精品解析：福建 厦门市湖里中学2026-2027学年上学期10月 数学学情自测试卷

2026－2027学年（上）学科质量调研 九年级数学练习卷 （满分：150分 调研时长：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是． 3. 2026年5月24日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就．飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7900米/秒．数据7900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据科学记数法的定义，对进行改写，要满足，可得， ∵变为，小数点向左移动了位， ∴， 因此用科学记数法表示为 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意； B．，故B选项计算错误，不合题意； C．，故C选项计算错误，不合题意； D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；通过将方程化为标准形式，计算判别式Δ的值，根据Δ的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选B． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的判断，二次函数的图象形状由二次项系数和顶点坐标决定． 先根据解析式确定抛物线的开口方向，再计算顶点坐标，即可确定函数图象的大致位置． 【详解】解：二次函数中，， 二次项系数， 该二次函数的图象开口向下， ，， 该二次函数的顶点坐标为， 选项符合题意． 故选：． 7. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 8. 有一组被墨水污染的数据：5，，8，，★，★，，，，5，5，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（） A. 这组数据的下四分位数是5 B. 这组数据的上四分位数是 C. 这组数据的中位数是 D. 两个★表示的数据一个数是3，另一个数可能是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数，上四分位数，下四分位数，箱线图，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关定义结合箱线图逐一分析即可． 【详解】解：A、箱线图中箱体的左边为5，所以这组数据的下四分位数是5，原说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图中箱体的右边为，所以这组数据的上四分位数是，原说法正确，故该选项不符合题意； C、箱线图中部的竖线在与之间，所以这组数据的中位数大于，原说法错误，故该选项符合题意； D、由箱线图可得该组数据的最小值是3，最大值是，所以两个★表示的数据一个数是3，另一个数可能是，原说法正确，故该选项不符合题意． 故选：C． 9. 二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A. 15 B. 10 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，可以求得时的函数值．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：由表格可知， 二次函数的对称轴是直线， 和时对应的函数值相等， 时，， 时，， 故选：B． 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则.   顶点的坐标为，   对称轴为直线，即，  ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，  ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 将抛物线向下平移5单位，得到的抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移规律得到解析式即可． 【详解】解：将抛物线向下平移5单位，得到的抛物线的解析式是， 故答案为：． 12. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 解得：． 13. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【解析】 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是_____秒． 【答案】 【解析】 【分析】飞机停下时，滑行距离最远，因此在本题中求出最大时对应的值即可． 【详解】解： ，这是一个二次函数，在对称轴处最大， 所以， 所以飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是秒． 15. 已知a，b是方程x2+（m+2）x+1=0的两根，则（a2+ma+1）（b2+mb+1）的值为_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】可以将代数式（a2+ma+1）（b2+mb+1）变形为含有两根和、两根积的形式，再利用根与系数的关系，将两根和、两根积的值代入即可求得． 【详解】∵a，b是方程x2+（m+2）x+1=0的两根，∴a+b=﹣（m+2），ab=1， a2+（m+2）a+1=0，b2+（m+2）b+1=0，∴a2+ma+1=﹣2a，b2+mb+1=－2b，∴（a2+ma+1）（b2+mb+1）=（﹣2a）•（﹣2b）=4ab=4×1=4． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及方程的解的含义，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 16. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由函数图象经过点和可得抛物线的对称轴是直线，即得向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线，又由得到点离新抛物线的对称轴比点离新抛物线的对称轴远，即得的中点在对称轴的左侧，即得到，解不等式即可求出的取值范围，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解由题意得，当时，， ∴二次函数的图象过点， 又∵二次函数的图象过， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线， ∵直线与新抛物线有两个交点，， ∴，， ∴， ∴， 又∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∴点离新抛物线的对称轴比点离新抛物线的对称轴远， ∴的中点在对称轴的左侧， ∴， 解得， 又∵， ∴的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用零指数幂的性质，负整数指数幂的性质，绝对值的性质分别化简，再相加减即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用公式法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在四边形中，，交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵， ∴，即：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判断，证明，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】略 20. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 已知二次函数． （1）将其化为的形式为_____； （2）在直角坐标系中画出它的图象； （3）当时，的取值范围是_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可； （3）该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，求出、和时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：列表如下： 函数图象见答案； 【小问3详解】 解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 在中，当时，， 当时，， 当时，； ∵， ∴当时，的取值范围是． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图：作菱形AECF，点E，F分别在AD，BC上（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AB＝2，AC＝2，BC＝4，连接EF，判断AB和EF的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 作图如下： （2） ，理由如下， 连接EF，交AC于点O，如图， ∵AB=2，BC=4，， ∴， ∴△ABC是直角三角形， ∴AB⊥AC， ∵四边形AECF是菱形， ∴AC⊥EF， ∴． 【解析】 【分析】（1）作出AC的垂直平分线，交AD、BC与点E、F，则四边形AECF即为所求； （2）连接EF，交AC于点O，先证明△ABC是直角三角形，可得∠CAB=90°，即AB⊥AC，根据四边形AECF是菱形，有AC⊥EF，，则问题得解． 【小问1详解】 四边形AECF即为所求； 证明：∵EF为AC的垂直平分线， ∴AF=FC，AE=EC，AC⊥EF， ∴∠CAD=∠ECA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠CAD=∠ACB， ∴∠ACB=∠ACE， 同理∠CAF=∠CAE， 又∵AC=AC， ∴△ACF≌△ACE， ∴AF=AE， ∴AE=EC=CF=AF， 即四边形AECF是菱形； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂直平分线的作图，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 23. 如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． （1）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （2）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； （3）矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 【答案】（1）10米 （2） 不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）根据矩形围栏面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）设矩形围栏面积为S，首先得到，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵设栅栏长为x米 ∴， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：设矩形围栏面积为S 根据题意得， ∴ ∴ ∵ ∴当时，即米时，S有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 【规定】在平面直角坐标系中，对于任意一点，若经过某种变换后得到（其中为常数），则称点是点的“变换”：将直线上每一点都进行变换后得到直线，则称直线是直线的“变换”． 已知抛物线，点在抛物线上，且点横坐标为2． （1）当时，求点的变换点的坐标，并判断点是否在抛物线上； （2）将直线作变换得到直线，在直线上取一点，同时在平面内存在一点，使得为顶点构成矩形．探究：是否存在值，使得直线与抛物线满足“恰有一个公共点”？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，说明理由．（结果可用含的代数式表示） 【答案】（1），不在 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）求出点坐标，根据新定义求出点的坐标，把点的横坐标代入函数解析式，进行判断即可； （2）求出直线的解析式，分为矩形的边和为矩形的对角线两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线，点在抛物线上，且点横坐标为2， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵， ∴点的变换点的坐标为，即， ∵当时，，且， ∴， ∴点不在抛物线上； 【小问2详解】 解：存在； ∵点的变换点的坐标为，点的变换点的坐标为， 设直线的解析式为，则，解得， ∴， ∵将直线作变换得到直线，即将直线平移得到直线， ∴， ∵在平面内存在一点，使得为顶点构成矩形， ∴当为矩形的边时，则， ∴点也在直线上， 令， ∵ 整理，得， ∵直线与抛物线满足“恰有一个公共点”， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 当为矩形的对角线时，则为矩形的另一条对角线，且， ∴直线过线段的中点， ∵点，， ∴的中点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴的中点在抛物线的对称轴上， ∵直线过线段的中点，且与抛物线满足“恰有一个公共点”， ∴直线即为抛物线的对称轴， ∴点的横坐标为1， ∵点在直线上， ∴， ∵点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上：或. 25. 已知抛物线经过点、，且． （1）若，求抛物线的解析式； （2）设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； （3）设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 【答案】（1） （2） 解：∵抛物线经过点、， ∴ 整理 即是方程的两个实数根， 由韦达定理得， ∴， ∴ 令时，则， 解得， ∵， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴ ∵， ∵且， ∴ ∴ 则， ∴ 则 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 即， （3）存在，该定点坐标为 【解析】 【分析】（1）结合，得、，再运用待定系数法进行解方程，得，即； （2）把点、分别代入，整理得是方程的两个实数根，根据韦达定理得，然后运用求根公式得，，再分别化简，又因为，得，即，即， （3）由（2）得，整理得抛物线的顶点，再分别表示出，，再代入，得，又因为，得，再求出直线的解析式为，故直线过点． 【小问1详解】 解：∵， ∴、， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，该定点坐标为 由（2）得， 对称轴为直线， 把代入， 得 ， ∵设抛物线的顶点为， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， 即 整理得， ∴， 若或，则抛物线的顶点P与点N或M重合，无法构成，不满足的条件， ∴ ∴， 即， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得 解得 ∴直线的解析式为 ∵ ∴ 当时，则， ∴直线过点， 即直线是过一定点，且定点为． 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，一元二次方程的根与系数，一次函数的其他应用，勾股定理，两点间的距离公式，公式法求一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年（上）学科质量调研 九年级数学练习卷 （满分：150分 调研时长：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年5月24日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就．飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7900米/秒．数据7900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 有一组被墨水污染的数据：5，，8，，★，★，，，，5，5，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（） A. 这组数据的下四分位数是5 B. 这组数据的上四分位数是 C. 这组数据的中位数是 D. 两个★表示的数据一个数是3，另一个数可能是 9. 二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A. 15 B. 10 C. 7 D. 6 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 将抛物线向下平移5单位，得到的抛物线的解析式是_____． 12. 方程的解为_____． 13. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是_____秒． 15. 已知a，b是方程x2+（m+2）x+1=0的两根，则（a2+ma+1）（b2+mb+1）的值为_____． 16. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则的取值范围为______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在四边形中，，交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 先化简，再代入求值：，其中． 21. 已知二次函数． （1）将其化为的形式为_____； （2）在直角坐标系中画出它的图象； （3）当时，的取值范围是_____． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图：作菱形AECF，点E，F分别在AD，BC上（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AB＝2，AC＝2，BC＝4，连接EF，判断AB和EF的位置关系，并说明理由． 23. 如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． （1）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （2）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； （3）矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 24. 【规定】在平面直角坐标系中，对于任意一点，若经过某种变换后得到（其中为常数），则称点是点的“变换”：将直线上每一点都进行变换后得到直线，则称直线是直线的“变换”． 已知抛物线，点在抛物线上，且点横坐标为2． （1）当时，求点的变换点的坐标，并判断点是否在抛物线上； （2）将直线作变换得到直线，在直线上取一点，同时在平面内存在一点，使得为顶点构成矩形．探究：是否存在值，使得直线与抛物线满足“恰有一个公共点”？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，说明理由．（结果可用含的代数式表示） 25. 已知抛物线经过点、，且． （1）若，求抛物线的解析式； （2）设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； （3）设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $