9.1 正弦定理与余弦定理 限时作业十-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦正余弦定理应用，以限时训练构建从基础到综合的知识逻辑链，强化推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4单选|边边角关系直接应用|概念生成：正余弦定理基本变形| |综合判断|2多选|多解/高/面积综合辨析|原理推导：定理适用条件与几何性质| |拓展计算|2填空|面积公式/四边形转化|应用拓展：定理在非三角形情境迁移| |综合解答|2解答|外接圆半径与面积综合|逻辑链条：从已知条件到多量求解的推理过程|

2026年高一数学正余弦定理的应用限时作业十 （人教版B版必修四第九章） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】，， 即，． 又，，解得，． ． 2.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则  (     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】在中，，则，即，即，故，又，故，故选 B． 3.若，则  (     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】 法一因为，所以，整理得，所以，即，所以． 法二故选D． 4.的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】在中，由，，， 则， 故选D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在中，，，，则下列说法正确的是(     ) A. 有两解 B. 边上的高为 C. 的长度为 D. 的面积为 【答案】BC  【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用． 利用正弦定理可判断，根据边上的高为可判断，由余弦定理可判断利用三角形面积公式即可判断． 【解答】 解：由正弦定理得，， 由，所以，所以只有一解，故A错误 边上的高为，故B正确； 由余弦定理可知， 代入，的值整理可得，解得负值舍去， 所以的长度为，故C正确； ，故D错误． 故选BC． 6.在中，，，，则(     ) A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查正、余弦定理，考查二倍角公式以及三角形面积公式，属于中档题． 由题意得，由余弦定理可判定，；根据三角形的面积公式判定；根据正弦定理可得外接圆直径判定． 【解答】 解：，，A正确； 又，， 由余弦定理，， ，故B正确； 且为三角形内角，， 则的面积为，故C错误； 根据正弦定理其中表示外接圆的半径得，， 即外接圆的直径为，故D正确； 故选：． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知的面积为，则__________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化． 利用面积公式求得的值，利用余弦定理求得的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应边的比值，从而求得答案． 【解答】 解：，    ，解得， 所以， ， 由正弦定理知：， ， 故答案为：． 8.如图，在四边形中，，，，，，则的面积           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了正弦、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用问题，属于中档题． 由已知可求的值，根据正弦定理即可解得的值，利用余弦定理求得的值，再计算的面积． 【解答】 解：中，因为，， 所以， 根据正弦定理得，， 代入，，解得； 在中，根据余弦定理得 ， 又，所以； 所以的面积为 ． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知中，角，，所对的边分别为，，，，且． 求外接圆的半径； 若，求的面积． 【答案】解：依题意， 由正弦定理化简得， 即，， 整理得整理得， 所以， 因为，所以， 故所求外接圆半径 因为，，， 所以由余弦定理， 得， 解得或舍， 则．  【解析】本题主要考查三角函数的和角公式、以及正、余弦定理等知识，考查了运算求解能力及化归与转化能力，属于中档题． 利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得，结合余弦定理，可求即可得角的值及外接圆半径． 利用余弦定理，，求解值，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 10.本小题分 在中，以，，分别为内角，，的对边，且C. 求 若，，求的面积． 【答案】解：． 由正弦定理可得：． 由余弦定理可得：， ， ． ，，， 由余弦定理， 可得：， 可得：，解得：，负值舍去， 的面积 ．  【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 由已知利用正弦定理可得：，由余弦定理可得：，结合范围，可求． 由已知利用余弦定理得，解得的值，利用三角形面积公式即可计算得解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学正余弦定理的应用限时作业十 (人教版B版必修四第九章) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2-b2=ab,C=5则m的 sinB 值为( A时 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】b2=cb+2c),b2-bc-2c2=0, 即(b+c)·(b-2c)=0,b=2c. 又a=V6,cosA-2-3解得c=2,b=4 2be Sac=bsinA=×4x2×、1-(P- 2在△ABC中，内角A,BC的对边分别为a,b,c,且c-等则A=()y A.8 B c.等 D 【答案】B 【解折】在△ABC中，-二则号-三即a+b0-a)=c0-Q以.即2+e2- =be,放coA--?又AE0,,故A-景故选B. 2bc 第1页，共7页 3.若sin(c+B)sin(a-B)=子则cos2c-cos2B=（) A日 B-月 C.3 D.- 【答案】D 【解析】（法一）因为sin(a+B)sin(a-B)=子所以sin2ccos2B-cos2asin2B=子整理得 1-cos20cos2B-cosa1-cosB)=3所以cos3B-cos2a=7即2Ha_1s2- 2 所以c0s2a-cos2B=- (法二)cos2a-cos2β=cos[(a+β)+(c-β)]-cos[(a+β)-(a-β)]=-2sin(a+ B)sin(a-B)=-2×=-)故选D. 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,c=V3,B=则△ABC 的面积为( A B C.V3 D.☒ 【答案】D 【解析】在△ABC中，由a=l,c=√3，B= 则SAARC=acsinB-×1×V3x-厚 4 故选D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在△ABC中，B=,b=2W3,c=3,则下列说法正确的是( ) A.C有两解 B.BC边上的高为N5 2 C.BC的长度为V3 2 D.△ABC的面积为N±9 4 【答案】BC 【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用. 利用正弦定理可判断A,根据BC边上的高为c-sinB可判断B,由余弦定理可判断C;利 用三角形面积公式即可判断D. 第2页，共7页 【解答】 解：由正弦定理得，sinC=smB_3x望 3 b 由b>c,所以B>C,所以C只有一解，故A错误； BC边上的高为esin B=3x号-，故B正确： 2 由余弦定理可知cos=4e2-= 2ac=2 代入b,c的值整理可得a2-3a-3=0,解得a=3(负值舍去)， 2 所以BC的长度为T,故C正确： SAAN3×Tsin号=75，故D错误。 2 故选BC. 6,在△ABC中，sim- 5 ,BC=1,AC=5,则( A.cosc B.AB=2V5 C.△ABC的面积为 D.△ABC外接圆的直径是y5 【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查正、余弦定理，考查二倍角公式以及三角形面积公式，属于中档题. 由题意得cosC,由余弦定理可判定A,B;根据三角形的面积公式判定C;根据正弦定 理可得外接圆直径判定D. 【解答】 解：：sim=写coC=1-2sin29-1-2×(5-A正确： 又BC=1,AC=5, 由余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=52+12-2×5×1×=20, AB=2V⑤，故B正确： :cosC=组C为三角形内角，“sinC=√1-cos2C=手 则△ABC的面积为S△ABc=BC-AC.sinC=;×1×5×=2,故C错误： 第3页，共7页 根据正弦定理=2（其中R表示外接圆的半径）得，2R=25=5, sinC 2 即△ABC外接圆的直径为，故D正确： 故选：ABD, 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知AABC的面积为2V3,AB=2,∠B=7则m- sinC 【答案】√3 【解析】【分析】 本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转 化 利用面积公式求得的值，利用余弦定理求得b的值，进而利用正弦定理得到角的正弦 的比值等于对应边的比值，从而求得答案. 【解答】 解：AB=2=c, S.Ac-acsinB=×a×2×95-2V3,解得a=4, 所以b2=a2+c2-2 accosB=16+4-2×4×2×号=12， b=2V3, 由正弦定理知：血B=b, sin Cc' sinc 故答案为：V5. &.如图，在四边形ABCD中，AB=8,BC=3,CD=5,∠A=F,cos-ADB=则 △BCD的面积 第4页，共7页 【答案】5 【解析】【分析】 本题主要考查了正弦、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用问题，属于中档题. 由已知可求sinADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值，利用余弦定理求得∠C的 值，再计算△BCD的面积. 【解答】 解：△ABD中，因为cos∠ADB=克LADB∈(O,T), 所以sin-ADB-1-(P=9, 根据正弦定理得，D= AB sinA sinADB' 代入AB=8,LA=行解得BD=7: 在△BCD中，根据余弦定理得 C0S∠C=BC2+CD2-BD2-32+52-7=-5, 2BC-CD 2×3×5 又∠C∈(0，m),所以∠C=2 3 所以△BCD的面积为 SABCD=BC:CD:sinC=-×3x5×sin=lsy9, 3 4 故答案为：5 4 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,a=√I3,且sinAcosC+eosAsinC= c+b-a sinC+sinA a-b (I)求△ABC外接圆的半径； (2)若c=3,求△ABC的面积. 【答案】解：(1)依题意sinAcoC+cosAsinC=sinC+simA c+b-a a-b 由正弦定理化简得mA+9=b-a, sinC+sinA a-b 即b=b-a,b=c-1, c+a-a-b’c+aa-b 第5页，共7页 整理得整理得b2+c2-a2=-bc, 所以cosA=b2+e2-a2」 1 2be 2 因为0<A<,所以A= 31 故所求外接圆半径r=。=丽； 2sinA V3 3 (2)因为a=V13,c=3,A=2, 3 所以由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 得13=B2+9-2×3×b×c0s号 解得b=1或b=-4(舍)， 则SAARC=-bcsinA=x1×3×'-35 2 4 【解析】本题主要考查三角函数的和角公式、以及正、余弦定理等知识，考查了运算求 解能力及化归与转化能力，属于中档题 (1)利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得2+ 心2-=-bc,结合余弦定理，可求cosA=-一即可得角A的值及外接圆半径 2bc r. (2)利用余弦定理，a2=b2+c2-2 bccosA,求解b值，进而利用三角形面积公式即可计算 得解. 10.(本小题14分) 在△ABC中，以a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. (1)求A; (2)若a=3,b=2,求△ABC的面积， 【答案】解：(1)'sin2A=sinB+sin2C+sinBsinC. 由正弦定理可得：a2=b2+c2+bc 由余弦定理可得：c0A-“-杂一 2bc2bc :A∈(0，π)， A= 第6页，共7页 (2a=3,b=2,A=号 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 可得：9=4+c2-2×2×c×c0s5, 可得：c2+2c-5=0,解得：c=V6-1,(负值舍去)， :△ABC的面积S=,besinA =×2×W6-1)×sin晋-5 2 【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题. (①)油已知利用正弦定理可得：a2=b2+c2+bc,由余弦定理可得：cosA=-?结合范围 AE(0,m),可求A= (2)由己知利用余弦定理得c2+2c-5=0,解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得 解 第7页，共7页2026年高一数学正余弦定理限时作业十 (人教版B版必修四第九章) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2-b2=ab,C=子则A的 sinB 值为() A时 B.1 C.2 D.3 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-二 sinC 则A=() A.g B c.号 D. 3.若sin(a+B)sin(a-B)=则cos2a-cos2B=( ) A月 B.- c D-月 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=l,c=V3,B=则△ABC 的面积为( A B c号 D. 第1页，共4页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在△ABC中，B=b=2V3,c=3,则下列说法正确的是() A.C有两解 B.BC边上的高为9 C.BC的长度为23 2 D.△ABC的面积为3N2±9 4 6在△ABC中，Sim-5BC=1,AC=5,则() A.cosC=3 B.AB=2v5 5 C.△ABC的面积为 D.△ABC外接圆的直径是 2 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7已知△ABC的面积为23，AB=2,∠B=导则器- 8.如图，在四边形ABCD中，AB=8,BC=3,CD=5,∠A=,Cos-ADB=则 △BCD的面积· 第2页，共4页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=√T3,且sinAcosC+cosAsinC= c+b-a sinC+sinA a-b (I)求△ABC外接圆的半径： (2)若c=3,求△ABC的面积. 第3页，共4页 10.(本小题14分) 在△ABC中，以a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且 sin2A sin2B+sin2C+sinBsinC. (1)求A; (2)若a=3,b=2,求△ABC的面积. 第4页，共4页2026年高一数学正余弦定理限时作业十 (人教版B版必修四第九章) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题) 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2-b2=ab,C=号，则避的 值为) A克 B.1 C.2 D.3 2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且n触=三，则A=() sinC A.晋 B.晋 C. D. 3.若si(a+)sin(a-)=是，则cos2a-cos2B=() A. B.- C. D.- 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,c=V5,B=晋，则△ABC的 面积为( ) A B是 c D 第1页，共1页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在△ABC中，B=号，b=23,c=3,则下列说法正确的是() A.C有两解 B.BC边上的高为3 2 C.BC的长度为②I+超 2 D.△ABC的面积为32I型 4 6在△ABC中，S=号，BC=,AC=5,则() A.cosC=青 B.AB=2/5 C.△ABC的面积为 D.△ABC外接圆的直径是5 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知△ABC的面积为23，AB=2,∠B=晋，则是= 8.如图，在四边形ABCD中，AB=8,BC=3,CD=5,∠A=号，CoS/ADB=号，则 △BCD的面积_· 第1页，共1页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=√13，且 inAcosC+cosAsinC sinCtsinA ctb-a a-b (1)求△ABC外接圆的半径： (2)若c=3,求△ABC的面积. 第1页，共1页 10.(本小题14分) 在△ABC中，以a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且sn2A=sinB+siC+sinBsin C (1)求A: (2)若a=3,b=2,求△ABC的面积. 第1页，共1页