精品解析：贵州毕节市金沙县2025-2026学年高二下学期期中素养测评数学试题

金沙县2026年春季学期期中素养测评 高二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则等于（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 2. 直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ） A. B. C. D. 3. 焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（ ） A. 长轴为4 B. 短轴为2 C. 焦距为 D. 离心率 4. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 30 B. 32 C. 35 D. 40 5. 已知函数为奇函数，当时， ，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（ ） A. 20 B. C. D. 120 7. 过点M作直线和直线的垂线，垂足分别为点A，B，当点A，B分别在第一象限与第二象限，点在两直线夹成的上方区域内，且时，则点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数 ，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与直线是异面直线 10. 已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. ，，成等差数列 11. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为36种 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线上到焦点的距离是的点的坐标为：______． 13. 设函数，则______． 14. 的展开式中，项的系数为 （用数字作答） 四、解答题：共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，，O，E分别是AC与的中点． （1）证明：平面； （2）求平面ABCD与平面所成角（锐角）的大小． 17. 已知直线（），圆 ． （1）当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； （2）圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性． 19. 我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． （1）求和的值． （2）计算的近似值，保留到小数点后位． （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金沙县2026年春季学期期中素养测评 高二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则等于（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】，故选项D正确. 2. 直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 3. 焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（ ） A. 长轴为4 B. 短轴为2 C. 焦距为 D. 离心率 【答案】D 【解析】 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 4. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 30 B. 32 C. 35 D. 40 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，因为，所以， 又，所以， 因为，即，解得， 所以， 所以. 5. 已知函数为奇函数，当时， ，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义，推导出时的表达式，通过导数求解切线斜率，再结合点斜式求切线方程. 【详解】设，则，则 因为是奇函数，满足， 所以 当时，即切点为 对求导得，切线斜率 由点斜式得切线方程，整理得. 6. 6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（ ） A. 20 B. C. D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答. 【详解】依题意，每位同学都有3种选法，所以不同的选法种数是. 故选：B 7. 过点M作直线和直线的垂线，垂足分别为点A，B，当点A，B分别在第一象限与第二象限，点在两直线夹成的上方区域内，且时，则点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设．点到直线，即的距离为， 点到直线，即的距离为， 由，得 因为点在两直线夹角的上方区域内，所以 因此 于是，整理得 又由可知该轨迹为上支，故 所以点的轨迹方程为 8. 设函数 ，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】 ， ， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与直线是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 点， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，点到直线的距离为，B正确； 对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确； 对于D，，即，又直线， 因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误. 10. 已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. ，，成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，求得公比q，进而确定通项公式，再逐项判断即可. 【详解】由题意知，， 由，可得， 所以，A正确； 所以，B正确； 所以， 令，显然该方程无整数解，所以不是数列中的项，故C错误； 由，得，，所以是等差数列，D正确； 11. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为36种 【答案】BC 【解析】 【分析】根据全排列即可求解A，根据甲的位置，即可结合分步乘法计数原理求解B，根据相邻问题捆绑法即可求解C，根据第一位是男生还是女生两种情况，即可结合排列求解D. 【详解】对于A，所有的排法共有种，故A错误， 对于B，甲可以排在头或者尾，有2种选择，剩下5个人全排列，故共有种，故B正确， 对于C，将甲乙看作一个整体，与剩下4个人全排列，故共有种，C正确， 对于D，女生第一位，有种方法，男生第一位，有种方法，故共有种方法，故D错误， 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线上到焦点的距离是的点的坐标为：______． 【答案】和 【解析】 【详解】∵ 抛物线的标准形式，其焦点坐标为，准线方程为. 设所求点坐标为，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， ∴ 点到准线的距离为，即，解得. 将代入抛物线方程，得， 可得，即所求点的坐标为和. 13. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对函数两边求导，再把代入，从而计算出，再求出函数表达式，最后求出. 【详解】先对函数求导可得 ， 令，则 ， 所以，， 故. 14. 的展开式中，项的系数为 （用数字作答） 【答案】5 【解析】 【分析】利用二项式定理解答． 【详解】在的展开式中，含的项是 所以项的系数为 【点睛】本题主要考查二项式定理，考查分类讨论思想，考查的核心素养是数学运算，逻辑推理． 四、解答题：共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助等比中项性质求出等差数列公差以确定通项公式. （2）通过分组求和法分别计算对应等比、等差数列的前项和，合并得到最终结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， 可得，，. 由，，成等比数列， 可得， 代入得 ， 展开整理得， 解得. 因此，. 【小问2详解】 由（1）得， 数列为等比数列，其前项和为， 数列为等差数列，其前项和为， 因此. 16. 在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，，O，E分别是AC与的中点． （1）证明：平面； （2）求平面ABCD与平面所成角（锐角）的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）45° 【解析】 【分析】（1）连接BD，由O是BD的中点，E是的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）根据侧棱垂直于底面ABCD，四边形ABCD是正方形，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设是平面的一个法向量，易知是平面ABCD的一个法向量，由求解. 【小问1详解】 证明：如图所示： 连接BD，易知BD与AC交于O，且O是BD的中点， 又E是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为侧棱垂直于底面ABCD，AB，平面ABCD， 则，，又四边形ABCD是正方形，所以． 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为， 所以，，， 则，， 设是平面的一个法向量， 则，令，得． 易知是平面ABCD的一个法向量， 所以， 则平面ABCD与平面所成角（锐角）的大小为45°． 17. 已知直线（），圆 ． （1）当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； （2）圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 【答案】（1）直线与圆相离，圆上点到直线距离最小值为，最大值为； （2） 【解析】 【分析】（1）将圆方程化为标准式确定圆心、半径，利用点到直线距离公式判定位置关系并求解距离最值. （2）根据圆上恰有两个点到直线的距离为列不等式，由此求得的范围. 【小问1详解】 将圆的方程配方化为标准形式， 可得圆心，半径. 当时，直线整理为， 圆心到直线的距离， 因为，因此，直线与圆相离. 圆上点到直线距离的最小值为， 最大值为. 【小问2详解】 直线整理为，圆心到直线的距离，由得. 圆上恰有两个点到直线距离为，因此，， 代入得，， 解得，所以的取值范围是. 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出的解，再由极值的定义即可求解； （2）根据条件得到，再对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【小问1详解】 当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 19. 我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． （1）求和的值． （2）计算的近似值，保留到小数点后位． （3）求的值． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据广义组合数公式代入即可求解； （2）根据，代入广义二项式定理的展开式即可求解； （3）分析式子特征，考虑的展开式中，的系数即可求解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 【小问3详解】 根据已知条件所给式子， 考虑的展开式中，的系数． 左式为，的系数为， 右式中的系数为， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $