精品解析：天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年下学期高一期中检测数学试卷

天津市南开中学滨海生态城学校2925-2026学年（下）高一级部期中检测数学学科试卷 注意事项： 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 第I卷 本卷共12题，每题5分，共60分．在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 已知直线与平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. ，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 相交或平行 D. 无法判断 5. 在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 6. 在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 8. 中国雕刻技艺举世闻名，今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ） A. B. C. 6 D. 9. 如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与容器高度的比值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（ ） A. 4 B. C. D. 12. 如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（ ） ①平面；②；③平面；④与相交 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 本卷共12题，共90分． 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13. 若复数，则___________ 14. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 15. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 16. 已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为________． 18. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 20. 已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 三、解答题（共4小题，共50分） 21. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 22. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm，高为20cm，圆锥母线为10cm． （1）计算该模型的体积. （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？ 23. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 24. 如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求五面体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学滨海生态城学校2925-2026学年（下）高一级部期中检测数学学科试卷 注意事项： 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 第I卷 本卷共12题，每题5分，共60分．在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，所以复数的虚部是. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 3. 已知直线与平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量可判断ABD，利用条件可说明或可判断C. 【详解】因为 ，所以直线  的方向向量与平面  的法向量平行， 因为 ，所以直线  的方向向量与平面  的法向量垂直， 因此， 的方向向量与  的方向向量的数量积为零，即 ，故A正确； 因为 且  ，所以 ， 又因为 ，平行平面具有相同的法向量方向，因此 ，故B正确； 若 ，则或，故C错误； 因为  且 ，所以， 又 ，因此  同时垂直于  和 ， 两个平面有相同的法向量方向，故 ，故D正确. 故选：C 4. ，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 相交或平行 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【详解】因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 5. 在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系将转化为，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断角，即可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由正弦定理角化边得，即， 故．因为，所以是钝角，即是钝角三角形． 6. 在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，运用向量的加减数乘运算，将用向量表示即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，则点G为 的三等分点， 即， 则． 故选：C. 7. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】将，代入， 得：， 在中，点B、C、D三点共线， 根据三点共线的向量性质得：，即：， 所以， 当且仅当，即：，时等号成立，此时最小值为2. 8. 中国雕刻技艺举世闻名，今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球时，正四面体棱长最长，正四面体补成正方体，即可得解． 【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大， 则该球半径，如图： 设正四面体的棱长为， 则正方体的棱长为， 则该正方体的体对角线长为，解得， 故选：A 9. 如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与容器高度的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆柱和球的体积公式，根据水的体积不变可得答案. 【详解】设圆柱部分的高度为h，底面半径为r，因为轴截面是正方形，所以. 容器总高度. 圆柱体积，半球体积. 水的高度是容器高度的一半，即，水的体积为. 容器倒置后水先填满半球（体积），剩余体积为， 剩余体积在圆柱中的高度为，倒置后水的总高度为， 水的高度与容器高度的比值为. 故选：B 10. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为，如图所示： 当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则. ，. 圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则， 所以. 11. 在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定轨迹，进而求出其长度. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接， 连接，由，得四边形是平行四边形， 则，又，平面，平面， 因此平面，平面，又平面，， 则平面平面，而侧面，平面，于是平面， 则点在侧面上的轨迹为线段，又， 所以点在侧面上的轨迹长度为. 12. 如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（ ） ①平面；②；③平面；④与相交 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断①；若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾②；根据线面垂直判定定理证明结论即可判断③；证明，，由此即可判断④. 【详解】对于①，取的中点D，连接，在中，由P为的中点， 得，且，在直三棱柱中，， 由Q为棱的中点，得，且，则， 四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，则平面，①正确， 对于②，为的中点，若，则，连接，为的中点， 则，又平面，则平面，平面， 于是，设，则，， ，与矛盾，因此不成立，②错误； 对于③，在直三棱柱中，平面，又平面，则， 由，D为中点，得，由①知，则，， 又，平面，因此平面，③正确； 对于④，由为的中点，四边形为矩形，得点为的中点，又为的中点， 则，又分别为的中点，则， 即，因此四边形为平行四边形，与相交，④正确. 第Ⅱ卷 本卷共12题，共90分． 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13. 若复数，则___________ 【答案】 【解析】 【详解】复数， 所以. 方法二： . 14. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据斜二测画法，还原成平面图形，计算面积即可. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 故答案为：9 15. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得且向量不共线，即可求解. 【详解】因为，，则， 又与的夹角为锐角，则，所以，解得， 当时，有，得到，此时，， 同向共线，，故不合题意， 所以实数的取值范围是. 16. 已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及投影向量的意义求解. 【详解】由，得，而向量是单位向量，则， 由，得，所以在上的投影向量为. 故答案为： 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】使用余弦定理求的值，再使用三角形面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得，所以， 解得（舍去），所以， 故. 18. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先求出正四棱台的高，再代入棱台体积公式计算即可得到结果。 【详解】由题意知正四棱台的上底面为边长的正方形，面积；下底面为边长的正方形，面积， 其对角面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形，如图所示，其中，，， 侧棱长、棱台的高、上下底面中心到对应顶点的距离之差构成直角三角形， 由勾股定理得：， 代入棱台体积公式， 即. 19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】如图，把几何体补全为长方体，则， ， 由对称性，可得该包装盒的容积为 . 20. 已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算可用、表示，再利用、、三点共线即可得；利用平面向量夹角公式可得，再借助模长与数量积关系，结合基本不等式计算即可得的最小值. 【详解】，则， 故， 由、、三点共线，可得，解得； 则， 由，则， 故， 则，故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 三、解答题（共4小题，共50分） 21. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可求的值. （2）根据（1）的结论，先求的值，再利用正弦定理可求的值. （3）利用二倍角公式和两角和的余弦公式化简求值. 【小问1详解】 由题可知，， 可得， 由余弦定理， 可得. 【小问2详解】 由题， 由正弦定理得， 因为，所以，即， 由（1），所以， 得. 【小问3详解】 由（1）可知，所以为钝角，为锐角， 所以， 因为，， 所以. 22. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm，高为20cm，圆锥母线为10cm． （1）计算该模型的体积. （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？ 【答案】（1） （2）（元）. 【解析】 【分析】（1）首先求圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解； （2）首先求组合体的表面积，再求总费用. 【小问1详解】 设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为36π， 圆锥侧面积为． ， 故总费用为（元）. 23. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明：由于分别为棱的中点，故， 又平面，且平面， 所以平面； （2）证明：由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面， 故平面， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理，得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求五面体的体积． 【答案】（1） 由正方形，得，又平面，平面， 则平面，又平面平面，平面， 所以. （2） 取的中点，连接，由为的中点，，得， 而，则，又，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， 又，为的中点，即四边形是梯形，是平面内两条相交直线， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）取的中点，利用线面垂直的判定、性质证得平面，再利用面面垂直的判定推理即得. （3）利用锥体、柱体的体积公式分别求出四棱锥和三棱柱的体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过作，交分别于，由为的中点，为的中点， 得，又， 由（2）知平面，则四棱锥的体积， 又，则四边形都是平行四边形， 于是，而平面，平面，则平面， 同理平面，又平面，因此平面面， 从而五面体为三棱柱，在三棱柱中，， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 三棱柱的体积， 所以五面体的体积. 【点睛】思路点睛：求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $