9.2正弦定理和余弦定理的应用 同步练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 本练习聚焦正余弦定理，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从单一知识点到实际应用的递进，适配新授课知识内化与能力初步培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|正余弦定理基本应用、简单计算|单选题1-3、填空题7-8直接考查定理直接应用，培养运算能力与几何直观| |综合应用|定理与面积、外接圆等综合|多选题5-6结合三角形性质与多选项辨析，发展推理意识| |拓展提升|实际情境应用与逻辑推理|单选题4测铁塔情境、解答题10向量证明，强化模型意识与应用能力|

2026年高一数学正余弦定理的应用限时作业九 （人教版B版必修四第九章） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A  2.在中，，，的对边分别是，，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设外接圆半径为，． 3.在中，，，分别是，，的对边，已知，若，，则的面积等于(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查三角形面积的计算，利用余弦定理以及方程求出，的值是解决本题的关键． 根据条件求出，结合余弦定理求出，的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】 解：， ， 即， 、均为三角形的边，， ，即， 由三角形的余弦定理， 得：， 再将带入式可得：， 即，得，， 又由，可得， 所以，三角形的面积是：， 故选：． 4.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】设此铁塔高，则，在中，，，，根据正弦定理得，解得，故选A． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在中，，，，为边上的一点，且到，距离相等，则下列结论正确的为(     ) A. B. C. 外接圆的面积为 D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题． 根据余弦定理求出，再由正弦定理求可判断；过点作的垂线，利用直角三角形可求出可判断；由正弦定理求三角形外接圆的半径可判断；根据面积公式可判断． 【解答】 解：在中，，，， 由余弦定理可得， ， 由正弦定理可得， ， 由角为锐角知，故A错误； 过点作的垂线，如图， 由得，， ，， ，故B正确； 由正弦定理可知，外接圆的直径，， 外接圆的面积为，故C正确； 由三角形面积公式可得，故D错误． 故选：． 6.已知，，分别是的内角，，的对边，所给下列条件能推出为等腰三角形的为(     ) A. B. C. D. 【答案】BD  【解析】中，由，得或，即或，故为等腰三角形或直角三角形 中，由，得，故为等腰三角形中，由，得，故为直角三角形 D.中，由，可化为，即， ，故为等腰三角形． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在等腰三角形中，已知，底边，则的周长是           ． 【答案】  【解析】由正弦定理得，又底边，所以，所以，所以的周长是． 8.已知，为锐角，，，则的值为           ． 【答案】  【解析】因为，，所以因为，，所以，因为，所以，所以． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知． 若，求； 求的最小值． 【答案】解  因为，  所以，  所以，  所以，  所以，  所以  因为，所以． 由得，  所以，  且，  所以，，  所以，解得，  由正弦定理得     ，当且仅当时取等号，  所以的最小值为． 10.本小题分 已知的内角，，所对的边分别是，，，设向量，，． 若，求证：为等腰三角形． 若，边长，，求的面积． 【答案】【解】证明：因为，所以， 即，其中是的外接圆半径， 所以． 所以为等腰三角形． 由题意可知， 即． 所以． 由余弦定理可知， 即， 所以舍去， 所以． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学正余弦定理限时作业九 （人教版B版必修四第九章） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 2.在中，，，的对边分别是，，，则(     ) A. B. C. D. 3.在中，，，分别是，，的对边，已知，若，，则的面积等于(     ) A. B. C. D. 4.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在中，，，，为边上的一点，且到，距离相等，则下列结论正确的为(     ) A. B. C. 外接圆的面积为 D. 6.已知，，分别是的内角，，的对边，所给下列条件能推出为等腰三角形的为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在等腰三角形中，已知，底边，则的周长是           ． 8.已知，为锐角，，，则的值为           ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知． 若，求； 求的最小值． 10.本小题分 已知的内角，，所对的边分别是，，，设向量，，． 若，求证：为等腰三角形． 若，边长，，求的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学正余弦定理限时作业九 (人教版B版必修四第九章) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=√2 bsinA,则角B的大 小为( A.8 B君 C. D. 2.在△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,则acosB+bcosA=( A.2cosC B.2sinC c D.c 3.在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边，已知b2=c(b+2c),若a=V6, cosA=名则△ABC的面积等于( ) A.V17 B.V15 C.vs D.3 2 4.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部 C在西偏北30°的方向上，行驶200m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向 上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为( ) 100W6 A. 一m B.50v6m C.100v3m D.100W2m 3 第1页，共3页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在△ABC中，∠BAC=135°，AB=6,AC=3V2,D为BC边上的一点，且D到A, B距离相等，则下列结论正确的为( A.sinzABC=3V10 B.BD=V10 10 C.△ABC外接圆的面积为45π D.SAABC=18 6.己知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边，所给下列条件能推出△ABC为等 腰三角形的为( A.sin2A=sin2B B.sinA =sinB C.sin2B=sin2A sin2C D.sinA=2cosBsinC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在等腰三角形ABC中，己知sinA:sinB=1:2,底边BC=10,则△ABC的周长 是 8已知a,B为镜角，sina=S,cos(e+B)=一号则sin2a+)的值为 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知oA= sin2B 1+sinA 1+cos2B (I)若C=,求B: (2求产的最小值。 第2页，共3页 10.(本小题14分) 已知△ABC的内角LA,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n= (sinB,sinA),p=(b-2,a-2). (1)若mn,求证：△ABC为等腰三角形. (2)若m1p,边长c=2,∠C=,求△ABC的面积. 第3页，共3页2026年高一数学正余弦定理的应用限时作业九 (人教版B版必修四第九章) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题) 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=√2 bsinA,则角B的大 小为( A Ba C. D.号 【答案】A 2.在△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,则acosB+bcosA=( A.2cosC B.2sinC C.a+b D.c 【答案】D 【解析】设△ABC外接圆半径为R,acosB+bcosA=2R(sinAcosB+sinBcosA)= 2Rsin(A+B)=2RsinC=c. 3.在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边，已知b2=c(b+2c),若a=V6, cosA=?则△ABC的面积等于( A.V17 B.V15 C 2 D.3 【答案】C 【解析】【分析】 第1页，共6页 本题主要考查三角形面积的计算，利用余弦定理以及方程求出b,c的值是解决本题的关 键 根据条件求出b=2c,结合余弦定理求出b,c的值，然后利用三角形的面积公式进行求 解即可 【解答】 解：b2=c(b+2c), .b2-bc-2c2=0, 即(b+cb-2c)=0, :b、c均为三角形的边，b+c≠0， .b-2c=0,即b=2c, 由三角形的余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 得：b2+c2-bc=6(*), 再将b=2c带入(*)式可得：5c2-c2=6, 即c2=4,得c=2,b=4, 又由cosA=名可得sinA=, 8 所以，三角形ABC的面积是：S=besinA=×2×4×雪=， 8 2 故选：C 4.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部 C在西偏北30°的方向上，行驶200m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向 上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为( A.100W6 B.50v6m C.100v3m D.100W2m 【答案】A 【解析】设此铁塔高hm,则BC=V3hm,在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°， ∠BCA=45°，AB=200m.根据正弦定理得3 2=200 sin45o 解得h=1O5,故选A. sin30 3 第2页，共6页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在△ABC中，∠BAC=135°，AB=6,AC=3V2,D为BC边上的一点，且D到A, B距离相等，则下列结论正确的为( ) A.sinABC=3V10 B.BD=√10 10 C.△ABC外接圆的面积为45π D.SAABC=18 【答案】BC 【解析】【分析】 本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题. 根据余弦定理求出BC,再由正弦定理求siB可判断A;过点D作AB的垂线DE,利用 直角三角形可求出AD可判断B;由正弦定理求三角形外接圆的半径可判断C;根据面积 公式可判断D. 【解答】 解：在△ABC中，∠BAC=135°，AB=6,AC=3V2, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=90, .BC=3V10, 由正弦定理可得，AC BC sin-ABC sinBAC' sinABC ACsinBAC 3√2x2 BC 3v10 10 由角B为锐角知cosB=3V@, 故A错误； 10 过点D作AB的垂线DE,如图， 由AD=BD得cos-DAE=cosB,AE=)AB=3, Rt△ADE,AD=AE=3=3 co∠DAE"c0sB=3W元=V10】 10 BD=AD=√IO,故B正确： 第3页，共6页 由正弦定理可知，△ABC外接圆的直径2R-C-四-6N5,R-3V5, sinA 2 △ABC外接圆的面积为S=πR2=45π，故C正确； 由三角形面积公式可得SAANC=AB·AC·sinA=×6×3V2x号=9，故D错误。 故选：BC. 6.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边，所给下列条件能推出△ABC为等 腰三角形的为( A.sin2A=sin2B B.sinA=sinB C.sin2B=sin2A+sin2C D.sinA=2cosBsinC 【答案】BD 【解析】A中，由sin2A=sin2B,得2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A+B=,故 为等腰三角形或直角三角形； B中，由sinA=sinB,得A=B,故为等腰三角形；C中，由sinB=sinA+sinC,得b2= a2+c2,故为直角三角形； D.中，由sinA=2 cosBsinC,可化为sin(B+C)=2 cosBsinC,即sin(B-C)=0, ·B=C,故为等腰三角形， 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在等腰三角形ABC中，已知sinA:sinB=1:2,底边BC=10,则△ABC的周长 是」 【答案】50 【解析】由正弦定理得BC:AC=sinA:sinB=1:2,又底边BC=10,所以AC=20,所 以AB=AC=20,所以△ABC的周长是10+20+20=50. 8.已知a,B为锐角，sina=S,cosa+B)=-气，则sn2a+B)的值为 【答案】-得 【解折】因为0<a<号ma=所以coa=V1-sa=、1-名=酒因为0< a<50<B<所以0<a+B<,因为cos(a+B)=-5,所以sin(a+B)= 第4页，共6页 V1-cos2(a+可-1-=25所以sin(2a+)=sin(a+a+A)=snos+)+ eosasin((a+)=×(-9+ex25-得 10 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知osA sin2B 1+sinA 1+cos2B ()若C=,求B: 2)求的最小值。 【答案】解(L)因为osA=sim2B 1+sinA 1+cos2B' 所以-cosA=2 2sinBcosB '1+sinA1+2cos2B-1’ 所以cosA=sinB 1+sinA cosB' 所以 cosAcosB=sinB+sinAsinB,所以cos(A+B)=sinB,所 以sinB=-cosC=-cos号-因为B∈(0，)， 所以B=。 (2)由(1)得cos(A+B)=sinB, 所以simB-(A+B=simB,且0<A+B< 所以 0<B<行0<-(A+B)<7所以-A+B)=B,解得A=-2B, 由正弦定理得 sin2Atsin2B sinAtsin2B sin2B)tsin2B cos2B+sin B (2cos B-1)coB c2 sin2C 1-cos2C 1-sin2B cos2B cos2B -0B2=4cos2B+6-522 cos2B B-5=4W2-5,当且仅当cos2B= 4c0s2B.2 时取等号，所以少的最小值为4W2-5. 2 10.(本小题14分) 已知△ABC的内角LA,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n= (sinB,sinA),p=(b-2,a-2). (1)若m/n,求证：△ABC为等腰三角形， (2)若m1p,边长c=2,∠C=,求△ABC的面积. 【答案】【解】(1)证明：因为mlm,所以asinA=bsinB, 即a·录=b·录其中R是△ABC的外接圆半径， 所以a=b. 所以△ABC为等腰三角形. 第5页，共6页 (2)由题意可知mp=0, 即ab-2)+b(a-2)=0. 所以a+b=ab, 由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0, 所以ab=4(舍去ab=-1), 所以S=absinC=;×4×sin=V3. 2 第6页，共6页