精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市碾子山区振华中学2025-2026学年下学期八年级数学期中试题

初二数学试题 考生注意： 1．全卷共两道大题，总分120分 2．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、合并同类二次根式等运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，即选项 A错误； B．，即选项 B错误； C．，即选项 C错误； D．，即选项 D正确． 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是三次根式，不是二次根式，故A不符合题意； B．是二次根式，被开方数3不含分母，也不含能开得尽方的因数，故B符合题意； C．的被开方数含有分母，故C不符合题意； D．，被开方数含有分母，故D不符合题意． 3. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. ，， D. 11，60，61 【答案】D 【解析】 【分析】先确定每组三边中的最大边，计算两条较小边的平方和，与最大边的平方比较，若相等则能构成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A．由，，，故不能构成直角三角形； B． 由，，，则不能构成直角三角形； C．由，，，则不能构成直角三角形； D．由，，即，则能构成直角三角形． 4. 如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是90，大直角三角形一边长为6，则斜边长（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理及正方形面积公式，可知下方两个小正方形面积之和等于大正方形面积，结合三个正方形面积和求出大正方形面积，再利用勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：设大直角三角形的竖直直角边长为x，则大正方形的面积为， ∵下方两个小正方形建立在一个以x为斜边的直角三角形上， ∴下方两个小正方形的面积和等于， ∵三个正方形阴影部分的面积和是90， ∴，即， 在中，一直角边长为6，另一直角边长的平方为45 ， ∴斜边长． 5. 如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为EBD，则下列说法错误的是（ ） A. EBA≌EDC B. EBD是等腰三角形 C. 折叠后的图形是轴对称图形 D. ∠ABE＝∠CBD 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻转变换的性质、全等三角形的判定定理和性质定理解答．根据题意结合图形可以证明EB=ED，进而根据HL证明△ABE≌△CDE；此时可以判断选项A，B，C正确，D错误，问题即可解决． 【详解】解：如图， 由题意得：△BCD≌△BFD， ∴DC=DF，∠C=∠F=90°； ∠CBD=∠FBD； 又∵四边形ABFD为长方形， ∴∠A=∠F=90°，DE∥BF，AB=DF； ∴∠EDB=∠FBD，DC=AB； ∴∠EDB=∠CBD， ∴EB=ED， ∴△EBD为等腰三角形； 故B选项正确； 在Rt△ABE与Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDE（HL）； 故A选项正确； 折叠后∠ABE+2∠CBD=90°， ∠ABE和∠CBD不一定相等（除非都是30°）， 故D选项错误； ∵Rt△ABE≌Rt△CDE， 又∵△EBD为等腰三角形， ∴折叠后得到的图形是轴对称图形； 故C此选项正确； 综上所述，错误的结论是D选项， 故选：D． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，解题的关键是翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 6. 如图，在平行四边形中中，，平分，交边于点，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，利用平行线的性质和角平分线的定义推出，从而得到，结合已知线段长度即可求解. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 7. 在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①填 B. ②填 C. ③填 D. ④填 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 8. 如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 9. 如图，在中，点、分别在、的延长线上，且满足，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，即；再证明，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 10. 如图，等边三角形，，为中点，为上的动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，再利用将军饮马模型计算即可． 【详解】解：如图，在外部作等边三角形，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合， ∴点N在线段上运动， ∵是等边三角形，点D是等边三角形边的中点， ∴， ∴， 如图：作点D关于直线的对称点E，连接，，，与的交点就是最小的位置，且最小值为，连接， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴最小值为． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，过点作轴，过点作，构造全等三角形，利用对应边相等求出，的长，进而求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∵点的坐标是， ，， 四边形是正方形， ，， ， 轴，轴，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∵点在第二象限， 点的坐标为． 12. 如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 【答案】160 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理求出五边形的内角和，然后由，求出的度数，最后根据多边形内角和外角的关系即可求的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和为：，， ∴， ∴． 13. 的整数部分为，小数部分为，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据可得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分为，小数部分为， ∴整数部分为，小数部分为， ∴． 14. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，由网格可证，所以，由，从而求得，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由网格可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，边长为的正方形中，为对角线上的一点，连接并延长交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明得到，进而推出∠，再结合等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，最后利用含30度角的直角三角形性质及线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，  ∴， 在和中，  ，  ∴，  ∴，  ∴， 即，  ∵， ∴，  ∵，  ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得：(已舍去负值)， ∴， ∴． 16. 在菱形中，，，点在边上，点与点关于直线对称，连接，若与菱形的一边垂直，则线段的长为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当时，是等腰直角三角形，易得 ，利用对应边长成比例求解即可；当时，是等腰直角三角形，点在的延长线上，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：根据题意可知，有两种情况： ①如图：当时，连接，延长交于点G，交于点F， ∵在菱形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，解得． ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴． 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得； ②如图：当时，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴点在的延长线上， 由对称的性质可知，． ∵， ∴ ． 综上，线段的长为3或． 17. 如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转速度求出旋转一周所需的时间，利用带余除法确定第2026秒时叶片转过的圈数和剩余角度，结合初始坐标及旋转性质确定最终坐标． 【详解】解：由题意可知，叶片旋转一周所需时间为（秒） ， 第2026秒时叶片尖点的位置与第2秒时的位置相同， 此时叶片转过的角度为 初始点的坐标为， 点在第一象限角平分线上 逆时针旋转后，点在第二象限角平分线上，且到原点的距离不变  第2026秒时叶片尖点的坐标为 ． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式计算乘法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （2）先利用乘法分配律计算乘法、零指数幂、绝对值化简，最后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 19. 图1是由五个边长为的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形． （1）如图，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点，求拼成的正方形的面积及点表示的数． （2）如图，一个的网格中有一个由个小正方形组成的图形（图中实线部分），请仿照图，将它剪开并拼成一个正方形，在所给的网格中画出示意图． 【答案】（1）拼成的正方形的面积为，点表示． （2）示意图见解析． 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，勾股定理的知识，解题的关键是根据网格的特点，画出正方形，根据正方形的面积是由小正方形的个数决定的，求出其边长，进行解答，即可． （1）根据题意，则正方形的面积为，其边长为，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点，则，已知点代表的数，即可求出点代表的数； （2）由题意得，正方形的面积为，则其边长为，利用网格，画出正方形，即可． 【小问1详解】 解：由题意得，拼成正方形的面积为， ∴其边长为， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点， ∴， ∵点代表的数， ∴点代表的数为：． 【小问2详解】 解：由题意得，正方形的面积为， ∴其边长为， ∴正方形示意图如下： 20. 如图：在中，点、分别在、上，，，垂足分别为、，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由已知证得，利用全等三角形的性质得到，结合平行四边形的性质证得，进而证得即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 21. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步探究】如图1，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，若，，求AE的长； 【拓展延伸】如图2，在长方形纸片ABCD中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出运动时间（秒）的值． 【答案】6；2.5或10 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握长方形的性质，折叠的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理得出，则可得出答案； （2）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）由题意得，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， 即的长为6； （2）∵四边形是长方形， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， ∵点在线段的垂直平分线上， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得： 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即的长为5， ； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：， 同①得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即的长为20， 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的值为2.5或10． 22. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式． 例如：①； ②． （1）【类比归纳】填空： ①； ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式； （3）【拓展提升】如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为_________． 【答案】（1）①，（或）；②， （2），过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据完全平方公式解答即可； ②根据完全平方公式解答即可； （2）结合，利用完全平方公式解答即可； （3）先求出两个小正方形的边长，再利用长方形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：① （或）； ② ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：由题意得：小正方形的边长为， 小正方形的边长为 ， 则剩余部分的面积为 ， 即剩余部分的面积为． 23. 四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【解析】 【分析】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可． 【详解】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． 24. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转变换等知识，解决下面的问题．如图1，点、在正方形的边、上，其中． （1）直接写出、和三边的关系_______，与的关系_______． （2）证明（1）问中的结论． （3）如图2，在四边形中，，，平分，若，，则对角线的长度为________． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1：将绕点A逆时针旋转，使与重合，得到，由旋转的性质以及正方形的性质可证明，再根据全等三角形的性质以及线段的和差分析即可解答； （2）根据（1）的思路证明即可； （3）如图2，将绕点A顺时针旋转到，连接，则，，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：由分析可得：，．证明见（2）． 【小问2详解】 证明：如图1：将绕点A逆时针旋转，使与重合，得到， ∴． ∵， ∴，即点G、D、F在同一直线上， ∵正方形中， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴，即． 在和中： ， ∴． ∴，，即， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图2，将点A绕顺时针旋转到，连接，则，，， ∵，平分， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴均在同一直线上， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题 考生注意： 1．全卷共两道大题，总分120分 2．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. ，， D. 11，60，61 4. 如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是90，大直角三角形一边长为6，则斜边长（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 5. 如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为EBD，则下列说法错误的是（ ） A. EBA≌EDC B. EBD是等腰三角形 C. 折叠后的图形是轴对称图形 D. ∠ABE＝∠CBD 6. 如图，在平行四边形中中，，平分，交边于点，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①填 B. ②填 C. ③填 D. ④填 8. 如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点、分别在、的延长线上，且满足，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，等边三角形，，为中点，为上的动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是________． 12. 如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 13. 的整数部分为，小数部分为，则的值为______． 14. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 15. 如图，边长为的正方形中，为对角线上的一点，连接并延长交于点．若，则的长为______． 16. 在菱形中，，，点在边上，点与点关于直线对称，连接，若与菱形的一边垂直，则线段的长为______． 17. 如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 图1是由五个边长为的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形． （1）如图，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点，求拼成的正方形的面积及点表示的数． （2）如图，一个的网格中有一个由个小正方形组成的图形（图中实线部分），请仿照图，将它剪开并拼成一个正方形，在所给的网格中画出示意图． 20. 如图：在中，点、分别在、上，，，垂足分别为、，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步探究】如图1，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，若，，求AE的长； 【拓展延伸】如图2，在长方形纸片ABCD中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出运动时间（秒）的值． 22. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式． 例如：①； ②． （1）【类比归纳】填空： ①； ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式； （3）【拓展提升】如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为_________． 23. 四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 24. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转变换等知识，解决下面的问题．如图1，点、在正方形的边、上，其中． （1）直接写出、和三边的关系_______，与的关系_______． （2）证明（1）问中的结论． （3）如图2，在四边形中，，，平分，若，，则对角线的长度为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $