精品解析：山东聊城市莘县2025-2026学年第二学期中学情调研八年级数学试题

2025--2026学年第二学期期中学情调研八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，，，中，最简二次根式的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 3. 在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（　　） A. AD∥BC B. AB＝CD C. ∠A+∠B＝180° D. AD＝BC 4. 如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 5. 甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）． A. 甲车的平均速度为 B. 乙车的平均速度为 C. 乙车比甲车先到城 D. 乙车比甲车先出发 6. 若是最简二次根式，则m，n的值为（ ） A. 0， B. ，0 C. 1， D. 0，0 7. 如果，那么a与b的关系是（ ） A. 且互为相反数 B. 且互为相反数 C. 且互为倒数 D. 且互为倒数 8. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 9. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 10. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共6个题，每题3分，共18分） 11. 比较下列两个数的大小：____________． 12. 在函数中，自变量的取值范围是________． 13. 定义新运算：，则的运算结果是______． 14. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 15. 如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于_____． 16. 如图，在正方形中，，对角线、相交于点，过点作射线、分别交边、于点、，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为，则的长度与的长度相等．上述结论中，所有正确的序号是_____． 三、解答题（本题包括8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分析，科学家可以构建地球内部的热结构模型． 测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系： 岩层的深度 1 2 3 4 5 6 … 岩层的温度 55 90 125 m 195 230 … （1）在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______，表格中m的值为______； （2）请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式； （3）当岩层的温度为时，求岩层的深度． 19. 如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接，交的延长线于点E．求证：． 20. 如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 21. 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 22. 如图①正方形中，M是中点，E是延长线上一点，交的平分线于N，在上截取，，连结，易证 （1）如图②当点M是边上任意一点时的结论是什么？ （2）如图③当点M在的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？ 23. 阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知是正整数，，，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期期中学情调研八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，，，中，最简二次根式的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式是指：满足被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，逐个判断即可． 【详解】解：∵的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式， ∴是最简二次根式； ∵的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式， ∴是最简二次根式； ∵ ，含能开得尽方的因式， ∴不是最简二次根式； ∵中的被开方数是能开得尽方的平方数， ∴不是最简二次根式； ∵ ，含能开得尽方的因数， ∴不是最简二次根式； ∵的被开方数含分母， ∴不是最简二次根式； 综上，符合条件的最简二次根式共个． 2. 下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，除法法则逐一进行判断即可． 【详解】解：没有意义，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误； 综上：正确的是②③． 3. 在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（　　） A. AD∥BC B. AB＝CD C. ∠A+∠B＝180° D. AD＝BC 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】A、当AB//CD，AD//BC时，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证明四边形ABCD是平行四边形，此项不符题意 B、当AB//CD，AB=CD时，根据一组对边平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形，此项不符题意 C、∵ ∴AD//BC ∵AB//CD ∴四边形ABCD为平行四边形，此项不符题意 D、当AB//CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形，此项符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记各判定方法是解题关键． 4. 如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点F． ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5. 甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）． A. 甲车的平均速度为 B. 乙车的平均速度为 C. 乙车比甲车先到城 D. 乙车比甲车先出发 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象逐项分析判断即可． 【详解】由图象知： A．甲车的平均速度为=，故此选项正确； B．乙车的平均速度为，故此选项正确； C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确； D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键． 6. 若是最简二次根式，则m，n的值为（ ） A. 0， B. ，0 C. 1， D. 0，0 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 7. 如果，那么a与b的关系是（ ） A. 且互为相反数 B. 且互为相反数 C. 且互为倒数 D. 且互为倒数 【答案】B 【解析】 【分析】将分母有理化，进而即可比较大小，从而求得与的关系． 【详解】解：∵， ∴且互为相反数． 8. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 9. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长． 【详解】∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD， ∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴OD＝4，BD＝8， 由得， ＝32， ∴AC＝8， ∴OC＝＝4， ∴CD＝＝8， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长． 10. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据正方形轴对称的性质作出图形，得到的最小值即为线段的长．连接交于，连接，根据轴对称的性质得到，可得，的最小值即为线段的长，根据勾股定理，可求得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴点与点关于对角线对称， ∴， ∴， ∴当点与重合时，有最小值， ∵，， ∴， ∴，即可的最小值是． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共6个题，每题3分，共18分） 11. 比较下列两个数的大小：____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 12. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，函数是分式，分母是二次根式，因此需要分母不为零，且被开方数大于或等于零，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，自变量x的取值需满足 即， 解得 ． 故答案为：． 13. 定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由可得： ． 14. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数轴判断与的符号，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 15. 如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点F，证明，再利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：延长交于点F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵D是中点， ∴， ∴, ∵， ， 故； 16. 如图，在正方形中，，对角线、相交于点，过点作射线、分别交边、于点、，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为，则的长度与的长度相等．上述结论中，所有正确的序号是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，由正方形的性质可得，，，结合可得，从而证明；对于②，由可得，由勾股定理可得， 从而得到，由直角三角形的性质可得，因此；对于③，由可得，因此；对于④，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，因此． 【详解】解：对于①，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 对于②，在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，故②错误； 对于③，∵， ∴， ∴，故③正确； 对于④，在中，点为斜边的中点， ∴， 同理，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为：①③④． 三、解答题（本题包括8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算求解即可； （2）根据二次根式的混合运算求解即可； （3）根据二次根式的混合运算求解即可； （4）根据二次根式的混合运算求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分析，科学家可以构建地球内部的热结构模型． 测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系： 岩层的深度 1 2 3 4 5 6 … 岩层的温度 55 90 125 m 195 230 … （1）在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______，表格中m的值为______； （2）请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式； （3）当岩层的温度为时，求岩层的深度． 【答案】（1）岩层的深度h；岩层的温度t；160 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式． （1）根据题意找出自变量、因变量，根据岩层的深度每增加，岩层的温度就升高计算即可得出m的值； （2）由表格列出，再整理即可； （3）把代入（2）中的函数关系式计算即可． 【小问1详解】 解：在上述变化过程中，自变量是岩层的深度h； 因变量是岩层的温度t； 由表格可知，岩层的深度每增加，岩层的温度就升高， 表格中m的值为160； 故答案为：岩层的深度h；岩层的温度t；160； 【小问2详解】 岩层的深度每增加，岩层的温度就升高， ； 【小问3详解】 当时，即， 解得， 即岩层的深度为． 19. 如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接，交的延长线于点E．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∵点F是的中点 在和中， ． 20. 如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】连接、，根据题意，是的中位线，则，，进而得到，，因此四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得． 【详解】证明：如图，连接、， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点在的延长线上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 21. 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ （2） 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形性质和角平分线的性质证明； （2）证明，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图①正方形中，M是中点，E是延长线上一点，交的平分线于N，在上截取，，连结，易证 （1）如图②当点M是边上任意一点时的结论是什么？ （2）如图③当点M在的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）在上截取，连接，构建，即可得出． （2）在延长线上截取，连接．通过证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，在上截取，连接． ，，，， ． ， ． ∵平分， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中 ， ． ． 【小问2详解】 结论“”仍成立． 证明如下：如图，在延长线上截取，连接． ，，，， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在△和中 ， ． ． 23. 阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知是正整数，，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）将 代入 ，求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ∴ ， ， 将 代入 ， 可得： 化简可得： 移项可得： 解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $