4.6 三角函数的图象及其应用讲义-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图象与性质核心考点，涵盖简谐运动概念、五点法作图、图象变换、解析式确定及实际应用，按知识复习与六个典例模块系统架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生构建从概念到应用的完整知识链。 讲义突出数学思维与模型意识培养，如通过对比两种图象变换途径强化逻辑分析，结合摩天轮、筒车实例引导用数学语言建模现实问题，设置选择、解答题分层练习，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

4.6 函数的图象及其应用（精讲） 第一部分：知识复习 1．简谐运动的有关概念 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x － y＝Asin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 【注意】两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度． [常用结论] 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z)． 第二部分：典型例题 典例一：函数的图象变换 1．（25-26高三上·广东汕尾·期中）只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】应用三角函数的伸缩变化结合平移规则计算求解. 【详解】正弦函数各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 2．（25-26高三上·湖南岳阳·开学考试）为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. 3．（25-26高三上·全国·单元测试）已知．函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】答案见解析 【分析】根据正弦型函数图象的变换性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以变换情况如下： 的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象， 再向上平移个单位，得到函数的图象. 4．（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】由函数和函数即可得解. 【详解】因为函数，又函数， 所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象. 故选：D 5．（25-26高三上·北京东城·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】先从伸缩变换排除AB选项，再从左右平移排除C选项，D选项满足题意. 【详解】，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平移个单位长度，得到,不符合要求； D选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平行移动个单位长度，得到，满足要求，故D选项正确. 故选：D 6．（25-26高三上·青海西宁·期末）已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据图象变化分析即可. 【详解】由题易知振幅和初相都没有改变， 周期由原来的变为， 因此横坐标缩短为原来的，纵坐标不变． 故选：B． 7．（25-26高三上·吉林长春·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据，结合函数图象平移变换判断即可. 【详解】由于， 所以函数图象向右平移个单位即可得到的图象. 故选：D 8．（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 【答案】C 【分析】根据三角函数解析式之间的关系结合三角函数图像变换关系进行判断即可． 【详解】， 将函数的图像各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位，即可得出函数的图像， 故选：C． 典例二：根据图象确定函数的解析式 9．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】ACD 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，利用赋值法和代入法，可逐个判断各选项． 【详解】由函数的图象可知：, 又因为,即则得,故A正确； 因,结合函数图象可得 所以,即． 而曲线向左平移个单位长度得到,故B错误； 当时,可得,故的图象关于直线对称,故C正确； 当时,,则,故D正确． 10．（25-26高三上·四川资阳·期中）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象，依次求得的值，即得答案. 【详解】由图知， 函数的最小正周期满足，则，解得 所以， 又，即 由于，所以，解得 所以函数的解析式为. 11．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值． 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 12．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【分析】根据题目条件求出函数，从而求出，则相关的性质就得出了. 【详解】对于A选项，由图象可知，所以； 又，所以，又，所以，所以 . 由五点作图法可知：，解得，所以， 则，故A错误； 对于B选项，根据A可知函数，故当时，，此时，单调递减，故B正确； 对于C选项，已知函数，因此，故C正确； 对于D选项，已知函数，因此，故D正确. 13．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）已知函数部分图象如图所示． (1)求解析式； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)、、 (3) 【分析】（1）观察图象利用最高点求出振幅，利用半周期的横坐标差求出，再代入已知特殊点的坐标即可求解； （2）采用“整体代换”法，结合正弦型函数的单调递增区间，解出x的范围后再与限定区间 求交集； （3）由图象变换求出，再利用换元法将方程转化为闭区间上的二次函数有解问题，分离参数后求二次函数的最值即可. 【详解】（1）设该函数的最小正周期为，且， 由函数图象可知：且， 即， 由图象可知： ， 因为，所以令， 由上可知：． （2），由， 因为，所以令，单调递增区间为， 令，得，而，所以单调递增区间为， 当，得，而，所以单调递增区间为， 综上所述：函数在上的单调递增区间为、、． （3）由题意可得，． 当时，． 因为存在使得等式 成立， 即方程在上有解． 令，则，方程转化为：在 上有解， 整理得：在 上有解． 令，，对称轴为， ，所以， ，因此，即实数的取值范围为 ． 14．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据图像先确定的值，根据周期得到，再代入点可得的解析式，再根据正弦型函数的性质逐项判断即可． 【详解】由题图知，，，所以， 又函数的图象过点， 所以，所以，， 又，所以，所以，故A，B正确． 由，，得函数的对称轴为直线，，故C错误． 由，，得，， 所以函数在区间上单调递减，故D正确． 15．（2026·甘肃张掖·二模）（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C．是的图象的一个对称中心 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】首先根据函数图象求函数的解析式，判断AB，再根据正弦函数的性质，利用代入法，判断CD. 【详解】由图象可知，函数的2个周期为， 所以，得， 当时，，得，， 因为，所以，故A错误，B正确； ，，所以的一个对称中心是，故C正确； 当时，，的值域为，故D错误. 16．（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 典例三：求图象变化前(后)的解析式 17．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，可得到函数（ ）的图象 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到， 将向右平移个单位得到. 18．（25-26高三上·海南·阶段检测）已知向量，，且函数． (1)若将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到的图象，求函数最小值及对应的的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)，时， (2) 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简得，再由图象平移写出，再由正弦型函数的性质求最值及对应； （2）根据已知得，再由平方关系及求函数值. 【详解】（1）因为，， 所以； 函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得， 再将所得图象向左平移个单位，得； 当，时，即，时，； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 19．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 20．（25-26高三上·江西抚州·期中）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移变换，采用逆变换法求出的解析式，结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】根据逆变换法，将的图象向左平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到. . 21．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）已知函数，先将的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），最后将得到的曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，则正确的选项为（    ） A． B． C．的单调增区间为 D．的图象关于对称 【答案】ACD 【分析】对于AB，由三角函数平移，伸缩变换知识可判断选项正误.对于CD，由正弦函数单调性，对称中心可判断选项正误. 【详解】对于AB，将图象向右移动个单位后，图象对应解析式为， 随后将上各点的横坐标变为原来的，图象对应解析式为， 最后将上各点的纵坐标变为原来的2倍，图象对应解析式为， 即故A正确，B错误； 对于CD，令， 则的单调递增区间为：故C正确； 的对称中心横坐标满足：， 又显然的对称中心纵坐标为0，则的对称中心为，故D正确. 22．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过伸缩平移得到函数，由题意得到在存在最值点，进而可求解. 【详解】由， 横坐标缩小为原来的​，得； 向右平移个单位，得： ， 当时，相位的范围为： ， 不单调区间内存在正弦函数的最值点， 结合，则， 该范围内仅有的最值点为， 因此要求： ， 右半部分： ​，符合题设； 左半部分： 综上，的取值范围是 . 23．（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数， 再把图象向右平移个单位长度得： ． 24．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数． (1)求的解析式和对称轴； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．对于任意的，方程有且仅有一个解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式求出的解析式，根据正弦函数的对称轴求解； （2）先对进行平移变换求出，再将方程有一个解转化为与有一个交点，进而作出图象求出的取值范围． 【详解】（1）， 正弦函数的对称轴为，故， 解得， 的对称轴为：． （2）的图象先向右平移个单位长度得：， 再将横坐标变为原来的2倍得：， 对于任意的，方程有且仅有一个解等价于： 与有一个交点， 由函数与的图象可知：． 典例四：由函数的性质确定解析式 25．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数（）的最小正周期为，若方程在区间上恰有一个解，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据周期公式求出，再将转化为关于的方程，最后结合正弦函数通解及解的个数确定的范围. 【详解】因为的最小正周期为， 所以由周期公式，得，因此：， 又因为方程，即，， 令，则，所以在区间上恰有一个解， 等价于方程在区间上恰有1个解，又因为的通解为： 或，又因为恰有1个解落在区间内， 所以仅落在区间内得：， 解得：， 仅落在区间内 ， 解得：. 26．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的最大值、最小正周期、过点，依次求得，从而确定正确答案. 【详解】由于的最大值为，所以. 由于的最小正周期，所以. 所以， 代入点，得， 由于，所以. 所以. 27．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数()在处取得最小值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】余弦函数的最小值为，， 则，解得， ，取，得， 的最小值为3． 28．（2026·河北唐山·模拟预测）（多选）已知函数 满足，且在内恰有两个极值点，则（ ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由题设可得，进而求得可判断A；结合可求得，即可判断B；根据正弦函数的性质可得函数关于对称，进而判断C；根据正弦函数的单调性判断D. 【详解】由，且在内恰有两个极值点， 则，即，则，故A正确； 而，则或， 即或， 又，则，即，故B错误； 由， 则函数关于对称，即，故C正确； 当时，， 因为函数在上不单调递增， 所以在上不单调递增，故D错误. 29．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出周期可得，再由对称中心求出，根据正弦型三角函数的性质求最小值即可得解； （2）根据函数图象的变换求出解析式，由正弦型函数的性质及所给条件列出不等式，求参数的取值范围即可 【详解】（1）函数且图象上相邻两个最高点的距离为，函数的最小正周期为，则， 又关于点中心对称，， 则，而，所以， ． 当时，，当，即时，取得最小值1． 要使恒成立，则的取值范围是． （2）由题意，函数． ，要使函数有且仅有4个零点， 则，解得，所以的取值范围是． 30．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【详解】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. （2）由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 31．（2026·江苏扬州·模拟预测）设，且，已知的值域为，，若在区间上恰有3个零点，则正实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再结合正弦函数图象性质求出范围. 【详解】由的值域为，得， 由，得， 而，则，， 由，得， 而函数在区间上恰有3个零点， 因此，解得， 所以正实数的取值范围是. 32．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知函数满足条件：的最小正周期为，且 (1)求的单调减区间； (2)当时，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)的最小值为，最大值为. 【分析】（1）根据周期性和对称性求参数，即可求解函数的解析式，再代入正弦函数的单调性公式，即可求解； （2）利用代入法，结合正弦函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，，得， 且由可知，函数关于对称， 则，得，且， 所以， 所以， 令，解得：， 所以函数的单调递减区间是； （2）时，， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 所以的最小值为，最大值为. 典例五：图象与性质的综合应用 33．（25-26高三上·江西南昌·期中）（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为 【答案】AC 【详解】对于A，因为的最小正周期为， 所以，解得，故A正确. 对于B，因为，所以，故B错误. 对于C，因为，故C正确. 对于D，因为，所以，所以，故D错误. 34．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）（多选）若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．不等式的解集为 D．当，满足，则 【答案】ABD 【分析】先通过函数图象确定函数的解析式，然后根据函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】由图象知，最小正周期为，则， 将代入中，得，得，， 又，则，所以该函数的解析式为． 对于A，，故A正确； 对于B，由的对称轴为，，得，， 取时，直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，由，则，即，， 解得，，所以该不等式的解集为，，故C错误； 对于D，根据函数的解析式画图如下， 由，满足， 则，所以，故D正确． 35．（2026·湖南长沙·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【分析】选项A，根据图象最高点、最低点及周期性，特殊点确定解析式；选项B，解三角方程，求出通解，计算相邻解的最小距离；选项C，利用函数图象平移变换规则进行验证；选项D，画出两个函数的图象可得. 【详解】由函数图象得， 最小正周期为，， 由，得, ，因为，所以， 所以，选项A正确； 令，则， 解得或， 即或， 因为，所以， 选项B正确； 将函数的图象向右平移个单位长度得到， 选项C错误； 在同一坐标系中绘出曲线与在的图象，可得函数图象有4个交点，选项D正确. 36．（25-26高三上·福建福州·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．在上的图象与直线恰有11个交点 【答案】ACD 【分析】根据图象求出的解析式，结合三角函数的图象及性质逐项分析判断即可. 【详解】选项A：由图象可知，，所以. 当时，，即， 所以，，即，. 又，所以. A正确. 选项B：由A知，. ，. 因为在上单调递减，，所以， 即. B错误. 选项C：令，，则，. 所以的对称轴为，. 当时，，C正确. 选项D：令，则，. 所以或，. 在上，时有1个解，时各有2个解，共11个解.D正确. 故选：ACD. 37．（25-26高三上·广东江门·期中）已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求在上的单调递减区间； (3)若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）结合图象先求的解析式，再根据求解即可； （2）利用整体思想，求出函数的所有递减区间，再求出函数在上的单调递减区间； （3）根据函数的周期为4，可得两相邻零点之间的距离为2，求出2026、2028个零点之间最短距离，即可得答案. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 由题意可得； （2）由（1）可知， 令， 解得， 当时，的单调递减区间为， 所以在上的单调递减区间为； （3）因为，最小正周期为4， 所以相邻两个零点之间的距离为2， 又因为在区间上恰有2026个零点， 设第一个零点为，则第2026个零点为， 则2026个零点之间最短距离为， 由2028个零点之间最短距离为， 所以 38．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若是偶函数，求的值； (3)求关于的方程在上所有的实数根之和． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数图象可知，，可求出，再由函数图象经过点，结合即可求出函数解析式； （2）根据偶函数满足的条件可得，，结合求出的值即可； （3）根据正弦函数性质，可知在一个周期内有两个根，且两个根关于对称轴对称，找出对称轴即可解决问题. 【详解】（1）由图可得最小值为，则，又， ，令，则有，， 解得，又，故，即． （2）因为是偶函数， 则，，所以，， 又，所以当时，；当时，， 所以或. （3）令，则， 当时，， 由，则，则有四个不同的根， 设这四个根从小到大分别为，，，，由有对称轴与， 则，， 即，，故实数根之和为； 另外：利用换元法（整体思想），令， 当时，，即， 所以，， 则，， 即有，， 故实数根之和为. 39．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】(1)根据已知可求出的值，相邻两条对称轴之间的距离为，根据计算的值； (2)利用整体代换的思想，将看作整体，通过，得到整体的范围，根据正弦函数单调区间计算m的最大值； (3)通过x的取值范围计算的取值范围，利用换元法，根据二次函数图象性质求参数取值范围． 【详解】（1）解：由，得，由，则， 因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为， 所以函数的最小正周期满足，可得, 因为，则＝2，所以． （2）令，因为，所以． 要使函数在区间上单调递增，只需， 解得：，所以实数m的最大值为． （3）∵，∴，∴， 令，则由题可知恒成立， 令，，对称轴为，开口向上， 所以， 解得：，综上可知，的取值范围是． 40．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，其中点. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由周期求，将点代入求，即可得解析式； （2）由正弦函数的单调性列不等式求解即可； （3）由对称性得到，结合诱导公式，二倍角公式求即可. 【详解】（1）因为在函数图象上且纵坐标互为相反数， 结合图象可知，所以，根据，解得. 将代入，得，即， 因为，所以，所以函数解析式为； （2）令，，得，， 所以的单调递增区间为； （3）， 即在上有两个不相等的实数根， 当时，，设， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， ，即 那么， 因为，所以， 所以， 所以. 典例六：三角函数模型 41．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 【答案】BCD 【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可. 【详解】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为， 由题意，，所以， 由摩天轮转一周需要，知座舱转动的角速度约为，故， 则， 又游客甲坐2号舱位，当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以， 即，所以，所以， 不妨取，则，故，A错误； 由于摩天轮旋转一周需24分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时， 需经历分钟，B正确； 根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为： ， 则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确； 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降， 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降， 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确. 42．（25-26高三上·北京西城·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 【答案】(1)； (2)或； (3)米. 【分析】（1）根据给定信息，设出的解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）及求出值. （3）求出的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）依题意，设， 由，得，由，，得，而， 则，由转一周需要24分钟，得，解得， 所以. （2）由，得，当时，， 解得或，即或， 所以或. （3）依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔， 则甲、乙两人距离地面的高度分别为， 因此， 当时，，则当，即时，， 所以H的最大值为米. 43．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出，再根据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长. 【详解】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 44．（25-26高三上·湖北·期中）（多选）某摩天轮半径为18米，圆心离地面高度为20米．当时，游客从最低点进舱，此时座舱和座舱与点等高．摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时36秒．设表示秒时游客距离地面的高度（高度：米），已知，其中，下列说法正确的是（）    A． B．当时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒． C．记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于米的时长为，则函数的图象关于对称． D．当时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱的游客和座舱的游客距离地面的高度分别为和，满足的时长为18秒． 【答案】ABD 【分析】先由摩天轮最高点、最低点高度求出，再由周期求出，由时游客位于最低点求出，判断A；再把高度不低于29米转化为三角不等式，求出满足条件的时间长度，判断B；然后写出关于的表达式，判断其对称中心，判断C；最后根据座舱、座舱与游客座舱的初始相位分别写出高度函数，化简不等式并求时长，判断D． 【详解】由题可知，的最大值与最小值分别为38和2，可得，解得， 每转一圈用时36秒，则的周期为36，可得， 解得，结合的范围解得，故A选项正确； 由A可得， 令．当时，．由，得所以， 在内，满足条件的为， 因此，解得，时长为秒，故B正确； 当时，由，得即， 所以一圈内满足条件的的长度为， 于是， 由此可知， 即函数的图象关于点成中心对称， 而，不是，故C错误； 由图中初始位置可知，时座舱在圆心左侧，座舱在圆心右侧，且二者均与点等高， 令，则， 且游客从最低点进舱，有， 于是， 所以， 由，得， 当时，满足的区间为， 这两个区间的总长度为，对应时间长度为秒，故D正确． 45．（25-26高三上·辽宁朝阳·期中）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（    ）    A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为2米 【答案】ABD 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 由A可知，点P第一次到达最高点需用时秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C错误； 当时，，点P距水面的高度为2米，D正确． 46．（25-26高三上·广东茂名·期中）图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）. (1)求A，B，，的值； (2)求入口处M离地平面的高度； (3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长. 【答案】(1)，，，； (2)； (3) 【分析】（1）根据三角函数的最值求解，结合最高点与最低点的时间间隔求周期，进而求，代入最高点坐标求. （2）将代入函数解析式计算得的高度. （3）建立不等式求解的范围，计算一个周期内符合条件的时长. 【详解】（1）∵ 高度最大值为，最小值为， ∴ ，解得，. ∵ 从最高点到最低点的时间间隔为半个周期， ∴ ，即，∴ . ∴ . 将，代入得，即， ∴ .∵ ，∴ . （2）由（1）知， 入口处对应，∴ . 即入口处离地面高度为. （3）令，即，化简得. 函数周期，取一个周期，则. 由，得，即， 解得. ∴ 时长为. 47．（25-26高三上·河南南阳·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 【答案】D 【详解】筒车半径为2米，故振幅为，圆心距水面1米，故平衡位置，故A正确； 已知每分钟转4圈，周期秒，角速度，故B正确； 时，点在水面，，代入公式，解得， ，且在第四象限，，故C正确； 秒时，， 米，故D错误． 48．（25-26高三上·河北·期中）南昌之星摩天轮是南昌市的标志性建筑，也是国内最高的摩天轮，轮面彩灯全部亮后可以显示一座巨型彩色时钟．该摩天轮最高点距离地面高度为160米，转盘直径为153米，设置有60个座舱，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）．游客在座舱内可观看南昌一江两岸的壮丽景观．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，已知甲比乙提前5分钟进入座舱，在甲运行一周的过程中，设甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米． (1)求关于的表达式； (2)当甲、乙距离地面高度相同时，求的值； (3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设，结合题意与三角函数性质计算即可得解； （2）由题意可表示出乙距离地面高度与的表达式，令其与相等，解出即可得； （3）利用三角恒等变换公式计算即可得. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面的最近点为，以摩天轮轴心为原点， 与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 设， 由题得，解得， 又摩天轮匀速旋转一周需要30分钟，所以， 所以， 又当时，甲位于点， 以为终边的角为，所以， 所以， 即； （2）设乙距离地面的高度为， 则， 令，所以， 所以， 所以，或（舍去）， 即，又，所以，即； （3）令，则，， 所以 ， 当，即时，， 又当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值， 所以，即的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.6 函数的图象及其应用（精讲） 第一部分：知识复习 1．简谐运动的有关概念 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x － y＝Asin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 【注意】两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度． [常用结论] 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z)． 第二部分：典型例题 典例一：函数的图象变换 1．（25-26高三上·广东汕尾·期中）只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 2．（25-26高三上·湖南岳阳·开学考试）为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 3．（25-26高三上·全国·单元测试）已知．函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？ 4．（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 5．（25-26高三上·北京东城·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 6．（25-26高三上·青海西宁·期末）已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 7．（25-26高三上·吉林长春·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 典例二：根据图象确定函数的解析式 9．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 10．（25-26高三上·四川资阳·期中）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 12．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 13．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）已知函数部分图象如图所示． (1)求解析式； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 14．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 15．（2026·甘肃张掖·二模）（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C．是的图象的一个对称中心 D．在上的值域为 16．（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 典例三：求图象变化前(后)的解析式 17．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，可得到函数（ ）的图象 A． B． C． D． 18．（25-26高三上·海南·阶段检测）已知向量，，且函数． (1)若将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到的图象，求函数最小值及对应的的值； (2)若，且，求的值． 19．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·江西抚州·期中）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）已知函数，先将的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），最后将得到的曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，则正确的选项为（    ） A． B． C．的单调增区间为 D．的图象关于对称 22．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数． (1)求的解析式和对称轴； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．对于任意的，方程有且仅有一个解，求的取值范围． 典例四：由函数的性质确定解析式 25．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数（）的最小正周期为，若方程在区间上恰有一个解，则的取值范围是__________． 26．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数()在处取得最小值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 28．（2026·河北唐山·模拟预测）（多选）已知函数 满足，且在内恰有两个极值点，则（ ） A． B． C． D．在上单调递增 29．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 30．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 31．（2026·江苏扬州·模拟预测）设，且，已知的值域为，，若在区间上恰有3个零点，则正实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知函数满足条件：的最小正周期为，且 (1)求的单调减区间； (2)当时，求函数的最小值和最大值． 典例五：图象与性质的综合应用 33．（25-26高三上·江西南昌·期中）（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为 34．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）（多选）若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．不等式的解集为 D．当，满足，则 35．（2026·湖南长沙·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 36．（25-26高三上·福建福州·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．在上的图象与直线恰有11个交点 37．（25-26高三上·广东江门·期中）已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求在上的单调递减区间； (3)若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 38．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若是偶函数，求的值； (3)求关于的方程在上所有的实数根之和． 39．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，求的取值范围． 40．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，其中点. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值. 典例六：三角函数模型 41．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 42．（25-26高三上·北京西城·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 43．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 44．（25-26高三上·湖北·期中）（多选）某摩天轮半径为18米，圆心离地面高度为20米．当时，游客从最低点进舱，此时座舱和座舱与点等高．摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时36秒．设表示秒时游客距离地面的高度（高度：米），已知，其中，下列说法正确的是（）    A． B．当时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒． C．记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于米的时长为，则函数的图象关于对称． D．当时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱的游客和座舱的游客距离地面的高度分别为和，满足的时长为18秒． 45．（25-26高三上·辽宁朝阳·期中）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（    ）    A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为2米 46．（25-26高三上·广东茂名·期中）图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）. (1)求A，B，，的值； (2)求入口处M离地平面的高度； (3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长. 47．（25-26高三上·河南南阳·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 48．（25-26高三上·河北·期中）南昌之星摩天轮是南昌市的标志性建筑，也是国内最高的摩天轮，轮面彩灯全部亮后可以显示一座巨型彩色时钟．该摩天轮最高点距离地面高度为160米，转盘直径为153米，设置有60个座舱，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）．游客在座舱内可观看南昌一江两岸的壮丽景观．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，已知甲比乙提前5分钟进入座舱，在甲运行一周的过程中，设甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米． (1)求关于的表达式； (2)当甲、乙距离地面高度相同时，求的值； (3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $