9.2 正弦定理与余弦定理的应用（专项训练）高一数学人教B版必修第四册

9.2 正弦定理与余弦定理的应用 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 正、余弦定理在几何关系中的应用 考点一：三角形的中线 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 【注意】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 推导过程：由， 则 所以 【注意】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 考点二：三角形的角分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 推导过程：在中，， 在中，，， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为， 所以， 所以 整理的：（角平分线长公式） 考点三：三角形的高线 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 考点四：多三角形问题 1、多三角形问题 多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形，试题重点考察学生对正余弦定理的掌握情况和转化与划归能力。 在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角（补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式结合，才能得到问题的解决。 2、求解多个三角形问题解题思路： （1）求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型 （2）第一步：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； 第二步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； 第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； 第四步：结合三角恒等变换公式进行化简。 【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点， 如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质， 要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 题型一：三角形中的中线问题 处理中线问题的三大技巧： 1、直接用中线定理：在中，是边上的中线，则. 2、向量法处理中线问题：由（核心技巧）得 3、邻角互补应用： 1．（2026高一·全国·专题练习）在中，为上的中线，，，，则________，________． 2．（河南开封市2026届高三第二次质量检测数学试卷）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求c的值； (2)若的面积为，D为BC的中点，求AD的长． 3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 4．（25-26高一下·山东青岛·月考）的内角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，边的中线长，求的周长. 题型二：三角形中的角分线问题 处理角分线的四大技巧： 1、利用角分线的性质； 2、利用角分线长定理； 3、利用面积法处理； 4、利用张角定理. 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 2．（2026高一下·全国·专题练习）中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 3．（25-26高一下·江苏无锡·开学考试）在中，在边上，平分，若，，且，则______． 4．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 题型三：三角形中的高线问题 处理高线问题的三大技巧： 1、利用正余弦定理计算 2、利用面积法处理； 3、利用射影定理. 1．（2026高一下·福建厦门·专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，. (1)求； (2)已知，是边的中点，且，求的长. 2．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 3．（25-26高三上·重庆·月考）在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求角； (2)若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 题型四：几何图形中计算 梳理条件和所求问题，寻求各三角形直角的内在联系，运用正弦定理、余弦定理进行解题. 1．（25-26高一下·上海·期中）勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为________. 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形.容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为平面凸四边形.图①，②给出了两个非平面凸四边形的例子.如图③，在平面凸四边形中，，设. (1)求和的取值范围； (2)求的取值范围； (3)试用表示的面积，并指出取何值时的面积最大. 3．（25-26高一下·江苏镇江·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段长为4百米，，都设计在以为直径的半圆上．设． (1)现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大，最大面积为多少； (2)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值（单位：百米）． 4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 5．（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 题型五：证明恒等式或不等式 运用正弦定理、余弦定理，结合几何图形的关系，即可证明. 1．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； (2)若，求证： 2．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最小值． 3．（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 考点02 正、余弦定理在实际生活中的应用 考点一：余弦定理 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 题型一：测量距离问题 测量距离问题就是平面几何问题，在平面几何中，找到相关的角度和边长，结合正弦定理或余弦定理，即可求解. 1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（   ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（   ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A．5 B．10 C．15 D．20 3．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 4．（25-26高一下·山东淄博·月考）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 5．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时． (1)求间距离； (2)该救援船到达D点需要多长时间？ 题型二：测量角度问题 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）某次测量中，点A在点B的北偏东，则点B在点A的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 3．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 4．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)． 题型三：测量高度问题 1、“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题； 2、“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 1．（25-26高一下·安徽安庆·月考）安庆振风塔，始建于1570年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有“万里长江第一塔”的美誉.如图，某同学测量振风塔高度时，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量点C，D，且在C，D两点测得塔顶A的仰角分别为63°，45°，在水平面上测得，，则该塔高为（   ）（参考数据：） A．88m B．72m C．60m D．54m 2．（25-26高一下·重庆江津·月考）重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）． A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山东菏泽·月考）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 5．（25-26高一下·上海浦东新·月考）10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（，表示当地的地平线）．设，，，地球的半径，则流星的高度约为______________（精确到）． 6．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 题型四：测量速度问题 先标点位再找角，正余弦应用求边长，路程除以时间即可得速度. 1．（23-24高一下·北京·月考）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（25-26高三上·重庆·月考）飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变. (1)求 的最大值； (2)若 米秒， 秒，求 . 1．（25-26高一下·山东青岛·月考）在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（   ） A．的最小值为 B． C．中线的长度为 D． 2．（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 3．（24-25高一下·海南·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 4．（2026高一下·上海·专题练习）如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向． (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 6．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，求． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，四个角A，B，C，D的度数的比为，求的长． 8．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 正、余弦定理在几何关系中的应用 考点一：三角形的中线 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 【注意】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 推导过程：由， 则 所以 【注意】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 考点二：三角形的角分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 推导过程：在中，， 在中，，， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为， 所以， 所以 整理的：（角平分线长公式） 考点三：三角形的高线 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 考点四：多三角形问题 1、多三角形问题 多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形，试题重点考察学生对正余弦定理的掌握情况和转化与划归能力。 在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角（补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式结合，才能得到问题的解决。 2、求解多个三角形问题解题思路： （1）求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型 （2）第一步：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； 第二步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； 第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； 第四步：结合三角恒等变换公式进行化简。 【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点， 如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质， 要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 题型一：三角形中的中线问题 处理中线问题的三大技巧： 1、直接用中线定理：在中，是边上的中线，则. 2、向量法处理中线问题：由（核心技巧）得 3、邻角互补应用： 1．（2026高一·全国·专题练习）在中，为上的中线，，，，则________，________． 【答案】 【分析】由已知在中，利用正弦定理可得，进而可求的值，在中，由余弦定理解得，可求，由余弦定理可得的值. 【详解】因为，，，所以在中， 由正弦定理可得：， 所以． 因为在中，由余弦定理，， 可得：，即：， 所以解得：或（舍去）， 所以,由余弦定理可得：, . 故答案为：①;②． 2．（河南开封市2026届高三第二次质量检测数学试卷）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求c的值； (2)若的面积为，D为BC的中点，求AD的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系求出，再根据正弦定理求出. （2）根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，在和分别计算，列出等式，将代入，即可解出. 【详解】（1）已知，故， 根据正弦定理可得.又，故，解得. （2）已知面积，由面积公式，代入，解得， 根据余弦定理得，解得， 因为为的中点，在中，在中， 3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理角化边求解得即可得答案； （2）由正弦定理边化角，结合内角和定理，三角恒等变换得，再结合的范围求解即可； （3）根据得，再结合余弦定理与基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理可得，整理得， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以． （2）解：由正弦定理，可得， 因为为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，，， 所以， 所以的取值范围是． （3）解：因为点为边上的中点，所以， 所以， 因为，， 所以，由余弦定理得， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以，即线段的最大值为． 4．（25-26高一下·山东青岛·月考）的内角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，边的中线长，求的周长. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理的变形边化角公式，同角关系式中的商式关系，两角和的正弦公式和诱导公式进行整理化简得到所求； （2）先在中利用余弦定理得到的值，再由的值和角的大小得到是等边三角形，从而得到的值，继而得到的周长. 【详解】（1），， ， ， ①， ，， ①转化为， ， ， ②， ，， ②转化为， ，，； （2）在中， ，，为的中点，， ， ，，， 在中，，，， 为等边三角形，，的周长为. 题型二：三角形中的角分线问题 处理角分线的四大技巧： 1、利用角分线的性质； 2、利用角分线长定理； 3、利用面积法处理； 4、利用张角定理. 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出和，最后由余弦定理计算a. 【详解】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 2．（2026高一下·全国·专题练习）中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 【答案】/ 【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长. 【详解】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 3．（25-26高一下·江苏无锡·开学考试）在中，在边上，平分，若，，且，则______． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由平分，所以，令，， 则， 在中，由正弦定理有：， 在中，由正弦定理有：， 所以，即， 在中，由余弦定理有：， 在中，由余弦定理有：， 又，所以，所以， 解得，所以，， 所以. 4．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简整理得到结论； （2）利用面积比可求得，根据，利用余弦定理可构造方程求得，进而得到结果； （3）利用正弦定理边化角，结合两角和差和二倍角公式进行化简，将问题转化为三角函数值域的问题，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得：， ，， ； ，，或， 即或（舍），； （2） 由（1）知：，又为的平分线， ，， ，， 设，则， ， ， 又， ， ， 解得：或（舍），即， ， ； （3），，， ， 为锐角三角形， ，解得：， ，，. 题型三：三角形中的高线问题 处理高线问题的三大技巧： 1、利用正余弦定理计算 2、利用面积法处理； 3、利用射影定理. 1．（2026高一下·福建厦门·专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，. (1)求； (2)已知，是边的中点，且，求的长. 【答案】(1)；(2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换整理可得，所以； （2）根据（1）中结论以及等面积法可得，再由余弦定理列方程计算求出各边长，利用勾股定理可得. 【详解】（1）由正弦定理可得， 所以由可得， 又因为，所以， 因此可得，即， 又，所以， 因此，又, 可得； （2）如下图所示： 由（1）中以及，可得， 因为是边的中点，所以， 即，可得， 由余弦定理可得 又已知，所以， 所以， 可得 即的长为. 2．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 【答案】(1)①  ②；(2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）第①小问用两次余弦定理即可，第②小问直接用面积公式即可. （2）设，用表示各边，再对用余弦定理即可. 【详解】（1）①，，即 由余弦定理得， 代入得：， 化简得：，解得. ②设四边形的面积为，， . （2）如下图，过点作垂线交于，设， ， 四边形是矩形，， 对用勾股定理得：， 对用勾股定理得：， 对用余弦定理得：， 即，化简得 两边平方得：， 再化简得：， 解得或4，，或2， 又是锐角三角形，， 即，得，. 3．（25-26高三上·重庆·月考）在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求角； (2)若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】(1)；(2)(i) ；(ii) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、几何图形中的计算、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得. （2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得. (ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果. 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. （2）(i)∵，∴， ∴，∴，∴. ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 题型四：几何图形中计算 梳理条件和所求问题，寻求各三角形直角的内在联系，运用正弦定理、余弦定理进行解题. 1．（25-26高一下·上海·期中）勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为________. 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【详解】因为正三角形的边长为4，所以任意一个扇形的面积为， 又因为是正三角形，易得高， 则， 所以勒洛三角形的面积. 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形.容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为平面凸四边形.图①，②给出了两个非平面凸四边形的例子.如图③，在平面凸四边形中，，设. (1)求和的取值范围； (2)求的取值范围； (3)试用表示的面积，并指出取何值时的面积最大. 【答案】(1)；；(2)； (3)，当时，的面积最大. 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）根据为直角三角形，，，可得，再由凸四边形的定义可求得的范围；根据三角形三边关系及余弦定理可求得的取值范围； （2）结合（1）利用余弦定理求解即可； （3）在中，利用正弦和余弦定理，分别求得，，利用三角形的面积公式、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可知为直角三角形，且，，则， 由凸四边形的定义可知，即，即， 所以； 在中，因为， 由三角形的三边关系可得，即，即； 设，在中，由余弦定理，， 由，可得， 即，解得， 即， （2）在中，由余弦定理，可得， 因为，所以， 即 （3）因为为直角三角形，且，所以， 又因为，所以， 在中，由余弦定理，可得，即， 所以； 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 所以， 所以 ， 又因，则当，即时，， 此时，满足题意， 所以，当时，的面积最大. 3．（25-26高一下·江苏镇江·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段长为4百米，，都设计在以为直径的半圆上．设． (1)现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大，最大面积为多少； (2)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值（单位：百米）． 【答案】(1)当时，郁金香种植面积最大，最大面积为 (2)当时，栈道的总长最长，的最大值为6百米. 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值； （2）利用余弦定理求得关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解. 【详解】（1）∵线段长为4百米，所以圆的半径为2百米，即， 当时，由三角形的面积公式得： ， ，， ，当，即时取等号， 即当时，郁金香种植面积最大，最大面积为. （2）因为，所以，， 由余弦定理得：，， ， 令，∵，∴， ， ，即时，的最大值为6. 故当时，栈道的总长最长，的最大值为6百米. 4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 又， 所以 （2）在中，由正弦定理知，， 所以 ， 若为锐角三角形， 则, 解得， 所以，， 所以， 所以的面积， 故的面积的取值范围为. （3）因为四边形的内角和为， 所以， 设，则， 又， 在中，由正弦定理知，， 即， 在中，由正弦定理知，， 即， 两式作商得，， 又， 则， 整理得，即， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，， 而， 所以． 5．（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 【答案】(1)6；(2) 【知识点】基本（均值）不等式的应用、几何图形中的计算、正弦定理解三角形 【分析】（1）如图，作，设，由题设及正弦定理可得，据此可得答案； （2）设，其中，可得，，由基本不等式知识可得最小值，据此可得答案. 【详解】（1）如图，作，设，则. 因，则，又， 则，.又，则. 又，则. 由正弦定理：， 得： ，则； （2）设，其中 . 则，， ，令， 则， ，当且仅当时取等号. 则此时最小，从而最大. 题型五：证明恒等式或不等式 运用正弦定理、余弦定理，结合几何图形的关系，即可证明. 1．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； (2)若，求证： 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)证明见解析 【知识点】证明三角形中的恒等式或不等式、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）①先根据表示出三角形的面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；②先利用作差法证明，并求出取等号的条件，再结合即可得证； （2）方法一：根据（1）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证；方法二：在和中，分别利用正弦定理即可得证； 【详解】（1）①若，则 ， 所以． 在中，分别应用余弦定理，得 三式相加并整理，得， 即，所以； ②在中，由余弦定理可得， 则 ， 当且仅当且时取等号， 因为，所以， 所以，所以， 即当且仅当且时，即当且仅当为等边三角形时，， 又由①知， 所以为等边三角形； （2）方法一：由（1）得， 所以． 又， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得，故得证． 方法二：因为，所以， ，在中，， 即，在中，， 即，所以， 即，所以即. 2．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最小值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、证明三角形中的恒等式或不等式、用定义求向量的数量积、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）由，结合向量数量积运算律即可求解； （2）由正弦定理可得，，利用三角恒等变换化简即可证明： （3）由（2）可知，根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解. 【详解】（1）因为，由题意可知， 所以 ； （2）设，在中， 由正弦定理可得，即， 在中，，即， 所以等式左边， 等式右边 因为， 所以， 即成立； （3）由（2）可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 3．（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    同理在中，②， BD是的角平分线，则，则， 故得， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 考点02 正、余弦定理在实际生活中的应用 考点一：余弦定理 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 题型一：测量距离问题 测量距离问题就是平面几何问题，在平面几何中，找到相关的角度和边长，结合正弦定理或余弦定理，即可求解. 1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】由条件结合内角和公式求，，在，中，分别利用正弦定理求，在中，利用余弦定理求. 【详解】因为， 所以， ， ， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得 ，则． 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（   ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】距离测量问题 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此； 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值： ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 3．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出. 【详解】在中，， 因为，所以米， 又因为，所以， 根据正弦定理：，即， 又因为，所以. 4．（25-26高一下·山东淄博·月考）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】在中， ， 根据正弦定理，代入，，， 得，解得. 在中，，，， 所以，且， 根据余弦定理，在中，， 代入得， 因此. 故答案为：. 5．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时． (1)求间距离； (2)该救援船到达D点需要多长时间？ 【答案】(1)海里；(2)小时 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【详解】（1）在中，海里，， 由正弦定理，得，即， ，即. （2）如图，连接．在中，，，． 由余弦定理，得， ，． 故救援船到达点需要的时间为小时． 题型二：测量角度问题 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）某次测量中，点A在点B的北偏东，则点B在点A的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】D 【知识点】角度测量问题 【分析】根据方向角的定义，点A在点B的北偏东55°，则点B在点A的南偏西55°． 【详解】由题意，点A在点B的北偏东55°方向，即从点B看，点A位于正北方向顺时针旋转55°． 那么从点A看，点B位于正南方向顺时针旋转55°，即南偏西55°． 故选：D． 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南 偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 3．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【答案】/ 【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得， 解得或（舍去）， 故.由正弦定理得， 解得 4．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)． 【答案】救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟 【知识点】角度测量问题、距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上（在D点）故障船，可得，，先结合余弦定理求得，再利用正弦定理计算得到B点在C点的正东方向上，进而再利用正弦定理得到，可得救援船沿北偏东的方向行驶，进而得到，即可求解. 【详解】设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上（在D点）故障船，则，， 在中，由余弦定理，得 ，即， 由正弦定理得，， 则， 又，则，所以B点在C点的正东方向上， 则， 在中，由正弦定理，得， 所以， 又，则， 所以救援船沿北偏东的方向行驶． 在中，，，则，即， 则，即小时，则（分钟）， 所以救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟． 题型三：测量高度问题 1、“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题； 2、“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 1．（25-26高一下·安徽安庆·月考）安庆振风塔，始建于1570年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有“万里长江第一塔”的美誉.如图，某同学测量振风塔高度时，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量点C，D，且在C，D两点测得塔顶A的仰角分别为63°，45°，在水平面上测得，，则该塔高为（   ）（参考数据：） A．88m B．72m C．60m D．54m 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】设，用表示，然后应用余弦定理求解. 【详解】设，在中，，，则， 在中，，则. 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去负值）， 所以该塔高为72m. 2．（25-26高一下·重庆江津·月考）重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】设，通过仰角分别得到，再通过，结合余弦定理代入数据求解即可. 【详解】设木铎钟总高 ，因为 水平面， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：，​ 又，即 ， 是 中点， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则， 即，又， 得， 化简可得： ， 代入各表达式： ，​ 化简计算： ， 因此木铎金声钟的高约为 . 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】作出辅助线，，求出各角，在和中，利用正弦定理得到方程，求出，，，从而得到答案. 【详解】过点作垂线，交于点，过点作垂线，交于点， 如图所示， 在中，，则， 由正弦定理得，即， 由点测得点的仰角为，故， 与的差为，故， 在中，， 由正弦定理得，即， 其中 ， ， 所以，解得， 故， ， 又， 故 m， 又，解得， 由点测得点的仰角为，故， 在中，，则， 可得、两点到水平面的高度差m． 故选：B 4．（25-26高一下·山东菏泽·月考）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、高度测量问题 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 5．（25-26高一下·上海浦东新·月考）10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（，表示当地的地平线）．设，，，地球的半径，则流星的高度约为______________（精确到）． 【答案】 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理，结合三角函数恒等变换求解即可. 【详解】已知弧长，地球的半径，设圆心角为， 则， 仰角，是视线与地平线的夹角，而地平线垂直于地球半径， 视线与半径的夹角分别为， ， 设为流星的高度，则地心到流星的距离， 在中，①， 在中，②， 且③， 设，由①可得， 由②可得， 由③可得， ，， ， ，化简得，解得， ，解得． 6．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 【答案】(1)10米；(2)米. 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、距离测量问题、高度测量问题 【详解】（1），，， 则是以为顶点，底角为的等腰三角形，米， 在中，，由正弦定理得：， 代入数据得：米. 点到建筑物的距离是10米. （2）在中，由正弦定理得： 代入数据得：米. 米， 旗杆的高度为米. 题型四：测量速度问题 先标点位再找角，正余弦应用求边长，路程除以时间即可得速度. 1．（23-24高一下·北京·月考）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【知识点】正、余弦定理的其他应用、余弦定理解三角形 【分析】先根据已知条件得到和的长,在利用已知条件和余弦定理求出的长即可得到结果. 【详解】连接,如图: 由已知条件得:, 因为甲船的速度是每小时海里, 所以, 则是等边三角形, 所以, 因为当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处, 所以, 则, 即, 所以乙船航行的速度是海里/小时, 即乙船每小时航行海里. 故选:D. 2．（25-26高三上·重庆·月考）飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变. (1)求 的最大值； (2)若 米秒， 秒，求 . 【答案】(1)；(2)米秒 【知识点】正、余弦定理的其他应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理列式可得，当时，有最大值，计算即可求解； （2）由余弦定理求得米，根据计算可解. 【详解】（1）由题意可得， 在中，由正弦定理可得， 即，化简可得， 因为， 所以当，即时，取最大值为； （2）若 米秒， 秒，则米， 由余弦定理可得，， 解得米， 因为，所以米秒. 1．（25-26高一下·山东青岛·月考）在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（   ） A．的最小值为 B． C．中线的长度为 D． 【答案】ABD 【知识点】基本不等式求和的最小值、证明三角形中的恒等式或不等式、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用基本不等式即可判定A，利用余弦定理得，进而利用三角恒等变换和正弦定理和余弦定理即可判定B，利用向量和数量积即可判定C，利用B选项结合基本不等式即可判定D. 【详解】对于A：由，即， 当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：由余弦定理有：，解得， 由 ， 由正弦定理得：， 又由余弦定理得， 所以 ，故B正确； 对于C：由，所以 ，所以，故C错误； 对于D：由选项B有①， 又，所以， 又②， 由①②有：，又由选项A有，且为锐角， 所以，所以， 所以，又为锐角三角形，所以， 所以， 所以，当时，等号成立，故D正确. 2．（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数、几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，由正弦定理求出大小正三角形的面积，即可求得的值；然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果. 【详解】由，设，则，， 如图 由题可知：， 在中，由余弦定理可得， 即，则， 可得小三角形面积，大三角形面积， 所以； 因为， 在中，由正弦定理可得， 且为锐角，则，可知， 可得，， 若，则，解得， 所以. 3．（24-25高一下·海南·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)；；(2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、正弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）由的图象，求得，得到，得到，再由，即，求得，即可函数的解析式及对称中心； （2）由，求得，由正弦定理得，得到，化简得到的周长为，结合为锐角三角形，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得， 可得，所以，所以， 又由，即， 解得，即， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 令，可得， 所以的对称中心为. （2）解：因为，可得，即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，由正弦定理可得，则， 所以的周长为 因为，可得， 所以， 因为为锐角三角形，可得，可得，可得， 则，可得， 所以的周长为. 4．（2026高一下·上海·专题练习）如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向． (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 【答案】(1)千米；(2)千米 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】（1）在直角三角形中先算出边BC，再在扇形用利用勾股定理求出所在圆的半径，然后用弧长公式计算； （2）先算出点D到AB的距离DH，比较DH与DC的大小，其中较小的即公路桥DE的最短长度. 【详解】（1）在中，， ． 由所在圆的半径为，得的长度为千米． （2）在中，． 在中，由正弦定理，得， 于是，可得，． 过作的垂线，垂足为，在Rt△中，． 因为，且到上任意一点的距离均大于等于， 所以到海岸线的最短距离为千米． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 【答案】(1)快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中． (2)快艇应以垂直的方向向北偏东行驶． (3)4h． 【知识点】正、余弦定理的其他应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）画图分析，设后与汽车在C处相遇，再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程，再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系，再利用二次不等式的最值分析即可. （2）根据（1）中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系，进而求得时间即可. （3）设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，同（1）中的方法求得三角形各边的关系分析即可. 【详解】（1）如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中. （2）由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°. （3）如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或， 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，求． 【答案】 【知识点】图形的性质、几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】利用平行四边形的性质结合已知条件得出相关边、角关系，利用折叠的性质结合已知条件得出三角形全等，最后利用余弦定理构造方程求解． 【详解】已知在平行四边形中，，，， ，，， 三角形沿翻折得到三角形，交于， ，， ，，， ， ，设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，即． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，四个角A，B，C，D的度数的比为，求的长． 【答案】 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】先由四边形的四个角的度数比及内角和可得四个角的值，再通过连构造两个三角形，在中由余弦定理可得，进而在中用正弦定理可得所求边的值. 【详解】设四个角A，B，C，D的度数分别为，，，， 则由四边形的内角和定理有，解得， 所以，，，． 连接，在中，如图： 由余弦定理得， 所以，此时， 所以为直角三角形，，， 所以在中，，， 所以由正弦定理得， 所以的长度为． 8．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $