精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙江县2025－2026学年度下学期期中教学质量抽测八年级数学试题

龙江县2025-2026学年度下学期期中教学质量抽测 八年级数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 3．请各位考生将答案填写在答题卡的指定位置，答案写在题签上的无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 3. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，若添加①；②；③；④平分，平分中任意一个条件能够使，则共有几种添法（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，四边形的对角线交于点E，．若，则的长为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30°   ② ③S平行四边形ABCD=AB•AC  ④ ，正确的个数是（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若最简二次根式与是同类根式，则______． 12. 若，则___________． 13. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是_____________． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 15. 如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为________． 16. 如图，矩形中，．点E为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分． （1）当时，求的大小； （2）求证：． 20. 如图1，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）画出以为边的菱形； （2）直接写出点到的距离 ； （3）在上画点，使； （4）如图，点为与格线交点，取中点，连，在上画点，使． 21. 如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点O，若，，求的长度． 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 23. 阅读材料：像、  、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式例如，与、与、与等都是互为有理化因式在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如；；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________； （2）计算：； （3）已知有理数a、b满足，求a、b的值． 24. 如图1，四边形为菱形，，，，，且． （1）求的长； （2）点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙江县2025-2026学年度下学期期中教学质量抽测 八年级数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 3．请各位考生将答案填写在答题卡的指定位置，答案写在题签上的无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解． 【详解】解：由于负数没有平方根，因此无意义，不属于二次根式． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的识别，解题的关键是掌握定义：形如的代数式叫做二次根式，其中． 2. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解． 【详解】设所求多边形边数为n， ∴（n﹣2）•180°＝1080°， 解得n＝8． 故选D． 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 3. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法法则，二次根式的乘除法法则，逐项进行分析解答即可推出正确的选项． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意． B、，故本选项不符合题意． C、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意． D、，原式运算正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，开方运算，二次根式的加减法法则，解题的关键在于根据运算法则逐项分析解答即可． 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，熟记矩形与菱形的对角线的性质是解本题的关键．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角， ∴对角线互相垂直菱形具备，矩形不一定具有；故A不符合题意； 对角线互相平分矩形与菱形都有，故B不符合题意； 对角线相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合题意； 对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键； 本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C； 7. 如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，若添加①；②；③；④平分，平分中任意一个条件能够使，则共有几种添法（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵当时，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等角的补角相等）， 在和中， ， ∴， ∴条件①能够使； ∵当时， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴条件②能够使； ∵当时，无法根据全等三角形的判定定理证明， ∴条件③不能够使； ∵当平分，平分时， ∴ 在和中， ， ∴， ∴条件④能够使． ∴有①②④，3种添法． 故选：C． 8. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 由等腰三角形的性质可得点是的中点，从而可得是的中位线，根据三角形的中位线定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分交于点， ∴点是的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 9. 如图，四边形的对角线交于点E，．若，则的长为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定与性质是解题的关键．过D作于点F，延长至G，使得，连接，证明，推出，根据，推出，，再证明，得到，求出，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过D作于点F，延长至G，使得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍负）， 故选：C． 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30°   ② ③S平行四边形ABCD=AB•AC  ④ ，正确的个数是（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①先根据角平分线和平行四边形性质得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断； ②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长； ③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断. 【详解】①∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°， ∴∠DAE=∠BEA， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE=1， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=1， ∵BC=2， ∴EC=1， ∴AE=EC， ∴∠EAC=∠ACE， ∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°， ∴∠ACE=30°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACE=30°， 故①正确； ②∵BE=EC，OA=OC， ∴OE=AB=，OE∥AB， ∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠BAD=120°， ∴∠ACB=30°， ∴∠ACD=90°， Rt△OCD中，OD==， ∴BD=2OD=， 故②正确； ③由②知：∠BAC=90°， ∴S▱ABCD=AB•AC， 故③正确； ④由②知：OE是△ABC的中位线， ∴OE=AB， ∵AB=BC， ∴OE=BC=AD， 故④正确； 正确的有：①②③④， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若最简二次根式与是同类根式，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同类二次根式的概念进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，，， 解得，， ； 故答案为：9． 12. 若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，绝对值的运算，解题思路是利用二次根式的性质将原式化为绝对值的和，再根据的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项得到结果． 【详解】解： ，， ． 13. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是_____________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 先根据菱形的性质得，则利用得到，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用等角的余角相等即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 15. 如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，取得最小值， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 16. 如图，矩形中，．点E为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】9或18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键． 分两种情况分别求解，（1）当时，如图1，根据轴对称的性质得，得；（2）当时，如图2，根据轴对称的性质得，得、、在同一直线上，根据勾股定理得，设，则，根据勾股定理得，，代入相关的值，计算即可． 【详解】解：（1）当时，如图1， ∵， 根据轴对称的性质得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）当时，如图2， 根据轴对称的性质得， 为直角三角形， 即， ∴， ∴在同一直线上， 根据勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即； 综上所述：的长为9或18； 故答案为：9或18． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解； （3）先化为最简二次根式和计算二次根式的乘法，再进行加减运算即可； （4）分别按照完全平方公式与平方差公式先计算二次根式的乘法运算，再合并即可得到答案； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先求出、，再根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 【小问2详解】 ． 19. 如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分． （1）当时，求的大小； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识. （1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可. （2）运用可证, 可得. 【小问1详解】 解：∵, ∴, ∵, ∴, ∵平分, ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴； 【小问2详解】 证明: ∵四边形是平行四边形, ∴,, ∴， ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴. 20. 如图1，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）画出以为边的菱形； （2）直接写出点到的距离 ； （3）在上画点，使； （4）如图，点为与格线交点，取中点，连，在上画点，使． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格中的无刻度直尺作图，结合菱形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握知识点作图是解题的关键． （1）根据菱形的定义画出图形； （2）利用菱形的高的性质解决问题； （3）取格点，构造等腰直角，交一点，即为所求； （4）取的中点，连接，利用平行线的判定定理在上取一点，使得．作线段即可，这里利用直角三角形斜边中线的性质证明． 【小问1详解】 解：如图1中，四边形即为所求； 【小问2详解】 点到的距离是菱形的高， 故答案为：； 【小问3详解】 如图1中，即为所求； 【小问4详解】 如图2中，点，点即为所求． 21. 如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点O，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接、、，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ，， 是的中位线， ，． 为的中点，， ，． ，． ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接、、， ，， ，． ∵， ． ∴四边形是平行四边形， ，． ， ∴， ∵， ∴． 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 23. 阅读材料：像、  、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式例如，与、与、与等都是互为有理化因式在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如；；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________； （2）计算：； （3）已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【答案】（1）；；（2）；，． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子； （3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值． 【详解】（1）与互为有理化因式， ， 故答案为；； （2）原式；   （3）， ，  ， 解这个方程组，得：， ，． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． 24. 如图1，四边形为菱形，，，，，且． （1）求的长； （2）点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）①证明见解析，的最小值为2；②点的横坐标为2 【解析】 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可得出，，从而可求出．再利用菱形的性质结合，可求出，结合含的直角三角形即可求解； （2）①连接，交于，根据菱形的性质及等边三角形的性质可证，得，由点到直线垂线段最短，可知，，再结合菱形的性质及含的直角三角形的性质即可求得，进而即可求解； ②连接，根据等边三角形的性质证，得，，则，可知点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，，则，即： ∵四边形为菱形，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，则是等边三角形， ∴，，则， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短，可知，， ∵四边形为菱形， ∴， 则， 即的最小值为2； ②连接， 由①可知，是等边三角形，是等边三角形， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线， ∵ ∴点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $