精品解析：湖南衡阳市祁东县育贤中学2026年上学期初三年级数学科期中试题

2026年上期育贤中学初三年级数学科期中试题 总分： 120 分 时量： 120分钟 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中记载了用标杆测量太阳高度的方法．若规定标杆露出地面4尺记作尺，则标杆埋入地下3尺记作( ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，利用正负数表示具有相反意义的量进行求解即可． 【详解】解：∵规定标杆露出地面4尺记作尺，即露出地面为正方向 ∴埋入地下与露出地面是相反意义的量 ∴标杆埋入地下3尺记作尺 故选：D． 2. 活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题思路是先将带“万”单位的数化为普通整数，再根据科学记数法的定义改写，科学记数法的形式为，要求，n为整数． 【详解】解：∵， ∴将33700000写成（）的形式为． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：．根据平面直角坐标系中点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴点在第四象限， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同类项的概念及合并同类项的法则，解题的关键在于熟练掌握运算法则．根据合并同类项的法则逐项进行判断即可． 【详解】解：合并同类项的法则是同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，且只有同类项才能合并， 对各选项分析如下： A选项：，故A错误，故不符合题意； B选项：与所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B错误，故不符合题意； C选项：，故C错误，故不符合题意； D选项：与是同类项，，故D正确，故符合题意． 故选：D． 5. 如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：过作，过作， ∵，，，， ，， ， ， ，即， ． 6. 如图（1），区间测速是通过计算车辆通过两个相邻监控点的时间，来检测其在该路段平均速度的方法．如图（2），在限速区间内，满足安全驾驶且在限速范围的条件下，汽车的平均行驶速度是行驶时间的反比例函数．当时，汽车通过该限速区间的时间可能是（ ） A. B. C. 0.24h D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，关键是先根据图象确定反比例函数解析式，再结合速度范围求解时间范围． 【详解】解：设速度与时间的函数关系式为． 由图象可知，当时，，代入得：， 故函数解析式为， 则当时，；当时，． 因此当时，时间的范围是， 在四个选项中只有B选项满足． 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以△， 解得， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 8. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 分别与相切于点C，D， ∴， ， ∴， 的长， ∴瞬间与空竹接触的细绳的长为， 故选：C． 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 9. 将分别标有“惟”、“楚”、“有”、“才”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率．根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的结果有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率为， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由图象得 ，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知； 【详解】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，， 对称轴，，，故①错误； 故②错误； 抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时， ∴，得，故③正确； 由，，知， ∵，为方程的两个根， ∴ ∴，故④正确； 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，则射击成绩较稳定的是________(填“甲”或“乙”)． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断数据的稳定性，解题的关键是掌握方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴乙的射击成绩较稳定， 故答案为：乙． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意且， 解得：， 故答案为：． 13. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：． 14. 关于的方程无解，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，先求出方程的解，再根据方程无解可知分式方程的分母为，求出的值，再代入方程的解计算即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， ∴， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 16. 如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵的横坐标依次为， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方， 则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先算平方差公式，立方根，以及特殊三角函数值，再计算即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 19. 为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 【答案】（1）50；72 （2）统计图见解析，成绩的中位数落在良好等级 （3）14240元 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数等等： （1）用良好等级的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，再用360度乘以合格等级的人数占比即可得到答案； （2）先求出优秀等级的人数，再补全统计图，最后根据中位数的定义求解即可； （3）分别求出学校优秀和良好的人数，然后分别计算出对应奖品的费用，求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴本次抽查的学生人数是50人， ∴， 故答案为：50；72； 【小问2详解】 解：等级为优秀的人数有人， 补全统计图如下： 把这50名学生成绩从低到高排列，处在第25名和第26名的乘积都在良好这一等级， ∴成绩的中位数落在良好等级； 【小问3详解】 解：元， ∴估计该校用于本次竞赛的奖品费用为14240元． 20. 在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． （1）求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； （2）该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 【答案】（1）甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨 （2）新建乙种技术沼气池至少4个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，根据等量关系列分式方程解答即可； （2）设新建甲种技术沼气池共个，则新建乙种技术沼气池共个，根据不等式关系列出一元一次不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，则， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨． 【小问2详解】 设新建乙种技术沼气池共个，则新建甲种技术沼气池共个， ，． ，． 综上可知，． 答：新建乙种技术沼气池至少4个． 21. 如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，因为是的直径，所以，由，，得，而，则，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，由，得，求得，所以的半径长为4． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ， 解得， 的半径长为4． 22. 2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．． （1）求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）； （2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】（1） （2）在规定范围内，理由见解析 【解析】 【分析】（1）作于E，则,由条件可知根据，计算即可； （2）作于E，则,适当解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图，作于E，则,由条件可知， ∴ 由题意可得：， ， ∴； 答：的长度约为． 【小问2详解】 解：在规定范围内，理由如下： 如图，作于E，则， 由（1）可得：， ∴， ， ∴ ∴此时手绢端点C与舞者距离为， ∵安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 23. 阅读短文，解决问题． 若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形”．例如：如图，在平行四边形中，与重合，点在上，则称平行四边形为的“相依四边形”． （1）如图，平行四边形为的“相依四边形”，平分，判断四边形的形状，并进行证明． （2）在（1）的条件下，如图，． ①若，，求四边形的周长； ②如图，分别是的中点，连接，若，求的值． 【答案】（1）四边形为菱形，证明过程见详解 （2）①四边形的周长为； ② 【解析】 【分析】本题利用新定义考查直角三角形性质及菱形的性质与判定，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，熟练应用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． （1）已知四边形是平行四边形，根据平分，可得，，即可证明四边形为菱形． （2）设由，，得，即，列方程求解即可求出四边形的周长为；②过作交于可得，，根据分别是的中点，可得为的中点，即可得，从而得到，． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， 平分 四边形为菱形． 【小问2详解】 ①由（1）可知四边形为菱形， 设， ， ，， ． ． ， 解得 四边形的周长为； ②过作交于，如图： ，， 四边形是平行四边形， ， 分别是的中点， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过坐标原点和点，顶点为点． （1）求抛物线的函数关系式及点的坐标； （2）点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于 时，求点的坐标； （3）将直线向下平移，得到过点 的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系? 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出、坐标，再根据抛物经过原点得到，由此利用待定系数法求出抛物线解析式，然后求出顶点坐标即可； （2）如图1，过点作轴交于点，设点的坐标为，则点，然后根据进行求解即可； （3）设直线与轴交于点先求出直线的解析式为，从而得到点，点，，即可求出再求出，即可得到，则． 【小问1详解】 解：对于，令，解得，令，则， 故点、的坐标分别为、， 抛物线经过坐标原点，故， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为； 则抛物线的对称轴为，当时， 则点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于点， 设点的坐标为，则点， ， 解得或 ， 故点的坐标为或； 【小问3详解】 解：设直线与轴交于点 直线向下平移后过点 直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 令，解得，令，则 点，点， ，， ， 过点作于点， ，，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期育贤中学初三年级数学科期中试题 总分： 120 分 时量： 120分钟 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中记载了用标杆测量太阳高度的方法．若规定标杆露出地面4尺记作尺，则标杆埋入地下3尺记作( ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 2. 活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（  ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 6. 如图（1），区间测速是通过计算车辆通过两个相邻监控点的时间，来检测其在该路段平均速度的方法．如图（2），在限速区间内，满足安全驾驶且在限速范围的条件下，汽车的平均行驶速度是行驶时间的反比例函数．当时，汽车通过该限速区间的时间可能是（ ） A. B. C. 0.24h D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 12 8. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（ ） A. B. C. D. 9. 将分别标有“惟”、“楚”、“有”、“才”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，则射击成绩较稳定的是________(填“甲”或“乙”)． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 13. 计算：______． 14. 关于的方程无解，则的值是______． 15. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 16. 如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则________． 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中 19. 为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 20. 在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． （1）求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； （2）该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 21. 如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．． （1）求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）； （2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）（参考数据：） 23. 阅读短文，解决问题． 若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形”．例如：如图，在平行四边形中，与重合，点在上，则称平行四边形为的“相依四边形”． （1）如图，平行四边形为的“相依四边形”，平分，判断四边形的形状，并进行证明． （2）在（1）的条件下，如图，． ①若，，求四边形的周长； ②如图，分别是的中点，连接，若，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过坐标原点和点，顶点为点． （1）求抛物线的函数关系式及点的坐标； （2）点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于 时，求点的坐标； （3）将直线向下平移，得到过点 的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $