精品解析：湖南衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期数学开学摸底检测试题

高二开学摸底检测 数学分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知双曲线 实轴长为6，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 2. 当取不同实数时，直线恒过一个定点，这个定点是 （ ） A B. C. D. 3. 已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 5. 已知等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（ ） A. 7 B. 9 C. 15 D. 20 7. 已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 已知圆，，动点为圆上任意一点，则的垂直平分线与的交点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列条件中，使点与三点一定共面的是（ ） A. B. C. D. 11. （多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 抛物线的焦点坐标为 C. 点B的坐标为 D. 的面积为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过抛物线焦点，则____________． 13. 已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点，且的面积等于，则椭圆的离心率为___________． 14. 已知数列的前项和为，则的通项公式为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点． （1）求直线CD的方程； （2）求过点A且与直线DE垂直的直线． 16. 已知等差数列中，，． （1）求的值； （2）若数列满足：，证明：数列是等差数列． 17. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，侧面是矩形，，. （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知等差数列的公差为，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使得的的最小值. 19. 已知椭圆（）离心率为． （1）求E方程； （2）记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二开学摸底检测 数学分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知双曲线 的实轴长为6，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴可得，即可由离心率公式求解. 【详解】由可得，故，焦点在轴上， 故实轴为，， 因此双曲线为， 故离心率为， 故选：C 2. 当取不同实数时，直线恒过一个定点，这个定点是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简直线方程，令的系数为0，即可求出定点坐标. 【详解】将直线方程化为，，解得，故直线过定点． 故选：B. 3. 已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由圆的方程求圆心和半径，再由直线与圆相交的弦长得到圆心到直线的距离，再用点到直线的距离可得出结果. 【详解】由得圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径， 又直线与圆相交所得的弦， 则圆心到直线的距离， 即，解得. 故选：D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据两圆位置关系的判断方法即可得到答案. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径为， 圆：，圆心为，半径为，则， ∴，，，， 故圆和圆的位置关系是外离. 故选：D． 5. 已知等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列和的性质得出比例关系，再设计算求解比值即可. 【详解】等比数列中，，，，成等比数列， ，，， 令，得，， ， 故选：B 6. 已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（ ） A. 7 B. 9 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为q，依题意有，又， 当时，，故舍去， 当时，因为，则， 化简得，即且，， 故， 故选：C. 7. 已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出首项和公差即可. 【详解】依题意，即， 假设等差数列的首项为，公差为， 则，解得, 故选：B. 8. 已知圆，，动点为圆上任意一点，则的垂直平分线与的交点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 的垂直平分线与的交点，所以，则 ， 进而可以利用椭圆的第一定义和焦距进行求解 【详解】的垂直平分线与的交点，所以，则 ， 故的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，，， ，点的轨迹方程是 故选：C 【点睛】本题考查椭圆的第一定义的运用，属于基础题 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分别把每个选项的点与点确定的向量与法向量求数量积，进而判断各点是否在平面内. 【详解】对于A，设，则，因为， 所以点在平面内，故A正确； 对于B，设，则，因为， 所以点不在平面内，故B错误； 对于C，设，则， 因为， 所以点不在平面内，故C错误； 对于D，设，则， 因为， 所以点在平面内，故D正确. 故选：AD. 10. 下列条件中，使点与三点一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据四点共面的充要条件，若A，B，C，P四点共面，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】对于A：∵， ∴， ∴， 故，故、、共线，故、、、共面； 或由得：，，为共面向量，故、、、共面； 对于B：，故、、、共面； 对于C：由，，所以点与、、三点不共面. 对于D：由，得，而，所以点与、、三点不共面. 故选：AB． 【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A，B，C，P共面的充要条件，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题. 11. （多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 抛物线的焦点坐标为 C. 点B的坐标为 D. 面积为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】将代入抛物线方程，求出，进而可得，根据抛物线的标准方程逐一判断即可. 【详解】将代入抛物线方程可得， 因此抛物线方程为， 所以准线方程，焦点坐标为，故A，B正确； 易知轴，所以，故C错误； 又因为，所以，故D正确． 故选：ABD 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过抛物线的焦点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标，然后代入直线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线， 所以抛物线焦点， 所以， 解得. 故答案为： 13. 已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点，且的面积等于，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，结合面积关系列式求解即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可知，， 因为，则， 两边平方得，则， 整理可得，所以椭圆的离心率． 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，则的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用计算即可，注意求时，的值. 【详解】由已知当时， ， 又时，， 故的通项公式为， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点． （1）求直线CD的方程； （2）求过点A且与直线DE垂直的直线． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点D的坐标，再求出直线CD的方程作答. （2）求出点E坐标及直线DE的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答. 【小问1详解】 在平行四边形ABCD中，，，，则，则点， 直线CD的斜率，则有，即， 所以直线CD的方程是. 【小问2详解】 依题意，点，则直线DE的斜率， 因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为，方程为，即， 所以所求方程是. 16. 已知等差数列中，，． （1）求的值； （2）若数列满足：，证明：数列是等差数列． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质易得，由等差数列的通项公式求得公差，再由基本量运算求得结论； （2）由（1）求得通项公式，从而可得，计算可得结论． 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 由（1）可知 ， ∴数列是等差数列，首项是1，公差是2. 17. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，侧面是矩形，，. （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面.利用线面垂直性质即可证明结论； （2）过点作于E，可证平面ABCD，过点E作交AB于F，以E为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为底面ABCD为正方形和侧面是矩形， 所以，， 又，平面，所以平面. 又平面， 所以. 【小问2详解】 过点作于E，因为， 由（1）得平面， 又平面，所以， 又，平面ABCD， 所以平面ABCD. 过点E作交AB于F， 以E为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，因为平面， 所以由三棱锥的体积为3，得三棱锥的体积为3， 即三棱锥的体积为3，即，得. 由，， 得，， 则，，，，， ，，，. 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以. 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 18. 已知等差数列的公差为，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使得的的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的前项和公式建立方程组，解得数列的首项和公差，即可得到等差数列的通项公式； （2）由（1）可得等差数列的前项和，然后即可得到，从而求出该数列的前项和，然后代入条件中的不等式，解二次不等式即可求得的范围，根据题意即可得到其最小值. 【小问1详解】 由于， 故解得 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列； 所以. 由，得， 即， 则，或， 又因为，所以的最小值为4. 19. 已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件先求出椭圆的半焦距，继而求得短半轴长，即得椭圆方程； （2）先检验当直线的斜率为0时，不合题意，再设，将其与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，利用弦长公式建立方程，求得，即得直线的方程，求出点到直线的距离，即可求得的面积. 【小问1详解】 不妨记E的半焦距为c，则，解得， 故E方程为． 【小问2详解】 当直线AB的斜率为0时，，不合题意，舍去； 当直线AB的斜率不为0时，记，联立， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故， 故：，故O到的距离， 故的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $