精品解析：山东省聊城市莘县2024—2025学年下学期八年级数学期中试题　

2024—2025学年度第二学期期中学业水平检测 八年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 的算术平方根是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2， 故选：B． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式解集； 先解不等式，再根据在数轴上表示解集的方法得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为 ， 故选：B． 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（ ） A. 61° B. 109° C. 119° D. 122° 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出，根据角平分线的性质得：AE平分∠BAD求，再根据平行线的性质得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴， ∴ ∵AE平分∠BAD ∴ ∵ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系，是解答此题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了对绝对值、立方根、算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 5. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：若，则，故选项A正确； 若，则，故选项B正确； 若，则，故选项C 不正确； 若，则，故选项D正确． 故选C． 6. 如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、无理数，在网格图中作线段，根据每个小正方形的边长为，可得：，，，，利用勾股定理求出，，由网格图可知，根据无理数的定义可知无理数是． 【详解】解：如下图所示，在网格图中作线段， 则，，，， 在中，， 在中，， ，，， 的三边，，中无理数是． 故选：A． 7. 如图，菱形中，，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作点N关于直线的对称点，根据两点之间线段最短可得，再说明是等边三角形，结合等边三角形的性质得，然后根据根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，作点N关于直线的对称点， ∴， 即， 根据两点之间线段最短可得． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵点是的中点， ∴， 根据勾股定理，得， 所以的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，根据两点之间线段最短确定的最小值是解题的关键． 8. 关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A. 11 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确得到关于m的不等式组是解题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴， ∴， ∴符合要求的所有整数m的值为5，6，7， ∴符合要求的所有整数m的和为． 故选C． 9. 如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点.若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得，证明，根据全等三角形的性质可得，继而根据，可求得CG的长，进而根据即可求得答案. 【详解】∵四边形ABCD是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， 故选A. 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用. 10. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列说法正确的有（ ） ① ②平分 ③ ④ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线定义，熟练掌握各定理是解题的关键． 利用平行四边形的性质及等边三角形的判定得出是等边三角形，再由各角之间的关系得出，即可判断①；利用等边三角形三线合一的性质无法得出平分，即可判断②；在由平行四边形的性质及等边三角形的性质可判断③；利用面积之间的关系可判断④． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故①正确，符合题意； 由①得是等边三角形，无法证明， ∴不能得出平分，故②错误，不符合题意； ∵， ∴，故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为______． 【答案】m=2 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，|m-3|=1，m-4≠0，分别进行求解即可． 【详解】解：根据题意|m-3|=1，m-4≠0， 所以m-3=±1，m≠4， 解得m=2． 故答案为：m=2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和绝对值．解题的关键是明确一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0． 12. 如图，数轴上点对应的数为3，于点，且，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识点的应用，关键是求出长．先在直角中，根据勾股定理求出，再根据同圆的半径相等即可求解． 【详解】解：由题意可知， ∵， ∴， ∴在中，． ∴． 故答案为：． 13. 若定义运算“”的法则为：，那么_________． 【答案】 【解析】 【详解】此题考查实数的运算，由题意列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式后利用算术平方根的定义即可求得答案． 【分析】解： ， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形还应满足的一个条件是等．答案不唯一． 【详解】解：条件是． ∵分别是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为： 【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键． 15. 如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解决实际问题．在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外线感应装置到洗手台面的高度的长为． 故答案为：12． 16. 如图①，在菱形中，动点从点出发，沿的路径运动至点．设点的运动路程为，的面积为．若关于的函数图象如图②所示，则图中的值为____________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理与函数图象的综合应用，掌握菱形的对角线互相垂直平分，及利用面积公式和勾股定理求边长是解题的关键． 先从函数图象得出的长度，利用的面积结合菱形对角线的性质求出的长度，再通过勾股定理算出的长度，最后将与的长度相加得到的值． 【详解】解：如图，连接交于点． 由图②可知，，且当时，的面积为48． 四边形是菱形， ，且，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元一次不等式组，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再计算小括号内的加法，接着计算绝对值和除法，最后计算减法即可得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 18. 【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 （1）图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． （2）在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． （3）若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，二次根式的运算，负整数指数幂． （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； （3）根据得到，，代入，进行求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴． 19. 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据菱形的性质，推出四边形是平行四边形，再根据，得到，即可得证； （2）设，在，利用勾股定理列出方程求出的值，再根据菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：， ． 四边形是菱形， 设， ， 在中， ， ， 即， 菱形面积为：． 20. 已知对于任意实数、，定义的含义为：当时，；当时，．例如：，，． （1）_______； （2）若，求的取值范围； （3）解不等式组，设不等式组的最小整数解为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解不等式组，解一元一次不等式，求不等式组的整数解，正确理解新定义是解题的关键． （1）比较出，再由新定义可得答案； （2）根据新定义可得不等式，解不等式即可得到答案； （3）根据新定义可得，解不等式组可得不等式组的最小整数解，即m的值，再根据新定义可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的最小整数解为：，即， ， ． 21. 山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； 【小问2详解】 如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 22. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，．直线分别交，，于点，，；连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，平行四边形的性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由作图可得是的垂直平分线，得到，，由得到，即可证明，从而，即可证明四边形是平行四边形，再由即可得证结论； （2）过点B作，交的延长线于点G，根据，得到，从而有，进而根据勾股定理有，求得，又在中，根据勾股定理求出，再由菱形的四边相等即可解答． 【小问1详解】 证明：由作图可得是的垂直平分线， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【小问2详解】 解：过点B作，交的延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在菱形中，． 23. 某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元． （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件； （2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案． 【答案】（1）购买的甲、乙两种奖品分别是5件、15件（2）该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件. 【解析】 【分析】（1）根据“两种奖品共20件”和“两种奖品共花费650元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）设甲、乙两种奖品分别购买x件、y件 依题意，得：， 解得：， 答：甲、乙两种奖品分别购买5件、15件. （2）设甲种奖品购买m件，则乙种奖品购买（20-m）件 依题意得： 解得：， ∵m为整数， ∴m=7或8， 当m=7时，20-m=13；当m=8时，20-m=12， 答：该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件. 24. [模型建立] （1）如图①，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，请你判断四边形的形状，并说明理由； [模型应用] （2）如图②，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点在矩形纸片的内部，延长交于点，求证：； [模型迁移] （3）如图③，在正方形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形纸片内，延长交于点，若，求线段的长． 【答案】（1）正方形，见解析；（2）见解析；（3）1 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得，，则四边形是矩形，即可得出结论； （2）连接，由折叠的性质可知，，，再证，即可得出结论； （3）由（2）得，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （2）证明：如图，连接， 由折叠的性质可知，，， ， 点是的中点， ， ， 又， ， ； （3）解：四边形是正方形， ，， 由折叠可得， 由（2）得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识，运用方程思想是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中学业水平检测 八年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 的算术平方根是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（ ） A. 61° B. 109° C. 119° D. 122° 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（ ） A. B. C. D. ， 7. 如图，菱形中，，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 4 8. 关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A. 11 B. 15 C. 18 D. 21 9. 如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点.若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列说法正确的有（ ） ① ②平分 ③ ④ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为______． 12. 如图，数轴上点对应的数为3，于点，且，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点，则的长为_______． 13. 若定义运算“”的法则为：，那么_________． 14. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 15. 如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为_______． 16. 如图①，在菱形中，动点从点出发，沿的路径运动至点．设点的运动路程为，的面积为．若关于的函数图象如图②所示，则图中的值为____________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）计算：； （2）解不等式组． 18. 【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 （1）图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． （2）在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． （3）若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 19. 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 已知对于任意实数、，定义的含义为：当时，；当时，．例如：，，． （1）_______； （2）若，求的取值范围； （3）解不等式组，设不等式组的最小整数解为，求的值． 21. 山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 22. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，．直线分别交，，于点，，；连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求线段的长． 23. 某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元． （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件； （2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案． 24. [模型建立] （1）如图①，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，请你判断四边形的形状，并说明理由； [模型应用] （2）如图②，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点在矩形纸片的内部，延长交于点，求证：； [模型迁移] （3）如图③，在正方形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形纸片内，延长交于点，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $