精品解析：贵州省毕节市金沙县第五中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023-2024学年金沙县第五中学高二（下）期中数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点分别在圆与圆上，则两点之间的最短距离为 A B. C. D. 5. 在等比数列中，，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为，则椭圆C的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题，其中正确命题的个数有（ ） ①有一大批产品，已知次品率为，从中任取件，必有件次品； ②做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此正面出现的概率是； ③若事件为随机事件，则； ④若，则，是对立事件． A. B. C. D. 8. 已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共6小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ） A. 已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得 B. 若向量，共线，则点，，，必在同一直线上 C. 若点为的重心，则 D. 若且，则 10. 已知曲线，则（ ） A. 若，，则曲线C表示椭圆 B. 若，则曲线C表示双曲线 C. 若，，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为 D. 若，，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率 11. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 12. 已知，则下列函数的最小值为2的有 A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在等差数列{an}中，a3，a8是方程x2-3x-5=0的两个根，则a1+a10=____. 14. 已知向量，（，），若，则最小值为______. 15. 过点与曲线相切的直线方程为______． 16. 在边长为2的正方体中，为棱的中点，则二面角的正切值是______. 四、解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上，并解答. 在中，内角，，的对边分别为，，，　　　. （1）求角； （2）若，，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 设等差数列的公差不为，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值. 19. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 20. 已知两定点，动点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求的面积． 21. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年金沙县第五中学高二（下）期中数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求得，进而可得. 【详解】， ， . 故选：A． 2. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：由，，解得， 所以， 集合， 因为，所以，解得． 故选：C． 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】在中，， 由，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知点分别在圆与圆上，则两点之间的最短距离为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆心距可判断出两圆相离；从而可知最短距离为圆心距与半径和的差值. 【详解】两圆心之间的距离为： 两圆相离 两点之间的最短距离为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解距离的最值问题，关键是明确两圆相离的情况下，两圆上点距离的最小值为圆心距与半径和的差值. 5. 在等比数列中，，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式列式求出，可得，再根据对数知识可得，最后根据等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，. ∵，即，∴.又，∴. ∴， ∴. ∴数列的前项和为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据等比数列的通项公式求解是解题关键. 6. 已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为，则椭圆C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设所以，两式相减化简即得解. 【详解】解：设 所以，两式相减得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 7. 下列命题，其中正确命题的个数有（ ） ①有一大批产品，已知次品率为，从中任取件，必有件次品； ②做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此正面出现的概率是； ③若事件为随机事件，则； ④若，则，是对立事件． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用次品率的意义判断①；利用频率、概率的意义判断②；利用概率的性质，结合互斥、对立判断③④. 【详解】对于①，次品率为，从中任取件，不一定有件次品，①错误； 对于②，做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此正面出现的频率是， 若是质地均匀的硬币，正面出现的概率是，②错误； 对于③，若事件为随机事件，则，③正确； 对于④，由及， 得，则事件互斥，又，因此对立，④正确， 所以正确命题的个数为2. 故选：C 8. 已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意不等式成立转化为，利用导数求最值解不等式即可. 【详解】由于，， ，， ，，即，在上单调递增， 由任意的，都有成立， 所以，即， ， ，又，得， 则实数的取值范围为， 故选：D． 二、多选题：本题共6小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ） A. 已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得 B. 若向量，共线，则点，，，必在同一直线上 C. 若点为的重心，则 D. 若且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由平面向量共线定理判断；对于B，举例判断；对于C，由三角形重心的性质判断；对于D，举例判断 【详解】解：对于A，由平面向量共线定理可知是正确的，所以A正确； 对于B，如图在平行四边形中，，共线，但点，，，不共线，所以B错误； 对于C，延长交于，因为点为的重心，所以,，所以，所以C正确； 对于D，当时，， 但不一定相等，所以D错误， 故选：BD 10. 已知曲线，则（ ） A. 若，，则曲线C表示椭圆 B. 若，则曲线C表示双曲线 C. 若，，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为 D. 若，，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率 【答案】BC 【解析】 【分析】利用曲线的方程逐项分析即得. 【详解】对于A，若，，当时，则曲线C表示圆，故A错误； 对于B，若，当时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，当时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，所以若，则曲线C表示双曲线，故B正确； 对于C，若，，则，， 所以曲线C表示双曲线，方程为， 令，得，即，故其渐近线方程为，故C正确； 对于D，若，，则曲线C方程为，即， 因为，所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可． 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确； 由，知， 因为，所以，所以，，即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确． 故选：ACD． 12. 已知，则下列函数的最小值为2的有 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式或函数单调性分别求函数的最小值，确定选项. 【详解】因为，所以（当且仅当时取等号）； 因为函数在递增，所以； 因为函数在递增，所以； 因为，所以（当且仅当取等号），故选ACD. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性应用，考查计算能力属于中档题. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在等差数列{an}中，a3，a8是方程x2-3x-5=0两个根，则a1+a10=____. 【答案】3 【解析】 【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论. 【详解】a3，a8是方程x2-3x-5=0的两个根， {an}是等差数列， ， 故答案为：3. 14. 已知向量，（，），若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 分析】 根据，然后可得，然后使用基本不等式简单计算可得结果. 【详解】由，所以，即 当且仅当，即时，取等号 所以的最小值为： 故答案为： 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及基本不等式的应用，考查计算,属基础题. 15. 过点与曲线相切的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程. 【详解】设切点坐标为，，. 则切线方程为，因为在切线上， 所以，即 又，所以， 令，，当时，， 所以在上单调递增， 所以方程只有唯一解. 即切点坐标为，故所求切线方程为，即. 故答案为： 16. 在边长为2的正方体中，为棱的中点，则二面角的正切值是______. 【答案】 【解析】 【分析】作于连接，可证明，就是二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果. 【详解】 作于，可得， 连接， 因为平面，所以，平面，平面， 又因为，所以平面， 因为平面，所以， 就是二面角的平面角， . 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. 在中，内角，，对边分别为，，，　　　. （1）求角； （2）若，，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角； （2）利用余弦定理求出，代入三角形面积公式即可． 【详解】（1）若选①： 由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 解得， 因为，所以. 若选②： 由正弦定理得， 即， 即， 因为，所以，所以， 所以. （2）由余弦定理得， 得， 即，解得， 则的面积， 故的面积为. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题． 18. 设等差数列的公差不为，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项； （2）运用等差数列的求和公式，再由二次不等式的解法，即可得到所求最小值. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以，即 ， 解得，或（舍去）， 所以的通项公式为； 所以 【小问2详解】 解：因为， 所以， 依题意有，解得， 使成立的的最小值为8. 19. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论； （2）取中点，结合面面垂直的性质可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，根据线面角的向量求法可构造方程求得的值；由面面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 取中点，连接， 分别为中点，，， ，，又， ，，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. 【小问2详解】 取中点，连接， ，，四边形为平行四边形， 又，，即； 为等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面； 则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ，解得：，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 20. 已知两定点，动点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义即可求P的轨迹方程； (2)在中利用余弦定理和椭圆定义即可求出，再根据三角形面积公式求其面积. 【小问1详解】 依题意知， ∴P点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且． 故所求点的轨迹方程为； 【小问2详解】 设，则． 在中，由余弦定理得， ， 解得． ． 21. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，分和进行讨论即可得解； （2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 依题意，， 当时，显然，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，； 即在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由题意得恒成立，等价于恒成立， 令，即时成立． 则，当时，，当时，， 那么在上单调递增，在上单调递增减，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$