解三角形题型训练-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数与解三角形核心考点，涵盖范围与最值、角间隐含联系、与圆锥曲线结合、方程思想及四心问题等高考高频题型，按知识内在逻辑分层架构。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战能力，助力学生系统突破难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“问题情境—模型构建—逻辑推理”教学模式，如在解三角形最值问题中，引导学生从题干抽象边角关系，用函数或不等式模型表达，培养推理能力与应用意识。精选各地名校真题，设置梯度训练，确保复习高效，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

三角函数好题汇总 【题型一：解三角形范围与最值问题】 1.(2026苏大)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 则△ABC面积的最大值为：_______ 方法一： 选D. 方法二：由正弦定理得 代入题目条件得到 化简得到 的面积 由基本不等式得 得到 当且仅当 时等号成立， 选D. 【点评】本题的关键是注意到左右两边可以利用正弦定理进行边角转化，从而将转化为边，再选择适当的三角形面积公式利用基本不等式得出最值。 【题型三：解三角形与三角函数公式综合】 2.(2026湖南师大)在△ABC中,满足 则下列说法正确的是 [A] tanAtanB=±1 [B] [C] [D] 若 A,B 为不同象限角,则 tan(A+B)+ 的最大值为-2 【答 案】ABD 【解析】对于 A 选项,由 可得 所以tanAtanB=±1,所以A正确；对于B选项，由 可得 即 所以|cosB|=|sinA|,所以 所以 B 正确; 对于C选项, sin2A+sin2B+ sin2C=2sin(A+B) cos(A-B)+2sinCcosC=2sinCcos(A-B)-2sinCcos(A+B)=4sinAsinBsinC,所以所以C错误; 对于D选项,因为A,B为不同象限角,所以 tanAtanB=-1, tanC>0,可得 —2,当且仅当 时等号成立.所以D正确.故选：ABD. 【点评】本题对涉及到多个三角函数公式，对综合应用能力要求较高，根据选项逆向分析是快速解决本题的关键。 3.(2026长郡)在△ABC 中,若 BC = AC·sin∠ACB,则tan∠BAC的最大值为 【答案】 【解析】记△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 因为 BC=AC·sin∠ACB,即a=bsinC, 由正弦定理可得 sinA=sinBsinC, 所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, 即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC, 若 此时△ABC为等腰直角三角形,tan∠BAC=1, 若 则 此时△ABC为等腰直 角三角形,tan∠BAC=1, 若cosBcosC≠0,且由sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC 可知否cosB=0与前提条件不符, 上述等式两边除以cosBcosC, 得tanB+tanC=tanBtanC, 又tanC≠1,得 因为 当且仅当tanC=2时取等号，此时tanA取得最大值 【点评】本题考查较有新意，由已知条件只能得到两角间的关系式，结合目标所求利用消元法将所求A角正切利用C角来表示，从而求出最值。 4.(2026长郡)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B是钝角, 则sinA+sinC的最大值是 . 【答案】 【解析】 ∵B是钝角,.则 又∵C为三角形内角,A+B+C=π,∴C∈(0,π-B), 因为y=cosx在上单调递减， 令设 所以当时，函数取最大值， 【点评】本题关键是注意利用诱导公式得出两角关系，从而利用消元思想转化为角C的二次函数形式从而求出最值。总结：处理三角函数相关方程或不等式时注意不同名化同名，不同角化同角。 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积 则 的取值范围是 . 【答案】(1,2) 【解析】由余弦定理得 又 所以 所以sinA=2cosA+2, 所以 即 所以(5cosA+3)(cosA+1)=0,又-1<cosA<1,所以 方法一：由正弦定理得 其中 且 又 所以 sin(π-A+θ)< sin(C+θ)<sinθ,又 sin(π-A+θ)= sin(A-θ)= sin Acosθ-cos Asinθ= 所以 所以 的取值范围是(1,2). 方法二： 令f (C)= 因为 而 所以 所以f'(C)<0,f(C)在 上单调递减，所以在(0，π-A)上单调递减，所以 的取值范围是(1，2). 方法三：所以 令 得 再令m = 4t+15,则m>15, 所以 又因为 在(13,+∞)上单调递增,所以 所以 所以 所以 的取值范围是(1,2). 6.（2026长沙联考）已知△ABC三个内角A,B,C的对边a,b,c依次成等比数列,且b=2,点T为线段AB(不含端点)上的动点.设l为常数，若满足的点T恰好有2个，则实数t的取值范围为. 【答案】(-1,0)∪(1,2) 【解析】∵a，b，c成等比数列，. 又∵ 而由 ①-② ∴△ABC为等边三角形且边长为2 取BC中点(*) 过E作于点F,∴∵满足条件的T恰有2，即线段AB上恰有两个T满足(*)式， 综上:-1<t<0或1<t<2. 【题型二：注意角间隐含联系】 1..(2026湖南师大)已知 则 cos(4α+2β)= . 【解析】∵cosβ= cos[(α+β)-α]= cos(α+β)cosα+ ∴cos(2α+β)= cos[(α+β)+α]= cos(α+β)cosα-sin(α+ 【点评】本题主要考查三角恒等变换，关键是找到所求角与已知角间的关系，同时也要注意到两个已知角间的关系。 2.(2026十校联考）在△ABC中,已知4cosB+3sinB+4sin(C-A)=9,AC=6,则 [A]A>B [B]C>A [C]AB=2BC [D]△ABC的面积为12 【答案】BCD 【解析】对于 A,因为 4cos B+3sin B+4sin(C-A)=9, 所以 即 5sin(B+φ)+4sin(C-A)=9,其中 故 sin(B+φ)= sin(C-A)=1, 因为 A,B,C∈(0,A+B+C=π,所以 B+φ=C-A 所以B+φ+C-A=π,又A+B+C=π, 两式相减可得：φ=2A,且 所以 即 由 可得 可得： 所以 =-2, 所以 因为 f(x)= tanx在区间 上单调递增，且 tan B>tan A,所以B>A,C>A,故A错误,B正确; 对于C，由同角关系得 所以由正弦定理得 即 AB=2BC,故C正确; 对于 D，因为AC=6，由正弦定理得 由正弦定理得 所以△ABC的面积为 故 D 正确.故选:BCD. 【点评】本题的关键是注意到特殊数值间的联系，大胆应用辅助角公式，结合三角函数有界性解决问题。 3.在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对应边,满足 下列说法正确的是 [B] tanA·tanB的最小值为2 [C]△ABC的面积最大值为 [D]若 则 【答案】 AC 【解析】由 可得 sinAcosA+ sinBcosB=2sinAsinB, 即得 即得sin(A+B)cos(A-B)=cos(A-B)-cos(A+B), 则 sinCcos(A-B)=cos(A-B)+cosC, 若则sinC≠1,则可得 令t=sinC(0<t<1),则 这是不可能的，从而可知 对于A，由于 故故 A正确； 对于 B,在△ABC中, 故A，B均为锐角且互余， 则 故tanA·tanB为定值1,B错误; 对于C, 且 由a+b+c=10,则a+b=10-c,结合 (a+b)²,当且仅当a=b时取等号, 得 解得 (负值舍去)， 又50-10c, 故 当且仅当时等号成立，即△ABC的面积最大值为 C正确； 对于D，由于则 sinC=1,故由sinAsinBsinC= 知 结合sinB=cosA,得即由于故 或即或 当时，则 当时，则b²,故D错误. 【点评】本题的关键是注意到等式两边特征，从而得出C角。 4. 在△ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知a=2, b<c, (1) 求 的值： (2) 证明: 【解析】(1) 设则 又 ∵b<c, c-b= 由正弦定理， 由 又0<B<π,故 【题型三：解三角形与圆锥曲线结合】 1.(2026 湖南师大).在△ABC中,AB=6,BC=10,AC的中垂线交BC于点M，则△ABM的面积的最大值是 . 【答案】12 【解析】由题可知AM=MC.由 BM+AM=BM+MC=BC=10，知点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，长轴长为10，焦距为 6.椭圆半长轴a=5，半焦距c=3， 半短轴 设A(-3,0),B(3,0),则点 M的轨迹是椭圆 △ABM 面积 当取最大值(即半短轴b=4)时，面积的最大面积为 3×4=12.故答案为：12. 【点评】本题关键是注意到利用中垂线的性质注意到M点到两点距离之和为定值，从而确定M点的轨迹，得到三角形面积最值。 2.(2026长郡)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a²+点 D 在平面ABC 内，满足DC=2DB,a=6,则DA的最大值为 . 【解析】在△ABC中，由余弦定理得 —2bccos A,代入到 整理得 则当且仅当b=c时等号成立， 又由 所以 此时b=c,又因为0<A<π,所以 所以 所以△ABC是等边三角形. 以 BC中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，如图， B(-3,0),C(3,0),A(0,3),设D(x,y),由 DC=2DB得整理得 所以点 D的轨迹是以T(-5，0)为圆心，4为半径的圆，所以 DA 的最大值为 【点评】本题关键是由已知条件联系到余弦定理，从而利用夹逼思想得出角A；再利用阿氏圆得出点D的轨迹，从而确定最值。 【题型四：解三角形与方程思想结合】 1.在△ABC中,D在边AB 上,CD平分∠ACB,若AC=2,BC=1,且 则AB= . 【答案】 【解析】由题意，如图，设BD=x，由角平分线定理可得AD=2x, 由于 ∠ACD =∠BCD,所以由余弦定理可得: 艮 解得 可得 2.（多选）已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,B=C+ D在线段BC 上,且满足AD平分∠BAC.则 【答案】ABD 【解析】对于 A,在△ABC 中,由正弦定理可得 所以 故 A 正确; 对于B，因为 则 则 故 B正确； 对于C，由于 则 由于 则 —2C, 在△ABC中，由余弦定理： 即故C不正确； 对于D，由于则 由于解得 (负数舍去)， 因为 D在线段BC 上,且满足AD 平分∠BAC,则在△ABC中， 由等面积可得： 即 解 得 故 D正确. 3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若 则 的取值范围是 【答案】 【解析】 A,B不能同时为钝角，所以A，B均为锐角. 令tanB=t, 则 令 则 所以 【题型五：三角形四心与解三角形】 1.（2026郏县模拟）设△ABC的三个内角分别为A,B,C,重心为G,则（ ） A.以 sin A,sin B ,sin C的长度为边能构成三角形 B.以△ABC的三条中线的长度为边能构成三角形 C.以cos A,cos B,cos C的长度为边能构成三角形 D.若点G到△ABC的三边BC,AC,AB的距离分别为,则以 的长度为边能构成三角形 【答案】ABD 【解析】由正弦定理可知， 所以以 sin A,sin B,sin C的长度为边能构成三角形，故A正确； 设三条中线分别为AD，BE，CF。则有因为 所以 即三个向量AD，BE，CF可构成闭合回路。所以以△ABC的三条中线AD，BE，CF的长度为边能构成三角形，故B正确； 显然当 时， 故C错误； 因为 所以 所以 所以以 的长度为边能构成三角形，故D正确。 【点评】本题利用三角形基本性质考查，将正弦定理边角转化与重心性质综合考查，综合性较强，对学生知识底蕴有一定要求，同时对学生分析问题的能力有一定要求。技巧方面，考查学生灵活应变，比如C选项的极端化思想在考试中也是一种重要应试技巧。 2.（2026南京）记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 点G是△ABC的重心, 若BG⊥CG,5b=6c则cosA的取值是 . 【答案】 【解析】令G(0,0), B(m,0), C(0,n), A(-m,-n); 其中m>0, n>0. 由5b=6c得 取 则 【点评】本题注意到垂直关系，直接建系大大简化本题难度。 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数好题汇总 【题型一：解三角形范围与最值问题】 1.(2026苏大)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若b2= 2sinB sin A+2sin2C 则△ABC面积的最大值为： 2.(2026湖南师大)在△ABC中，满足cos2A+cos2B=1则下列说法正确的是 [A]tanAtanB-±l [B]ItanAl=I0器l [c] sin 24+sin 2B+sin 2C=4 sin C cos Acos B [D]若A,B为不同象限角，则tan(AB)+amA中m的最大值为2 2 3.(2026长郡)在△ABC中，若BC=AC·sin∠ACB,则tan∠BAC的最大值为 4.(2026长郡)在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B是钝角， tanC=,则sinA+sinC的最大值是 5.记△C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积S=,则 的取值范围是 6.(2026长沙联考)已知△ABC三个内角A,B,C的对边a,b,c依次成等比数列， 且b=2,cos(A-C)=专+cosB,点T为线段AB(不含瑞点)上的动点.设1为常数， 若满足8TB.T元+t2一-t=0的点T恰好有2个，则实数t的取值范围为. 【题型二：注意角间隐含联系】 2 1.(2026湖南师大)已知cosB=号，cosac0s(a+B)=,则cos(4a+2B)= 2.(2026十校联考)在△ABC中，已知4cosB+3sinB+4sin(CA)=9,AC6,则 [A]A>B [B]C>A [C]AB-2BC [D]△ABC的面积为12 3.在△ABC中，a,b,c是角A,B,C的对应边，满足器+器=2a+b+c=10,下 列说法正确的是 [A]sinc=+茶 2a2 [B]tanA·tanB的最小值为2 [C]△ABC的面积最大值为25(3-2√2) [D]若sinAsinBsinC=号，则b-a(a+c) 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2,b<c, besin =1 21 (1)求 CB的值： sinA (2) 证明：B< 【题型三：解三角形与圆锥曲线结合】 1.(2026湖南师大).在△ABC中，AB=6,BC10,AC的中垂线交BC于点M,则△ABM 的面积的最大值是 2.(2026长那)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2+c2=23 bcsinA, 点D在平面ABC内，满足DC-2DB,a=6,则DA的最大值为 【题型四：解三角形与方程思想结合】 1.在△ABC中，D在边AB上，CD平分∠ACB,若AC2,BC1,且CD=9,则AB 2.(多选)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,BC+罗，AB=2AC=3,D在线段 BC上，且满足AD平分∠BAC.则 [A]sinB=号sinC [B]tanC=号 [c]BC= [DIAD- 3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若器=2则柔。的取值范围是 【题型五：三角形四心与解三角形】 1.(2026郏县模拟)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,重心为G,则() A.以sinA,sinB,sinC的长度为边能构成三角形 B.以△ABC的三条中线的长度为边能构成三角形 C.以cosA,cosB,cosC的长度为边能构成三角形 D.若点G到△ABC的三边BC,AC,AB的距离分别为d,d,de,则以京，，青的长度 为边能构成三角形 2.(2026南京)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点G是△ABC的重心， 若BG⊥CG,5b=6c则cosA的取值是·