大值，若不存在，请说明理由 第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $