四川省射洪中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

射洪中学高2025级高一下期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数的虚部为（ ） A． B．0 C．1 D．6 2．已知向量，若，则实数（ ） A．1 B． C． D． 3．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A． B． C． D． 4．在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ） ①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 7．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 8．如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知复数，，则（ ） A．是纯虚数 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 10．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（ ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D． 11．在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若△ABC中，，那么cosC=___________． 13．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是___________． 14．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知向量，． （1）求； （2）求． 16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E，F分别是PD和BC的中点，求证：EF∥平面PAB； （2）若PB∥平面AEC，求证：E是PD的中点． 17．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 18．如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 19．已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，的面积为，求，； （3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围． 数学试题参考答案 考试时间：120分钟 满分：150分 1．C 2．C 3．A 4．B 5．B 6．A 7．B 8．A 9．AC 10．ACD 11．BCD 12．-0.25． 13.且 14. 8．在正四面体中，设棱长为，高为为正四面体内切球的球心，延长交底面于是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为 11．BCD 【详解】对于A，因为，所以，所以， 又，即， 则，又，所以， 解得，又，故，故A错误； 对于B，因为外接圆的半径为2， 所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，结合，解得， 由，即， 解得，故D正确 15．【解析】（1）因为， 所以， 所以， （2）． 16．【答案】证明：（1）如图，取的中点，连接，， 在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且， 又因为底面为平行四边形，为的中点， 所以，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以EF//， 因为EF平面PAB，BGC平面PAB，所以EF//平面PAB． （2）如图，连接，交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以PB//EH， 在中，为的中点，所以为的中点． 17．【解析】（1）略 （2）由（1）知平面，所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，为的中点， 所以． 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为． 18．【解析】（1）由分别为的中点，则， 由图可得，则， 所以． （2）由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得． （3）由图可得， ， ， 由，则． 19、【解析】（1）因为， 由正弦定理知可得， 而， ， 即，又， ，即， 又，则 ，则． （2）由（1）及题设可得，即， 将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故． （3）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以 所以 ， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，则， 所以， 所以中线的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $