精品解析：福建龙岩市连城县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

连城县2025-2026学年第二学期期中质量抽查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 温馨提示：请把所有答案书写到答题卡上！请不要错位，越界答题！ 一、选择题（每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 3. 估计+1的值，应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，则大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D.    9. 我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方（即正方形），池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为x尺，则水深为（ ）尺． A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 10. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分）． 11. 计算：=______． 12. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 13. 若在实数范围内有意义．则的取值范围是______． 14. 在中，，则是________度． 15. 如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 16. 七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1），若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为，非阴影部分面积记为．若，____． 三、解答题（共9题，共86分）． 17. 计算： （1）， （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知，求的值． 20. 已知：如图，中，E，F两点在对角线上，． 求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 22. 如图，，点C是射线上一点． （1）尺规作图：以为对角线构造菱形，且点B在射线上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求菱形的面积． 23. “雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； （3）若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 24. 先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； （1）根据上面结论，已知点，，求的长； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； （3）已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 25. 已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转（），得到线段CE，联结BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F． （1）如图，当BE=CE时，求旋转角的度数； （2）当旋转角的大小发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的度数； （3）联结AF，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城县2025-2026学年第二学期期中质量抽查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 温馨提示：请把所有答案书写到答题卡上！请不要错位，越界答题！ 一、选择题（每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，计算错误； B、当时，，，计算正确； C、，计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接合并，，计算错误． 2. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形及特殊四边形的判定定理，逐一判断各命题的真假即可得到结果． 【详解】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，符合正方形的判定定理，是真命题，不符合题意． B选项，四条边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意． C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意． D选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此该命题是假命题，符合题意． 3. 估计+1的值，应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据≈2.236，可得答案． 【详解】解：∵≈2.236， ∴+1≈3.236， 故选：C． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，关键是要掌握用有理数逼近无理数，求无理数近似值的方法，还要牢记1至10整数的平方． 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 5. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正五边形和正方形的每个内角的度数，再求出大小即可． 【详解】解：正五边形的每个内角为，正方形的每个内角为， 由于边长相等的正方形、正五边形的一边重合， 则． 6. 如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先利用中位线求的长度，再根据直角三角形斜边中线求的长度，最后计算． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ∵，是的中点， ， ∵， ∴， ． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作轴于点，作交的延长线于点，证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换，进行求解即可. 【详解】解：作轴于点，作交的延长线于点，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴. 8. 中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D.    【答案】B 【解析】 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简后判断即可． 【详解】解：A、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； B、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，展示了完全平方公式的几何意义，故符合题意； C、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； D、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意． 9. 我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方（即正方形），池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为x尺，则水深为（ ）尺． A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设水深为x尺，则植物长尺，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设水深为x尺，则植物长尺， 由题意可得：，解得， 所以水深12尺． 10. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，交的延长线于， 由作图步骤①可知，平分，  ，，  ，， 在和中，  ，  ， ， 由作图步骤可知，垂直平分，点在上，  ，  ，  ， 在和中，  ，  ，  ，  ，，  ， ，  ，  ， 解得， 在中，， 即点到直线的距离为． 二、填空题（每小题4分，共24分）． 11. 计算：=______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 13. 若在实数范围内有意义．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得到不等式，即可求解． 【详解】解：由题意，， 解得． 故答案为：． 14. 在中，，则是________度． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ ， ∴． 15. 如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的长度最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的长度最小为． 16. 七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1），若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为，非阴影部分面积记为．若，____． 【答案】20 【解析】 【分析】设正方形的边长为，利用七巧板的各边之间的关系即可表示，，，的长，观察图形即可求出阴影部分面积． 【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和， 设正方形的边长为， ∴， ∴， 解得 ∴． 三、解答题（共9题，共86分）． 17. 计算： （1）， （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式； 当时，原式． 19. 已知，求的值． 【答案】2028 【解析】 【详解】解：， ， ． 20. 已知：如图，中，E，F两点在对角线上，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等的关系，再结合已知的条件，通过证明与、与全等，推导出四边形的对边分别相等，最终依据平行四边形的判定定理证得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 21. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】（1）旗杆距地面处折断； （2）行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； 【小问2详解】 如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 22. 如图，，点C是射线上一点． （1）尺规作图：以为对角线构造菱形，且点B在射线上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点B，交于点O，在垂直平分线上取点D，使得，连接，，，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，由得到，根据勾股定理有，因此，求得，从而，根据菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，菱形为所求． ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解∶∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∴， ∴． 23. “雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； （3）若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】（1） （2）学校C会受噪声影响，画图见解析； （3）环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理计算即可； （2）过点C作于D，利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴是直角三角形． ∴， ∴， 解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响； 【小问3详解】 解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵， 同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟40米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟． 24. 先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； （1）根据上面结论，已知点，，求的长； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； （3）已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 【答案】（1）10 （2）；或 （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据给出公式求解； （2）根据坐标的特征，利用公式求解； （3）根据等腰三角形的定义，利用公式分两种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 解：，， ∴； 【小问2详解】 解：设点A横坐标为t， ∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1， ∴点A的坐标为， ∴ ； ①当点，在x轴上时，则， ∴； ②当点，在y轴上时，则， ∴； ③当平行y轴（或垂直x轴）时，则， ∴； ④当平行x轴（或垂直y轴）时，则， ∴； 综上所述：当点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，或； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①如图所示，当点M为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得： ， 解得：或， ∴点Q的坐标为或； ②如图所示，当点N为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得： ， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 综上所述：点Q的坐标为或或或． 25. 已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转（），得到线段CE，联结BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F． （1）如图，当BE=CE时，求旋转角的度数； （2）当旋转角的大小发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的度数； （3）联结AF，求证：． 【答案】（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC是等边三角形，从而求得=∠DCE=30°． （2）因为△CED是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF=. （3）过A点与C点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH是平行四边形，求得△ABG≌△ADH.从而求得矩形AGFH是正方形，根据正方形的性质证得△AHD≌△DIC，从而得出结论． 【详解】（1）证明：在正方形ABCD中, BC=CD.由旋转知，CE=CD, 又∵BE=CE, ∴BE=CE=BC, ∴△BEC是等边三角形， ∴∠BCE=60°. 又∵∠BCD=90°, ∴=∠DCE=30°. （2）∠BEF的度数不发生变化. 在△CED中，CE=CD, ∴∠CED=∠CDE=， 在△CEB中,CE=CB,∠BCE=, ∴∠CEB=∠CBE=, ∴∠BEF=. （3）过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I 易知四边形AGFH是平行四边形， 又∵BF⊥DF， ∴平行四边形AGFH是矩形. ∵∠BAD=∠BGF=90°， ∠BPF=∠APD ， ∴∠ABG=∠ADH. 又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADH. ∴AG=AH ， ∴矩形AGFH是正方形. ∴∠AFH=∠FAH=45°， ∴AH=AF ∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90° ∴∠DAH=∠CDI 又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC， ∴△AHD≌△DIC ∴AH=DI， ∵DE=2DI， ∴DE=2AH=AF 【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $