期末专题：长方体和正方体（专项训练） -2025-2026学年五年级下册数学苏教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体的棱长、表面积、体积核心考点，通过公式应用、空间想象与实际问题解决，系统构建从概念到应用的逻辑体系，培养量感、空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|5题（如第8、18题）|公式直接应用与单位换算|棱长→表面积→体积的概念生成| |空间应用|6题（如第2、3、14题）|切割去尾法、涂色位置规律（2面涂色12×(n-2)）|从静态结构到动态切割的空间想象| |综合拓展|6题（如第1、21、22题）|最大面重叠表面积最小、排水法求体积|实际问题中体积不变原理的应用|

期末专题：长方体和正方体 一、选择题 1．一辆卡车的长方体油箱从里面量长0.8米，宽0.6米，高0.5米，若每升汽油可使卡车行驶7.5千米，则这辆卡车的油箱装满油后可行驶（    ）千米。 A．1.8 B．18 C．180 D．1800 2．一个长10dm，宽8dm，高7dm的长方体木块，最多能切成（    ）个棱长为2dm的正方体木块。 A．50 B．70 C．40 D．60 3．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积是1cm3的小正方体，其中2面涂色的小正方体有24个。原来正方体的体积是（    ）cm3。 A．36 B．64 C．125 4．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，那么它的表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2，4 B．4，8 C．4，6 D．6，8 5．下图是由6个小正方体组成的长方体，把它的表面涂成白色，有（    ）个小正方体是四面涂色的。 A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 6．水是生命之源，科学研究指出，人体每天通过排尿、流汗、皮肤蒸发等流失很多水分，所以人体每天需要补充2( )（填容量单位）左右的水。雯雯随身携带的保温杯的容量是500( )，她每天至少要喝( )杯水才能满足身体需求。 7．一个容器的容积一定比它的体积( )（填“大、小”）。把0.6L的水倒入容量为200mL的纸杯中，可倒满( )杯。 8．一个正方体的棱长总和是48厘米，它的棱长是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 9．工人叔叔将棱长10cm的正方体铜块熔铸成一个长20cm、宽10cm的长方体铜块（损耗忽略不计），这个长方体铜块的高是( )cm。 10．用5个棱长为1cm的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 11．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，则表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 12．做一个长方体饼干盒，长20厘米，宽15厘米，高30厘米。在它的四周贴上一圈商标纸，至少需要商标纸( )平方厘米。 13．如图：用棱长为1cm的小正方体叠放成几何体，其中第一个几何体的表面积为，照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积是( )平方厘米。 14．在一个棱长为9cm的正方体蛋糕的表面涂上奶油（底面不涂），然后切成棱长3cm的小正方体蛋糕。在这些小正方体蛋糕中，两面涂奶油的有( )块。 15．有一个长、宽、高分别为8分米、6分米、5分米的长方体容器，里面放着一个棱长为30厘米的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），往里面注满水后取出正方体容器（连水一起），这时长方体容器里的水下降了( )分米。 16．笑笑家装修新居，剩4块玻璃，两块长5dm，宽3dm，另外两块长4dm，宽3dm，爸爸想做一个长方体无盖的玻璃鱼缸，还需要配一块长( )dm，宽( )dm的玻璃。 17．如图，7个棱长为1分米的正方体堆放在墙角，露在外面的面积是( )平方分米。 三、计算题 18．求长方体和正方体的表面积。 . 四、解答题 19．李叔叔要用铁丝做8个棱长是0.5米的正方体鸟笼框架，一共需要铁丝多少米？ 20．学校手工社团开展活动，王老师提供了一块长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体塑料块，让同学们尝试将其削成一个最大的正方体，在这个过程中削掉了多少立方厘米的塑料块？ 21．把一个棱长是8厘米的正方体铁块放入一个长32厘米、宽16厘米、水深8厘米的长方体水池中，且水未溢出，水面上升了多少厘米？ 22．把两个长18厘米、宽12厘米、高2厘米的长方体礼盒用纸打包到一起，最少需要多少包装纸？（忽略折叠的包装纸损耗） 23．将一个长方体的高减少6厘米就变成了正方体，正方体的表面积比原长方体的表面积减少了72平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 24．一个长5厘米、宽5厘米、高10厘米的长方体变成棱长为5厘米的正方体。 (1)表面积减少多少平方厘米？ (2)用阴影在上边的长方体展开图上表示出减少的面积。 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出油箱的容积，将立方米换算为升（1立方米＝1000立方分米＝1000升）；然后用每升汽油行驶的路程乘油箱容积即可求出这辆卡车的油箱装满油后可行驶的路程。 【详解】0.8×0.6×0.5 ＝0.48×0.5 ＝0.24（立方米） 0.24立方米＝240立方分米＝240升 7.5×240＝1800（千米） 2．D 【分析】将长除以2dm，求出长这条棱上可以切几个小正方体；将宽除以2dm，求出宽这条棱上可以切几个小正方体；将高除以2dm，利用去尾法将商保留到整数，求出高这条棱上可以切几个小正方体。将长、宽、高三条棱上能切的数量相乘，求出一共可以切成几个小正方体木块。 【详解】10÷2＝5（个） 8÷2＝4（个） 7÷2≈3（个） 5×4×3＝60（个） 可以切成60个棱长为2dm的正方体木块。 3．B 【分析】正方体有12条棱，且2面涂色的小正方体都在棱上（不包含顶点处的），用2面涂色的小正方体总数除以12求出每条棱上2面涂色的小正方体个数；然后用每条棱上2面涂色的小正方体个数加上2个顶点处的小正方体就是每条棱上小正方体的个数，用小正方体的棱长乘个数即可求出原正方体的棱长。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算即可求出原正方体的体积。 【详解】24÷12＝2（个） 2＋2＝4（个） 1×4＝4（cm） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 原来正方体的体积是64cm3。 4．B 【分析】假设长方体原来的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，现在的长、宽、高都是原来的2倍，那就是6厘米、4厘米、2厘米，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，分别把数据代入计算，求出原来和现在的表面积和体积，用现在的表面积除以原来的表面积求出表面积扩大的倍数，用现在的体积除以原来的体积即可求出体积扩大的倍数。 【详解】假设长方体原来的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米。 现在的长：3×2＝6（厘米） 宽：2×2＝4（厘米） 高：1×2＝2（厘米） 原来的表面积： （3×2＋3×1＋2×1）×2 ＝（6＋3＋2）×2 ＝（9＋2）×2 ＝11×2 ＝22（平方厘米） （6×4＋6×2＋4×2）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝（36＋8）×2 ＝44×2 ＝88（平方厘米） 88÷22＝4 原来的体积： 3×2×1 ＝6×1 ＝6（立方厘米） 现在的体积： 6×4×2 ＝24×2 ＝48（立方厘米） 48÷6＝8 5．B 【分析】小正方体的涂色面数，取决于它和其他小正方体的贴合面数量。 【详解】位于4个顶点的小正方体是4面涂色，其余正方体均有3面被覆盖，所以四面涂色的小正方体有4个。 6． 升/L 毫升/mL/ml 4 【分析】根据生活实际，对容积单位和数据大小的认识可知，一瓶矿泉水大约是500毫升，两瓶矿泉水大约是1升，因此可知计量人体每天需要补充的水的容量用升做单位合适；而一个随身携带的保温杯的容量和一瓶矿泉水的容量差不多，所以保温杯的容量用毫升做单位比较合适。 根据1升＝1000毫升，高级单位转换为低级单位乘进率，把升转换成毫升，再想2000里面有几个500，就是每天至少需要喝几杯水才能满足身体需要。 【详解】（1）人体每天大约需要补充2升左右的水。 （2）雯雯随身携带的保温杯的容量是500毫升。 （3）2升＝2000毫升   因为4个500相加就是2000，所以2000÷500＝4（杯），因此她每天至少要喝4杯水才能满足身体需求。 【点睛】 7． 小 3 【分析】容器的体积是从外部测量计算占空间的大小，容积是从内部测量计算能容纳物体的体积； 先单位要统一，再用“总水量÷单个纸杯容量”得到倒满的杯数。 【详解】因容器有厚度，内部空间小于外部空间，所以容积一定比体积小。 0.6L＝（0.6×1000）mL＝600mL 600÷200＝3（杯） 一个容器的容积一定比它的体积小。把0.6L的水倒入容量为200mL的纸杯中，可倒满3杯。 8． 4 96 【分析】正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【详解】48÷12＝4（厘米） 4×4×6＝96（平方厘米） 9．5 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，将正方体铜块熔铸成一个长方体，体积不变。再根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出这个长方体铜块的高。 【详解】 这个长方体铜块的高是5cm。 10． 22 5 【分析】用5个棱长为1cm的小正方体拼成的长方体的长是5cm，宽和高都是1cm，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】（5×1＋5×1＋1×1）×2 ＝（5＋5＋1）×2 ＝11×2 ＝22（cm2） 5×1×1 ＝5×1 ＝5（cm3） 长方体的表面积是22cm2，体积是5cm3。 11． 4 8 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，棱长扩大到原来的2倍也就是两个因数都扩大到原来的2倍，那么积会扩大到原来的（）倍； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，棱长扩大到原来的2倍也就是3个因数都扩大到原来的2倍，那么体积会扩大到原来的（）倍；据此解答。 【详解】 它的表面积扩大到原来的4倍； 它的体积扩大到原来的8倍。 所以一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，则表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 12．2100 【分析】围着它的四周贴一圈商标纸就是贴这个长方体四个面，也就是左右和前后四个面。则这张商标纸的面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据解答即可。 【详解】 （平方厘米） 至少需要商标纸2100平方厘米。 13．38 【分析】依题图可知，正方体个数依次增加2个，所以第五个几何体包含9个正方体。每增加1个正方体会增加6个面，但每2个正方体重叠又减少2个面，所以第五个几何体的表面积为9个正方体表面积－重合部分面积。 【详解】9×6－8×2 ＝54－16 ＝38（平方厘米） 14．12 【分析】一个大正方体被切成n×n×n个小正方体后， 两面涂色的小正方体位于棱上（除顶点外），即位于每条棱的中间部分，每条棱有（n－2）个，正方体有12条棱，所以总数为12×（n－2）个。 【详解】9÷3＝3（个） 12×（3－2） ＝12×1 ＝12（个） 即两面涂奶油的有12块。 15．0.5625 【分析】水面下降的原因是取出了正方体容器（含内部的水）。因为容器壁厚度忽略不计，所以取出物体的体积等于正方体容器的外体积。计算出正方体的体积（注意将30厘米换算成分米），再除以长方体容器的底面积，就是水下降的高度。 【详解】30厘米＝3分米 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 27÷（8×6） ＝27÷48 ＝0.5625（分米） 这时长方体容器里的水下降了0.5625分米。 16． 5 4 【分析】长方体无盖鱼缸有5个面，2块长5dm、宽3dm，2块长4dm、宽3dm。其中3dm是这4块玻璃共有的边长，对应鱼缸的高；剩下的长5dm、长4dm分别对应鱼缸的长和宽，缺少的是底面，底面的长和宽就是5dm和4dm。 【详解】已知4块玻璃中，3dm为鱼缸的高，5dm和4dm为鱼缸底面的长和宽，因此还需要配一块长5dm，宽4dm的玻璃。 17．12 【分析】根据图示，露在外面的上面有4个面，前面有4个面，右面有4个面，据此解答即可。 【详解】 （平方分米） 露在外面的面积是平方分米。 18．38.4；150 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，将数据代入公式计算即可求出长方体和正方体的表面积。 【详解】长方体的表面积： （） 正方体的表面积： （） 所以长方体的表面积是38.4，正方体的表面积是150。 19． 48米 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，求出一个正方体的棱长总和，再乘8即可求出一共需要的铁丝长度。 【详解】0.5×12＝6（米） 6×8＝48（米） 答：一共需要铁丝48米。 20．85立方厘米 【分析】要从长方体中削出一个最大的正方体，正方体的棱长必须等于长方体长、宽、高中最短的那条棱的长度。题目中已知长方体的长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米，最短棱长为5厘米，因此最大正方体的棱长为5厘米。削掉的塑料块体积等于原长方体体积减去正方体体积。根据长方体体积＝长×宽×高；正方体体积＝棱长×棱长×棱长进行计算。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：在这个过程中削掉了85立方厘米的塑料块。 21．1厘米 【分析】根据题意：上升部分水的体积等于正方体铁块的体积。先根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长求出铁块的体积，再用长方体水池的长乘宽求出水池的底面积，最后用铁块的体积除以水池的底面积，求出水面上升的高度。 【详解】8×8×8÷（32×16） ＝64×8÷512 ＝512÷512 ＝1（厘米） 答：水面上升了1厘米。 22．672平方厘米 【分析】要把两个长方体礼盒打包到一起，且使用的包装纸最少，即拼成的新长方体的表面积最小。将两个长方体最大的面重叠在一起，拼成的长方体面积最小。已知原来长方体的长18厘米、宽12厘米、高2厘米则新的长方体的长、宽、高分别是18厘米、12厘米、2＋2＝4（厘米），根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求得最少需要的包装纸面积。 【详解】2＋2＝4（厘米） 答：最少需要 672平方厘米包装纸。 23．81立方厘米 【分析】长方体的高减少6厘米后变成正方体，说明原长方体的底面是正方形，且长和宽相等。表面积减少的部分是切去的高为6厘米的长方体侧面的面积。用减少的表面积除以减少的高，求出底面周长；再除以4求出底面边长，即正方体的棱长；底面边长加上减少的高即为原长方体的高；最后根据长方体体积＝长×宽×高，进行解答。 【详解】72÷6÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 3＋6＝9（厘米） 3×3×9 ＝9×9 ＝81（立方厘米） 答：原长方体的体积是81立方厘米。 24．(1)100平方厘米 (2)见详解 【分析】（1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；长方体的表面积－正方体的表面积＝减少的表面积。 （2）把展开图中长为10厘米的4个长方形沿长平均分成两部分，把上半部分涂色表示减少的面积。 【详解】（1）（5×5＋5×10＋5×10）×2 ＝（25＋50＋50）×2 ＝125×2 ＝250（平方厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 250－150＝100（平方厘米） 答：表面积减少100平方厘米。 （2） 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $