精品解析：广东潮州市潮安区2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025—2026学年度八年级下学期期中综合评估 数学 下册第十九~二十一章 说明：共23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是二次根式，则m的值不能为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式中被开方数必须为非负数，判断选项中不符合条件的的值即可． 【详解】解：根据题意得， 对选项逐一判断： A、，，符合条件； B、 ，，符合条件； C、，，不符合条件； D、，，符合条件． ∴的值不能为，故选C． 2. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵在中，， ∴， 故选：B． 3. 如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（ ） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 4. 图1所示的图形在数学中占有重要地位，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是 （ ） A. 勾股定理 B. 平行线的判定定理 C. 平行线的性质定理 D. 三角形内角和定理 【答案】A 【解析】 【分析】利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理． 【详解】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理， ∴利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理． 5. 如图，利用几个全等的直角三角尺（含角）拼摆成如下的四边形，其中不是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 故四边形是平行四边形； 故A符合要求； 根据题意，得， 故四边形是菱形； 故B不符合要求； 根据题意，得，且， 故， 故， 故， 故四边形是菱形； 故C不符合要求； 根据题意，得， 故四边形是菱形； 故D不符合要求； 6. 若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是（ ） A. 十二边形 B. 十一边形 C. 十边形 D. 九边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形对角线的公式． 从n边形的一个顶点出发的对角线条数为，据此求解即可． 【详解】解：∵ 从n边形的一个顶点出发可画出条对角线， ∴， ∴， ∴ 这个多边形是十一边形， 故选：B． 7. 如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与相交于点O，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形对角线相等且互相平分求出的长，再根据等腰三角形底边的定义得出即可求解． 【详解】解：矩形的对角线与相交于点O，， ， 线段为等腰的底边， ． 8. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果． 【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M， ∵，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴中，． 9. 如图，在中，，．过点C作，且，连接，称为第1次操作；过点作，且，连接，称为第2次操作；过点作，且，连接，称为第3次操作；……，则第2026次操作后，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理，计算，确定其中的规律，求解即可； 【详解】解：因为，． 所以， 因为，且， 故， 因为，且， 故， 因为，且， 故， ……， 故， 则第2026次操作后，的长为 10. 如图，在平行四边形中，，且，，经过中点O分别交、于点 M、N，，连接、，则下列结论错误的是（　　） A. 四边形为平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 四边形可以为正方形 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断A，根据等积法求出斜边上的高是，则此时，那么即可判断B，根据斜边上中线的性质得到，那么由一组邻边相等的平行四边形是菱形判断C，通过计算说理得到 ，即可判断D． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵经过中点O， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴当时，为的中点， ∴， ∴，即是菱形，故选项C正确，不符合题意； 设斜边上的高是h， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故B正确，不符合题意； ∴由上知，四边形是矩形 ∴此时， ∴， ∴四边形不可能为正方形，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 正六边形的外角和为______． 【答案】##360度 【解析】 【详解】解：正六边形的外角和为． 12. 某学校要在图书馆的角落上搭建一个三角形绿植装饰架．如图，在中，M，N分别是的中点，劳动实践小组测得的长度为，则装饰架底边的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质求解． 【详解】解： M，N分别是的中点， 是的中位线， ， ． 13. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可列出不等式组求出的值，代入原式求出的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴． 14. 如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【解析】 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 15. 如图，直线的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，得出，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质可得，，， ∴， ∴， ， 由勾股定理得， 令正方形A，B，C的边长分别为， 则， ∵正方形A的面积比正方形C的面积小6， ∴， ∴， 解得， ∴， 即正方形A的面积为4． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】49 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出长度，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，最后利用面积公式求解． 【详解】解：如图，连接． 根据勾股定理，得． ，， ， 为直角三角形，且， ． 18. 如图，，是四边形的对角线上的两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质可知，，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 在和中， ∴ ∴, ∴四边形是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，连接，，，若． （1）求证：． （2）求线段的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求得，再根据线段的和差关系即可证明； （2）根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：正方形的边长为4， ∴， ∵ ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：根据勾股定理可得． 20. 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．已知电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，其中R是地球半径，． （1）已知广州塔的高度约，求广州塔发射节目信号的传播半径．（） （2）记电视塔A的高度为，电视塔B的高度为，求电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意代入求解即可； （2）根据题意列出，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足， ∴当时，， ∵， （m）， 则广州塔发射节目信号的传播半径为， 【小问2详解】 解：电视塔A的高度为，电视塔B的高度为， 则，， 则电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比为：． 21. 如图，在五边形中，，平分，平分． （1）若，求的度数． （2）若，，求平行线与之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可知，再根据五边形的内角和可得，再根据角平分线的定义求得，再根据四边形的内角和即可求解； （2）根据在直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴, 在五边形中， ∴, ∵平分，平分， ∴, , 【小问2详解】 解：过点作, ∴, ∵，， ∴, ∴, ∴, 则平行线与之间的距离为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的3倍，那么我们称此三角形为“三倍平方三角形”． （1）若一个三角形的三边长分别是3，，3，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由． （2）若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2，求该直角三角形的另外两条边长． 【答案】（1）这个三角形是“三倍平方三角形” （2）该直角三角形的另外两条边长分别为和 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，判定求解即可． （2）根据定义，分类求解． 【小问1详解】 解：这个三角形是“三倍平方三角形”，理由如下： 根据题意，得， 故，符合定义， 故这个三角形是“三倍平方三角形”； 【小问2详解】 解：设这个直角三角形的另一条直角边长为x，则斜边长为， 因为直角三角形是“三倍平方三角形”， 当， 故， 解得，，负的舍去； 当， 故， 解得，，负的舍去； 当不成立， 故直角三角形的两条直角边都是2，此时斜边长为 23. 综合与实践 如图，在菱形中，，对角线的交点为O，P是对角线上一动点，点E在的延长线上，且． 特例研究 （1）如图1，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．（填“”“”或“”） 类比探究 （2）如图2，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）如图3，菱形的边长为8，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， 在上截取，连接，如图2， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）15或9． 【解析】 【分析】（1）利用菱形性质得，，，，推出是等边三角形；结合P与O重合、，得到等腰，算出底角，利用等角对等边可证； （2）先由菱形和条件，判定为等边三角形；用截长补短法在上截取，构造等边；利用等量代换证出两组边相等、两角都是，用SAS证三角形全等，推出； （3）先由菱形边长8、，得等边，求出；截取线段构造等边，造出等角和相等线段；然后分N在延长线上、N在线段上两种情况；利用角的和差找相等角，证全等，求出，再算出结果． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ，点与点重合， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：四边形是菱形，边长为，， 是等边三角形， ， 是中点， ， 在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ①如图，点在线段的延长线上，如图， ，点在延长线上， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 如图，点在线段上，如图， 菱形边长为，是等边三角形， ， ，点在线段上， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 综上可知，线段的长为15或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $