精品解析：四川自贡市第一中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

自贡一中2025-2026学年度下学期高一年级期中考试 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上，试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于空间几何体的说法，错误的是（ ） A. 棱柱的侧棱都互相平行且相等 B. 正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D. 圆柱的侧面展开图是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】A：根据棱柱的定义，其侧棱互相平行且相等，对； B：根据正棱锥的定义，其底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心，对； C：由棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面截去上面的小棱锥得到，即各侧棱的延长线交于一点， 如上图，上下底面是两个全等的矩形，且相互平行，上底的长与下底的宽对应平行，四个侧面都是等腰梯形， 此时四条侧棱所在直线不交于同一点，故仅通过两个面互相平行，其余各面都是梯形不能保证侧棱延长交于一点，错， D：圆柱侧面展开图，即沿一条母线展开侧面为矩形，对. 2. 若复数z满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. -i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，再求共轭复数，即可判断其虚部. 【详解】由， 故，所以的虚部为1． 故选：A． 3. 利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，原三角形的面积， 所以其直观图的面积. 4. 已知，则（ ） A. B. 13 C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得的坐标，进而可求模. 【详解】因为，所以， 所以 故选：D. 5. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 6. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米. 故选：A 7. 已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（ ） A. 12π B. 16π C. 48π D. 9π 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为，根据题意，求得，得到，即球的半径为，结合球的表面公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，解得， 又因为圆锥的高为，可得，解得， 即圆锥的底面圆的半径为，母线长为，即球的半径为， 所以球的表面积为. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值． 【详解】由正弦定理得： 由余弦定理得：，即 当且仅当时，即，，时取等号， , 则，所以面积的最大值. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以故C正确； 对于D，在上的投影向量为.故D不正确. 故选：BC. 10. 已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（ ） A. 正四棱台的高为 B. 正四棱台的斜高为 C. 正四棱台的表面积为 D. 正四棱台的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正四棱台的结构特征可知其高即为对角面的等腰梯形的高，斜高即为侧面等腰梯形的高，由上下底长度和腰长可确定AB正误；根据棱台表面积和体积的求法可确定CD正误. 【详解】对于A，正四棱台上下底面对角线长为， 正四棱台的高，A错误； 对于B，正四棱台的斜高，B正确； 对于C，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为， 正四棱台的表面积，C正确； 对于D，正四棱台的体积，D正确. 故选：BCD. 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据条件求出；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解，利用跟的判别式求得的取值范围；选项C：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边的范围；选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求得内切圆半径，从而求的面积. 【详解】对于A，由可得，即， 因为，所以，且，所以，故A正确； 对于B，根据余弦定理可得，，即， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解， 因为， 所以或 解得或，因为，所以或，故B错误； 对于C，由正弦定理可得， ，即, 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以. 因为，所以. 由正弦定理可得，，即，即， 所以，即， 因为，所以，又因为，所以为锐角，则. 所以，所以为直角三角形， 所以内切圆的半径满足，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 13. 已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______． 【答案】## 【解析】 【详解】由正弦定理， ， 代入得： ， 由余弦定理得， ， ． 14. 已知 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由三角形面积关系得到，再利用基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，由题意得：， 可得：， 由基本不等式，可得，解得． 当且仅当时取等号，即当时，的最小值为4. 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中. （1）若z是纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析出若是纯虚数，需满足实部为0且虚部不为0，据此列出方程组，计算即可求出m的值； （2）分析出若z在复平面内对应的点位于第二象限，需满足实部小于0且虚部大于0，据此列出不等式组，计算即可求出m的取值范围. 【小问1详解】 若z是纯虚数，则需满足， 由解得或， 由解得且， 综上，实数m的值为； 【小问2详解】 若z在复平面内对应的点位于第二象限，则需满足①， 由解得， 由解得或， 所以不等式组①的解为， 即实数m的取值范围为. 16. 已知平面向量、，，，且． （1）求、的夹角； （2）若与（）垂直，求的值． 【答案】（1）60°； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题设条件和向量数量积的运算律求得，再由向量数量积的定义即可求得其夹角； （2）由与（）垂直，可得，利用（1）的结论代入求解即得的值. 【小问1详解】 由，可得， 则，所以， 又因， 则，因，故、的夹角为60°； 【小问2详解】 由（1）可得：，， 因为与（）垂直，所以， 整理得到， 将，，代入上式可得：， 解得． 17. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 【答案】（1）表面积，体积 （2）， （3）当时，. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算即可得出关系式； （3）先写出全面积公式再结合二次函数得出最大值. 【小问1详解】 由，，得， 所以，， 故 ， ； 【小问2详解】 由相似可得，得，； 【小问3详解】 记圆柱得全面积为S， ， ∵，∴当时，. 18. 在中，. （1）求的值； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值； （3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围. 【小问1详解】 因为在三角形中，由射影定理代入， 得，即，因为，所以. 【小问2详解】 在三角形中，由（1）知， 由余弦定理得， 又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以周长. 因此周长的最小值为. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，， 所以，解得. 又由正弦定理得，所以， ， 因为，所以，因此. 所以面积. 19. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换求解；（3）解法一：设BC中点为D，推导出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函数单调性求出AD的取值范围，从而求出的取值范围；解法二：由余弦定理和数量积运算法则求出，换元后利用三角恒等变换得到，求出答案. 【小问1详解】 由余弦定理 结合可知，△ABC的面积 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理， 所以，① 由于， 带入①式可知： 【小问3详解】 解法1： 设BC中点为D，则 所以 如下图所示， 设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故 设，则，由余弦定理： 由于函数在时单调递减，， 所以 解法2： 由余弦定理② 由定义 所以 设， 则 由正弦定理： 其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知 注意到， 所以 所以，②式变形为，故 从而， 此时函数单调递减，而， 所以 【点睛】向量相关的取值范围问题，考查面较广，可以和很多知识相结合，基本不等式，函数值域，解三角形，三角函数等，需要对知识熟练掌握且灵活运用，本题的第三问难度较大，需要用到极化恒等式，三角函数恒等变换等知识，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡一中2025-2026学年度下学期高一年级期中考试 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上，试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于空间几何体的说法，错误的是（ ） A. 棱柱的侧棱都互相平行且相等 B. 正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D. 圆柱的侧面展开图是矩形 2. 若复数z满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. -i 3. 利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. 13 C. 14 D. 5. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（ ） A. 12π B. 16π C. 48π D. 9π 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（ ） A. 正四棱台的高为 B. 正四棱台的斜高为 C. 正四棱台的表面积为 D. 正四棱台的体积为 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 13. 已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______． 14. 已知 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中. （1）若z是纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 16. 已知平面向量、，，，且． （1）求、的夹角； （2）若与（）垂直，求的值． 17. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 18. 在中，. （1）求的值； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $