精品解析：湖南省衡阳市祁东县多校联考2024-2025学年九年级下学期4月份期中考试数学试题

2025年春季湖南省初中学业水平考试大联考（二） 数学 考生注意： 1．本试卷共三大题，满分120分，考试时量120分钟． 2．请将答案全部填入答题卡相应位置，直接在本试卷上作答无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 2. “染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有个碱基对，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 足球比赛积分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（ ） A. 2场 B. 3场 C. 4场 D. 5场 7. 酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A B. 且 C. D. 且 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 相似三角形的面积比等于相似比 C. 三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形 D. 圆内接四边形对角相等 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 因式分解：__________． 12. 在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为_____． 13. 如图，已知四边形内接于，，则的度数为_____． 14. 如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是______． 15. 某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为__________分． 16. 验光师通过检测发现近视眼镜度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为________度． 17. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是______． 18. 如图，在正方形中，，分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为_______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组．并写出它的最大整数解． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为了落实《教育强国建设规划纲要（2024-2035）》，了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示不完整的频数分布直方图和扇形统计图． （1）请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中的值为_____；组对应的扇形的圆心角度数为_____； （3）若该校总共有4000名学生，每周的课外阅读时间小于4小时的学生大约有多少人？ 22. 当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价x（元） 20 25 30 销售量y（件） 200 150 100 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端B到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 24. 如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若是切线，，连接，如图2． ①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由； ②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积． 25. 若二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且其中一个交点的横坐标为另一个交点横坐标的一半，则称这样的二次函数为“半根函数”． （1）二次函数y＝x2﹣x﹣2是半根函数吗？请说明你的理由． （2）若y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，求18m2+15mn+2n2的值． （3）若二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，且相异两点M（4+t，s），N（5﹣t，s）都在抛物线上，证明当1≤a≤5时，函数y＝ax2+bx+c上的任意一点不在直线y＝﹣3x上． 26. 【问题情境】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG． 【尝试应用】 （2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值； 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N． ①求∠DMC的度数； ②连接AC交DE于点H，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季湖南省初中学业水平考试大联考（二） 数学 考生注意： 1．本试卷共三大题，满分120分，考试时量120分钟． 2．请将答案全部填入答题卡相应位置，直接在本试卷上作答无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，根据同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2. “染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有个碱基对，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：D． 3. 将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据直角的定义，可以求得，根据平行线的性质，可以知道，从而求得答案． 【详解】如图所示： 由题意可知，， 故选：C． 4. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，，平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，即可得到，根据平分得到，结合即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线有关计算，解题的关键是根据角平分线及角比例式得到角度关系列式求解． 6. 足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（ ） A. 2场 B. 3场 C. 4场 D. 5场 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，准确理解等量关系是解题的关键．设该队胜了场，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该队胜了场，故平了场， ， 解得． 故一共胜了场． 故选：D． 7. 酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；会发生中和反应的有和，和，和，和，列表可得出所有等可能的结果数以及会发生中和反应的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：根据题意可得列表如下： 共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，所以会发生中和反应的概率为； 故选D 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且． 故选：B． 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 相似三角形的面积比等于相似比 C. 三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形 D. 圆内接四边形对角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质是解决此题的关键．利用无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原选项错误，是假命题，不符合题意； B、相似三角形的面积比等于相似比的平方，故原选项错误，是假命题，不符合题意； C、 由得三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形，故原选项正确， 是真命题，符合题意； D、圆内接四边形对角互补，故原选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案． 【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小； 故①不符合题意； 由图象可得方程组的解为，即方程组的解为； 故②符合题意； 由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意； 由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意； 综上：符合题意的有②③， 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．掌握平方差公式是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握坐标变换的性质是解题关键． 利用关于y轴对称的点的性质（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出的坐标，再直接利用平移的性质得出答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴点， ∵将点向上平移3个单位，得到点， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 13. 如图，已知四边形内接于，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆内接四边形对角互补求出，再依据圆周角定理求出 ．本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补以及同弧所对圆心角与圆周角的数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为： ． 14. 如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为． 故答案为：． 15. 某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为__________分． 【答案】92 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：李明同学最终比赛成绩（分）． 故答案为：92． 【点睛】本题考查了加权平均数，属于基础题，关键是掌握加权平均数的计算方法． 16. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为________度． 【答案】200 【解析】 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．根据待定系数法求出反比例函数解析式，令时，求的值即可． 【详解】解：由图象可知眼镜度数为500度时，镜片焦距为米， 设， ∴在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 此时眼镜的度数为200度． 故答案为：200． 17. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，尺规作图、线段垂直平分线的性质．根据题意可知：是线段的垂直平分线，所以，再判断出，于是． 【详解】解：由已知可得，是线段的垂直平分线， 设与的交点为， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，，分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，设正方形的边长为，得，延长至点，使得，连接，，再证，得，可知，当点在上时，取得最小值，即，在中，，列出方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 在正方形中，，，， 则， 延长至点，使得，连接，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，当点在上时，取得最小值， ∵的最小值为，即：， 在中，，即， 解得：（负值舍去）， 故答案为：2． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组．并写出它的最大整数解． 【答案】不等式组的解集为：，最大整数解为0． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及求不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤以及确定不等式组解集的方法（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到 ）是解题的关键．分别求解不等式组中的两个不等式，然后取它们的交集得到不等式组的解集，再从解集中找出最大整数解．对于每个不等式，按照解一元一次不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 ）进行求解． 【详解】解：解不等式： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 解不等式： 去分母，两边同乘得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． ∴不等式组的解集为． ∴在这个范围内，最大整数解是． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题关键是化简分式． 通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解： 当时， 原式． 21. 为了落实《教育强国建设规划纲要（2024-2035）》，了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示不完整的频数分布直方图和扇形统计图． （1）请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中的值为_____；组对应的扇形的圆心角度数为_____； （3）若该校总共有4000名学生，每周的课外阅读时间小于4小时的学生大约有多少人？ 【答案】（1）见解析； （2）40，； （3）每周的课外阅读时间小于4小时的学生大约有1240人． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图与扇形统计图的综合运用，熟练掌握两种统计图的特点及数据间的关联（通过部分量和对应比例求总量，再用总量计算其他量 ）是解题的关键． （1）先由A组数据及所占百分比求出抽取学生总数，再用总数减去其他组人数得到D组人数，从而补全直方图． （2）用C组人数除以总数得的值，用C组所占比例乘以得圆心角度数． （3）先算出阅读时间小于4小时的A、B组人数和占抽取总数的比例，再用该比例乘以全校总人数估算相应人数． 【小问1详解】 解：由扇形统计图知A组占，A组人数为人， ∴抽取学生总数为人． D组人数为人． 补全统计图如下： ． 【小问2详解】 解：， ∴． C组对应的扇形圆心角度数为． 故答案为：40，； 小问3详解】 解：每周课外阅读时间小于4小时的是A、B组，人数和为人． 占抽取总数的比例为． 该校总共有名学生，所以大约有人． 22. 当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价x（元） 20 25 30 销售量y（件） 200 150 100 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为： （2）应将销售单价定为22元 【解析】 【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将值代入函数关系式，即可求出答案． （2）由题意将利润用含的式子表示出来，求出的值，再从中选取最小值即可． 【小问1详解】 解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系， 根据题意可得：， 解得：， 故y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 整理得：， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：应将销售单价定为22元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出等量关系是解题的关键． 23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端B到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）真空管上端B到水平线的距离为 （2）安装热水器的铁架水平横管的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）过点作交于点，根据坡度比得到，设，再利用勾股定理建立方程进行求解即可； （2）利用，求出的长，根据，以及，求出的长度，再根据，求出的长，再用即可求出的长度． 【小问1详解】 解：过点作交于点， 由题意，得：， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴真空管上端B到水平线的距离为； 【小问2详解】 解：由题意，得：，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 答：安装热水器的铁架水平横管的长度为． 24. 如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若是的切线，，连接，如图2． ①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由； ②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB； （2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D+∠ABC=， ∵∠EBC+∠ABC=， ∴∠D=∠EBC， ∵AD为⊙O直径， ∴∠ACD=， ∴∠D+∠CAD=， ∵CE⊥AB， ∴∠ECB+∠EBC=， ∴∠CAD=∠ECB； （2）①四边形ABCO是菱形，理由如下： ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥EC， ∵AB⊥EC， ∴∠OCE=∠E=， ∴∠OCE+∠E=18， ∴OC∥AE， ∴∠ACO=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°， ∴∠EBC=90°-30°=60°， ∴∠BAO=∠EBC =60°， ∴BC∥AO， ∴四边形ABCO是平行四边形， ∵OA=OC， ∴四边形ABCO是菱形； ②∵四边形ABCO是菱形， ∴AO=AB=2，AD=4， ∵∠CAD=30°， ∴CD=AD=2，AC=2， 过点C作CF⊥AD于点F， ∴CF=， ∴， ∵OC∥AE， ∴∠DOC=∠BAO=60°， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 25. 若二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且其中一个交点的横坐标为另一个交点横坐标的一半，则称这样的二次函数为“半根函数”． （1）二次函数y＝x2﹣x﹣2是半根函数吗？请说明你的理由． （2）若y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，求18m2+15mn+2n2的值． （3）若二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，且相异两点M（4+t，s），N（5﹣t，s）都在抛物线上，证明当1≤a≤5时，函数y＝ax2+bx+c上的任意一点不在直线y＝﹣3x上． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）0；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）先求出的根，根据题中的定义进行判断． （2）根据题意可得m与n的数量关系，将因式分解，然后代入m与n的等式求解． （3）由点都在抛物线上可得抛物线与x轴两交点横坐标，然后联立方程，根据即可求解． 【详解】（1）不是，理由如下： 二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴有两个交点， 令，即， 解得， ， 二次函数y＝x2﹣x﹣2不是半根函数； （2）y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数， 则， 解得， y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数， 或， ， ， （3）点都在抛物线上，且纵坐标相等， 则抛物线的对称轴为：， 二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数， 设，则， ， 解得， 设二次函数的解析式为：， 则， 联立得， ， 整理得，， ， 令，可得， <1≤a≤5<， 当1≤a≤5时，，即函数y＝ax2+bx+c上的任意一点不在直线y＝﹣3x上． 【点睛】本题考查抛物线的综合应用，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，图象交点与方程的解的关系． 26. 【问题情境】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG． 【尝试应用】 （2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值； 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N． ①求∠DMC的度数； ②连接AC交DE于点H，直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）通过正方形四边相等和两线段垂直的特点构造与△ABE全等的三角形，从而得到对应边相等从而证明题目所给要求． （2）通过平移构建一个新的三角形，再通过各边边长符合勾股定理证明新构建的三角形是直角三角形，再找到两条直角边之长即可求出题目要求的夹角的正切值． （3）①同样平移线段CB使得点C和点D重合，得到平行四边形DGBC，通过平行四边形特征和正方形特征证明△AGD≌△BEG，再通过全等得知两直角三角形斜边相等且∠GBE＝90°，从而得知△DGE为等腰直角三角形；故所求角度为45°； ②通过三角形相似得对应边成比例，从而得出题目所求线段比例． 【小问1详解】 证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示： 由平移的性质得：FG∥BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°， ∴四边形BFGH是平行四边形， ∴BH＝FG， ∵FG⊥AE， ∴BH⊥AE， ∴∠BKE＝90°， ∴∠KBE+∠BEK＝90°， ∵∠BEK+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBH， 在△ABE和△BCH中， ∴△ABE≌△BCH（ASA）， ∴AE＝BH， ∴AE＝FG； 方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示： 则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB， ∴FH＝BC，∠FHG＝90°， ∵四边形ABCD正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝90°， ∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG， ∵FG⊥AE， ∴∠HFG+∠AKF＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠HFG， 在△ABE和△FHG中， ∴△ABE≌△FHG（ASA）， ∴AE＝FG； 【小问2详解】 解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示： ∴∠AOC＝∠FDC， 设正方形网格的边长为单位1， 则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4， 由勾股定理可得：CF＝，CD＝，DF＝， ∵ ∴CF2+CD2＝DF2， ∴∠FCD＝90°， ∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝； 【小问3详解】 解：①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示： 则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形， ∴DC＝GB， ∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形， ∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90° ∴DC＝AD＝AP＝GB， ∴AG＝BP＝BE， 在△AGD和△BEG中， ∴△AGD≌△BEG（SAS）， ∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB， ∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°， ∴∠EGD＝90°， ∴∠GDE＝∠GED＝45°， ∴∠DMC＝∠GDE＝45°； ②如图3﹣2所示： ∵AC为正方形ADCP的对角线， ∴AD＝CD，∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AC＝AD， ∵∠HCM＝∠BCA， ∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC， ∴△ADH∽△ACB， ∴ 【点睛】本题综合考察了三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理和辅助线的添加，掌握这些是本题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$