精品解析：福建南平市光泽县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年（下）期中质量检测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） ★友情提示：所有答案必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列各组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，7，8 D. 5，12，13 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（ ） A. 的大小 B. 线段的长度 C. 的周长 D. 的面积 8. 如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 10 9. 当时，代数式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 12. 如图，数轴上点A表示的实数是___________． 13. 游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 14. 如图，用三个完全相同的正五边形地砖平铺地面，与是公共边，则的度数为____________． 15. 如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 16. 如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，点在边上，点在边上，． 求证：四边形是平行四边形． 19. （1）求12边形内角和度数； （2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n． 20. 洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 21. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求剩余木料的面积． （2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出______块这样的木条． 22. 如图，已知：，，求的面积 23. 观察下列各式． （1）根据以上规律猜想，a为正整数，则______． （2）你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． （3）证明你在（2）中写出的等式是正确的． 24. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 25. 综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． （1）直接写出系纸长与宽的比______． （2）如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． （3）在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）期中质量检测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） ★友情提示：所有答案必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列各组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，7，8 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解 【详解】解：A、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； B、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，则不是勾股数，故本选项不符合题意； D、 ，是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意； B、中，被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、是整数，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 4. 如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可． 【详解】解：可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是AB=CD，AD=BC，理由如下： ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算． 【详解】解：A、无法合并，故不合题意； B、无法合并，故不合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，故不合题意； 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式：若，则是解题的关键． 由两点间距离公式直接求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为， 故选：C． 7. 如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（ ） A. 的大小 B. 线段的长度 C. 的周长 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，得到随着点P的移动，点到的距离不变，即可得出的面积不变，判断即可． 【详解】解：∵直线，点P在直线m上移动， ∴点与直线的距离保持不变， ∵A，B是直线n上的两个定点， ∴点到的距离不变， ∴的面积不变，故D正确； 的大小，线段的长度，的周长都随着点的移动而变化； 故选D． 8. 如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 9. 当时，代数式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 10. 如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：连接， 正方形和正方形中， ，， ， ， ， ， 是的中点， 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 12. 如图，数轴上点A表示的实数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数；理解任意实数都可以用数轴上的点表示；由图知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， ∴点A表示的数为； 故答案为：． 13. 游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【解析】 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 14. 如图，用三个完全相同的正五边形地砖平铺地面，与是公共边，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】算出正五边形的每个内角的度数，用360减去3个内角的度数和即可． 【详解】解：∵正五边形每个内角是， ∴空余的角度． 15. 如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 16. 如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的判定与性质可得，由点是的中点可得，当时，取得最小值，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的最小值，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接，  ，，， 四边形是矩形，  ， 点是的中点，  ， 当时，取得最小值，此时也取得最小值， 在中，，，  ，  ，  ，  的最小值为 三、解答题（本大题共7小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，点在边上，点在边上，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先结合四边形是平行四边形，则，根据，得，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 19. （1）求12边形内角和度数； （2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n． 【答案】（1）1800°；（2）8 【解析】 【分析】（1）根据内角和公式，可得答案； （2）根据多边形内角和公式（n-2）•180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n-2）•180°-360°=720°，再解方程即可． 【详解】解：（1）由题意，得 （12-2）×180°=1800°； （2）由题意得： （n-2）•180°-360°=720°， 解得：n=8． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理． 20. 洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米， 根据勾股定理可得：x2+52=（x+2）2， 解得，x=． 答：旗杆的高度为米． 【点睛】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长． 21. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求剩余木料的面积． （2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出______块这样的木条． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和范围，根据题意解答． 【小问1详解】 解：两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 剩余木料的面积为； 【小问2详解】 解：剩余木料的长为，宽为， ，， 从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条， 故答案为： 22. 如图，已知：，，求的面积 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理，得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 23. 观察下列各式． （1）根据以上规律猜想，a为正整数，则______． （2）你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． （3）证明你在（2）中写出的等式是正确的． 【答案】（1）24 （2）（，n为整数） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减1的差，由分子写出a值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出表达式即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【小问1详解】 解：根据前3个式子，可得： 故a为24． 【小问2详解】 解：①由前面式子得出：（，且n为整数）． 【小问3详解】 证明： （，且n为整数）． 24. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， 且， 又，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：， ， 是等边三角形， 菱形的边长为4，高为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质． 25. 综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． （1）直接写出系纸长与宽的比______． （2）如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． （3）在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 【答案】（1） （2）四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为； （3）四边形纸片不是系纸片，折纸画图及其证明过程见解析． 【解析】 【分析】（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，即可得系纸长与宽的比； （2）由折叠可得，四边形是矩形，，，连接，设，，由勾股定理可得，根据，代入化简，即可求解； （3）设，则，由系纸片长与宽的比可得，可得，计算，结合系纸片长与宽的比进行判断，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，由折叠过程，结合平行线的性质，可得四边形是正方形，四边形是矩形，，，计算，即可证明是系纸片． 【小问1详解】 解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为， ∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等， ∴， ∴， ∴， ∴系纸长与宽的比为． 【小问2详解】 解：四边形纸片不是系纸片， 在长方形中，，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠可得，， 连接， 设，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为． 【小问3详解】 解：设，则， ∵四边形是系纸片， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片， 如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片， 证明：由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片是系纸片． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $