9.2 正弦定理与余弦定理的应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 1.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是（　　） A.30°　　　　　　　 B.45°　　　　　　　C.60°　　　　　　　D.75° 2.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（　　） A.10 m B.100 m C.20 m D.30 m 3.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，经过 h船实际航程为（　　） A.2 km B.6 km C.2 km D.8 km 4.如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长100 mm，曲柄CB长35 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为（结果保留整数）（参考数据：sin 53.2°≈0.8）（　　） A.17 mm B.18 mm C.19 mm D.20 mm 5.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（　　） A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 6.一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏东60°，距离为12海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的（　　） A.南偏东60°方向 B.南偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏西30°方向 7.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为　　　　尺. 8.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10 m（如图所示），则旗杆的高度为　　　　m. 9.如图，某城市有一条公路从正西方MO通过市中心O后转向东北方ON，为了缓解市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在MO，ON上分别设置两个出口A，B，若AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为　　　　　千米. 10.如图所示，一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20°方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海域为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？（≈1.414，sin 115°≈0.906，sin 20°≈0.342） 11.如图，一艘客船在A处测得灯塔D在它的南偏东15°方向，测得灯塔C在它的南偏东60°方向.该客船向正东方向行驶60 km后到达B处，此时客船测得灯塔D在它的南偏西45°方向，测得灯塔C在它的南偏西30°方向，则灯塔C与灯塔D之间的距离CD＝（　　） A.10 km B.30 km C.20 km D.30 km 12.〔多选〕一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的（　　） A.北偏东75° B.南偏东15° C.东北方向 D.东南方向 13.如图，某人在塔的底端B的正东方向上的C处，与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行1分钟后到达D处，在D处望见塔的底端B在东北方向上.已知沿途某点E处塔的仰角∠AEB＝α，且α的最大值为60°. （1）该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了几分钟？ （2）求塔高. 14.如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东　　　度，航行路程为　　　　海里. 15.某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形ABCD，经测量，边界CD＝BC＝12 m，∠A＝，∠C＝. （1）若AD的长为8 m，求AB的长； （2）现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设∠ADB＝α） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2　正弦定理与余弦定理的应用 1.B　AD2＝602＋202＝4 000，AC2＝602＋302＝4 500.在△CAD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝，故∠CAD＝45°.故选B. 2.D　如图，设炮台顶为A，底为D，两船为B，C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，∴BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos 30°＝900，∴BC＝30. 3.B　如图所示，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B. 4.B　在△ABC中，AB＝100，BC＝35，∠ACB＝53.2°，因为sin 53.2°≈0.8，所以cos 53.2°≈0.6.由余弦定理得：AB2＝CB2＋CA2－2CA·CB·cos 53.2°，所以1002＝352＋CA2－2CA×35×0.6⇒CA2－42CA－8 775＝0⇒CA＝117或CA＝－75（舍去）.因为135－117＝18，所以A0A＝18 mm.故选B. 5.A　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10海里. 6.D　如图，由题意，在△ABD中，B＝15°＋30°＝45°，AB＝12，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝＝＝24，所以AD＝24.在△ACD中，因为AC＝12，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°＝（12）2＋242－2×12×24×＝144，所以CD＝12，由正弦定理得＝，所以sin∠CDA＝＝.因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，故∠CDA＝60°，此时灯塔C位于渔船的北偏西30°方向. 7.4.55　 解析：设折断处离地面的高为x尺，由勾股定理得x2＋32＝（10－x）2，化简得20x＝91，解得x＝4.55. 8.30　 解析：如图所示，依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°，∴在△PBC中，由正弦定理，可知PB＝＝20（m），∴在Rt△POB中，OP＝PB×sin∠PBO＝20×＝30（m），即旗杆的高度为30 m. 9.40（＋1） 解析：如图所示，作OP⊥AB，垂足为P，则OP＝20，由题意知∠AOB＝135°.设∠BAO＝α，0°＜α＜45°，∠OBA＝45°－α.在△AOB中，由正弦定理得＝，可得AB＝·.在△POB中，OB＝，所以AB＝·＝＝＝＝.因为0°＜α＜45°，所以当α＝22.5°时，AB取得最小值40（＋1）. 10.解：在△ABS中，AB＝32.2×0.5＝16.1 n mile， ∠ABS＝115°， 根据正弦定理，得＝， AS＝＝AB×sin∠ABS×＝16.1×sin 115°×， S到直线AB的距离是d＝AS×sin 20°＝16.1×sin 115°××sin 20°≈7.06（n mile）＞6.5（n mile）. 所以这艘船可以继续沿正北方向航行. 11.A　由题意可知，∠DAC＝60°－15°＝45°，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝45°－30°＝15°，∠ABD＝45°，所以在△ABD中，∠DAB＝30°＋45°＝75°，∠ADB＝180°－75°－45°＝60°.因为sin 75°＝sin（45°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 45°·sin 30°＝，cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30°＝，由正弦定理可得＝，则＝，解得BD＝＝10＋30.在△ABC中，∠ACB＝180°－30°－60°＝90°，所以BC＝30.在△BDC中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos 15°＝（10＋30）2＋900－2×（10＋30）×30×＝1 500，所以CD＝10 km. 12.AB　画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×＝16（n mile）， ∴AB＝16 n mile. 又∵BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，∴＝， ∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°，当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B. 13.解：（1）依题意知在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝100米，D＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理得＝， 故BC＝＝＝＝＝50（－1）（米）. 在Rt△ABE中，tan α＝， ∵AB为定长， ∴当BE的长最小时，α取得最大值60°，此时BE⊥CD. 当BE⊥CD时，在Rt△BEC中， EC＝BCcos∠BCE＝50（－1）×＝25（3－）（米）. 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了t分钟. 则t＝＝＝（分钟），故走了分钟. （2）由（1）知当α取得最大值60°时，BE⊥CD. 在Rt△BEC中，BE＝BCsin∠BCE， ∴在Rt△ABE中，AB＝BEtan 60°＝BCsin∠BCE·tan 60°＝50（－1）××＝25（3－）（米）. ∴所求塔高为25（3－）米. 14.65　20（＋）　 解析：由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40， 根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC＝402＋（40）2－2×40×40×＝3 200＋1 600，∴AC＝20（＋）. 根据正弦定理得＝， 得sin∠CAB＝，又BC＜AC，∴∠CAB＝45°， ∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20（＋）海里. 15.解：（1）由题意可知△BCD为等边三角形，即CD＝BC＝BD＝12 m， 在△BAD中，利用余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD×ABcos， 即AB2＋8AB－80＝0，解得AB＝（4－4）m. （2）设∠ADB＝α，且0＜α＜， 则在△BAD中，利用正弦定理得＝＝， 即AB＝8sin α，AD＝8sin（ －α）， 则AB＋AD＝8sin α＋8sin（ －α）＝8sin α＋8（ cos α－sin α） ＝4sin α＋12cos α＝8sin（ α＋）. 因为0＜α＜，则＜α＋＜，结合正弦函数图象可知，＜sin（ α＋）≤1， 则AB＋AD∈（12，8]，故AB＋AD＋DC＋BC∈（36，8＋24]， 则所需要的篱笆的最大长度为（8＋24）m. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $