2026年普通高考数学第三轮冲刺卷三（适用于广东省汕尾市）

**基本信息** 聚焦高考三轮冲刺需求，通过复数运算、圆锥曲线综合题等设计，强化数学思维与创新应用能力，适配广东汕尾考生高频考点突破。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、集合、双曲线、函数性质等|第6题结合行列式与等比数列，考查数学抽象；第8题涂色问题强化逻辑推理| |填空题|3题15分|解三角形、不等式整数解、向量夹角|第12题解三角形最值问题，体现数学建模| |解答题|5题77分|概率统计（粽子问题）、立体几何、导数、圆锥曲线|概率题融入端午文化，圆锥曲线题含切线与面积范围，贴合高考命题趋势，培养数据意识与运算能力|

2026年普通高考数学高考第三轮冲刺卷三（适用于广东省汕尾市） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 2．设全集U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B． N∪∁UM C．∁U(M∩N) D． M∪∁UN 3．若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论： ①；    ②； ③双曲线与双曲线一定没有公共点；    ④； 其中所有正确的结论序号是（       ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 4．已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．的最大值为1 C．图象的对称轴为 D．的单调递增区间为 6．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（   ） A．31 B．63 C．127 D．255 7．若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（　　） A．24 B．48 C．96 D．120 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．，，为正实数，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．长方体中，，E为棱CD上一点，，F是平面ABCD内一动点，，则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在不与重合的点，使得平面 C．棱上存在两个定点，使得 D．点的轨迹截直线所得弦长为 11．已知椭圆：，是坐标原点，是椭圆上的动点，，是的两个焦点（    ） A．若的面积为，则的最大值为9 B．若的坐标为，则过的椭圆的切线方程为 C．若过的直线交于不同两点，，设，的斜率分别为，，则 D．若，是椭圆的长轴上的两端点，不与，重合，且，，则点的轨迹方程为 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在 中，内角A，B，C所对的边分别为 ，垂足为 在边BC上且异于端点 ，设 ，且满足 ，则 的最小值为________. 13．关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 14．已知、为单位向量，当与夹角最大时，= . 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 （1）的分布列； （2）的期望与方差； （3）求至少取到一个豆沙粽的概率. 16．如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，直线与平面所成的角为，． （1）当时，求点到平面的距离； （2）若，点是线段上一动点，平面与平面夹角的正弦值为，求的长． 17．已知函数， （1）若，，求函数的解析式及对称轴； （2）若，，，且，求的值； （3）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值． 18．已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的范围； （3）若在内有两个不同零点、，求证：. 19．已知抛物线:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为. (1)求的标准方程. (2)令，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B.证明：. (3)过分别作的切线，与相交于，同时与相交于，求四边形面积的取值范围. 参考答案 1．A 2．A　 3．B 4．C 5．C 6．C 7．C 8．C 9．AC 10．ACD. 11．BD 12．【详解】在 中，因为 ，所以 ， 又 ，由余弦定理可得 ， 所以 如图，过点C作 ，使得 ，连接AE，BE，取CE的中点H， 易得 且 ，所以 ，故 ， 在 中， ， 又 ，即 ，解得 ， 则 ，所以 所以 的最小值为 13．【详解】①当时，原不等式不成立； ②当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解. 令，则，因此函数在区间上单调递减，易得不可能只有一个整数解，故不满足； ③当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解. 由②可知，易得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故. 又因，且恰有一个整数解，所以，即. 综上，. 14．【详解】方法一：设的夹角为， 则 ， 令，则， 当取最小值时，两向量与夹角最大， 所以当，即时，两向量与夹角最大， 此时. 故答案为：. 方法二：由图所示： 可知与夹角最大为，所以， 故答案为：. 15．【详解】（1） 的可能取值为 则 ， 所以 的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”记为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到” 则. 16．【详解】（1）平面，平面，． 又，，，平面， 平面，平面，． 又是圆柱的底面直径，则，，平面． 又平面，平面，平面． 点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作于点， 平面，平面， ，，平面，平面． 平面，就是直线在平面内的射影， 就是直线与平面所成的角，， ，，，． 点到平面的距离为． （2）由已知，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴， 过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由，得，，，． ，，， 设，， ，． 设平面的一个法向量为， 则．即，令，则，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令．则，． 平面与平面夹角的正弦值为， 平面与平面夹角的余弦值为． ， 整理得，解得或（舍）． ，． 17．【详解】（1）函数，． 则的最小正周期， 因为，，所以函数的最小正周期， 所以，解得 ①当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为 ②当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为； （2）当， 由，则， 由，则，可得， 所以 . （3）由题意可知， 因为是的一个零点，即，所以， 所以或， 故或，又，（舍）， 故，则， 当时，，设，则，则原式可化为， 即的图象在区间内与水平直线的图象有3个不同的交点， 作出在上的图象如下图所示， 所以当时，即，与恰有3个不同的交点，故实数a的取值范围为， 设与的3个不同的交点分别为、、，则、， ∴，即，整理得． 18．【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 19．【详解】（1）抛物线的焦点的坐标为， 若直线的斜率为0，则与抛物线只有一个交点，与条件矛盾， 可设直线的方程为，联立，化简得①， 方程①的判别式， 设， 所以， 若，则， 所以， 又中点纵坐标的值为，所以， 解得， 所以抛物线方程为； （2）设点的坐标为，则，直线的方程为， 联立，化简可得②， 方程②的判别式，所以，， 设的坐标为，则，所以， 所以， 直线的方程为， 联立，化简可得③， 方程③的判别式 设的坐标为，则，所以， 所以， 所以； （3）设过点的切线方程为， 联立，化简可得④， 方程④的判别式，解得， 所以， 所以，即的方程为， 同理可得的方程为：， 的方程为：， 联立，又，， 解得，，又，即点的坐标为， 联立，又，解得，， 又，即点的坐标为， 因为，，所以， 所以点的坐标为， 因为，，所以，所以点的坐标为， 所以直线的方程为， 记直线与直线的交点为点，则点的坐标为， 根据抛物线的对称性，不妨设，则或， 当时，则，， 所以，， 所以四边形的面积， 所以， 设，由已知，则， 所以， 函数在上单调递减， 所以， 当时，则，， 所以，， 所以四边形的面积， 所以， 设，由已知，则， 所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以四边形面积取值范围为. 【方法总结】（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $