精品解析：2026年浙江杭州市萧山区中考一模考试数学试题

数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写上姓名、座位号和准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效． 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，项是符合题目要求的． 1. 如果表示转盘沿逆时针方向转3圈，那么转盘沿顺时针方向转5圈可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵题干规定逆时针方向转3圈记作，即逆时针方向转动用正数表示， ∴与逆时针方向意义相反的顺时针方向转动应用负数表示， ∴顺时针方向转5圈可记作． 2. 如图是由个相同的小立方体搭成的几何体，则此几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图就是从几何体的上面看到的平面图形，根据几何体的形状画出俯视图即可． 【详解】解：从几何体的上面看到的平面图形为： 3. 根据萧山区政府2026年1月发布的《政府工作报告》获悉，2025年萧山区总值为2506亿元，同比增长．则2506亿用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：，A错误． B选项：，B错误． C选项：，C错误． D选项：，D正确． 5. 如图，点P是的角平分线上一点，于点E，点F是射线上任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先结合角平分线的性质得点到的距离，又因为垂线段最短得出，即可作答． 【详解】解：∵点P是的角平分线上一点，于点E， ∴点到的距离， ∵点F是射线上任意一点， ∴． 6. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合长宽的数量关系列方程，整理后对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵设长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积等于长乘宽，这块田地面积为平方步， ∴列方程得， 整理得． 7. 某初中2026年共16个班约有800名学生参加中考复习教学质量检测．考试后为了解数学考试情况，需从中抽取80份试卷答案，统计分析每道题的解答情况．为了使所了解的数据具有代表性，则下列抽样方案最合适的是（ ） A. 每班中随机挑选5份试卷 B. 全校男、女生中各随机挑选40份试卷 C. 相邻2个班作为一个组合，从8个组合中随机挑选80份 D. 按照成绩分成优、良、合格、待合格4组，每个组中随机挑选20份 【答案】A 【解析】 【详解】解：A方案中，每班抽5份，，刚好满足抽取数量，且覆盖所有班级的学生，每个学生被抽到的机会均等，样本具有代表性． B方案中，未给出全校男女生的人数比例，各抽40份无法保证样本符合总体结构，不具有足够代表性． C方案中，仅从挑选的组合中抽样，部分班级没有样本纳入，无法反映整体情况，不具有代表性． D方案中，未按各成绩组的人数比例抽样，各组均抽20份会导致样本比例失调，不具有代表性． ∴最合适的抽样方案是A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是以原点O为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点的对应点为， ∴，， ∵点B的对应点为， ∴，， ∴点B的坐标为． 9. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的图象和性质得反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，由可知，即可判断，，据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，均在反比例函数的图象上，且， ∴， ∴点在第三象限，在第一象限， ∴，， ∴一定成立，的符号无法确定， 10. 已知：如图，平行四边形中，点是的中点．连接，过点作交边于点．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过延长构造全等三角形 ，得到、为中点；再利用，推出垂直平分，故；接着过作，结合平行四边形中算出 ；设，用勾股定理在中列方程求解，最终算出与的比值． 【详解】解：延长，交的延长线于点，连接，如下图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ，  ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， 即是的中点， ∵，即，是中点， ∴垂直平分线段， ∴， 设， ∴ ，即， 过作，交的延长线于， ∵平行四边形中 ，​， ∴ ， ， ∴ 在 中，由勾股定理得， 代入得：， 化简，得：， 解得， 即， ∴， ∴． 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 12. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母化为整式方程，求解整式方程后进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 经检验，是原分式方程的解． 13. 如图，，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角相等得到，证明，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∴ ∵， ∴， ∴ 14. 取张扑克，其中张“方块”，张“梅花”，张“红桃”，从中任取张，是“梅花”或“红桃”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出“梅花或红桃”共有的张数， 再根据概率公式即可得出答案 ． 【详解】解：总共有张扑克，任取张，总共有种等可能结果； 符合条件“是梅花或红桃”的结果数为：种； ∴概率为：． 15. 已知一次函数和，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于的值，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出函数图象，分别求出当直线过点时， 当直线过点时，m的值，即可得解． 【详解】解：如图， 对于，当时，， 当直线过点时，， 解得：， 对于，当时，， 当直线过点时，， 解得：， ∴m的取值范围是． 16. 如图，四边形是边长为4的正方形，点E是边上一动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得到，过点E作交于点H，连接．则在点E移动过程中，线段的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】动点F的运动轨迹为以点A为圆心，以4为半径的正方形内部的，设，，得到，当时，y取得最大值1，此时点记作，过点R作于点T，得到，连接交于点Q，，．连接，根据题意，得，当F与Q重合，点H与R重合时，取得最小值，此时的最小值就是； 【详解】解：∵沿翻折得到，四边形是边长为4的正方形， ∴， 故点F到定点A的距离等于定长4， 故动点F的运动轨迹为以点A为圆心，以4为半径的正方形内部的， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 因为， ∴有最大值，且当时，y取得最大值1，此时点记作， ∴， 过点R作于点T， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 连接交于点Q， 则， ． 连接，根据题意，得， 当F与Q重合，点H与R重合时，取得最小值，此时的最小值就是； 三、解答题：本题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 设． （1）当时，求的值． （2）当且时，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，再代值计算即可； （2）求出两个不等式的解集，找到它们的公共部分即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∴当时，原式 ． 【小问2详解】 解：当 时，； 当 时，； ∴x的取值范围为． 19. 如图，中，，．将绕点B顺时针旋转至位置，点A，B，D在同一直线上． （1）若，求证：． （2）在（1）的条件下，求点A经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，由平行线的性质得，等量代换得，进而可证； （2）先求出，然后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴点A经过的路径长为：． 20. 为了引导学生对家乡历史、人文、经济、社会等更多的关注，某初中对全体八、九年级的学生进行了以“知家乡、爱家乡”为主题的知识竞赛． 【数据的收集和整理】 学校从两个年级抽取数量相同的学生成绩进行分析，并将学生测试成绩（得分为x）分成四个等级，A：；B：；C：；D：，获得以下信息： ①抽查九年级测试成绩条形统计图和抽查同学测试成绩扇形统计图（均不完整）： ②两个年级被抽查的同学中满分100分的共有2人，本次达到D组成绩的有10人，其中八年级D等级的成绩各不相同，九年级测试成绩D等级的全部成绩如下：91，92，93，93，93，94，100． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次共抽取______人的成绩，两个年级中D组成绩的众数是______ （2）小靓发现自己的分数正好是她所在年级抽查学生成绩的中位数，小丽看了这个分数后说：“小靓的成绩在我们年级成绩是中上等水平”，请你根据这些信息，判断小靓是哪个年级的学生，并说明理由． 【答案】（1）100，93分 （2）小靓是九年级学生，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用“本次达到D组成绩的学生人数÷其占比”，即可求得本次共抽取学生人数；根据众数的定义，即可确定两个年级中D组成绩的众数； （2）分析八年级和九年级学生成绩中位数的范围，结合题意即可获得答案． 【小问1详解】 解：本次共抽取学生人数为（人）， 根据题意，本次达到组成绩的有10人，其中八年级D等级的成绩各不相同，九年级测试成绩等级的全部成绩如下：91，92，93，93，93，94，100，且两个年级被抽查的同学中满分100分的共有2人， ∴出现次数最多的是93，即两个年级中D组成绩的众数是93． 【小问2详解】 解：小靓是九年级学生 理由：∵两个年级抽取数量相同的学生成绩进行分析， ∴八、九年级均为（人） 九年级50人中，的人数为26人，则九年级的中位数位于 八年级50人中，的人数为 （人）， 则八年级的中位数， ∵小靓所在年级抽查学生成绩的中位数是小丽所在年级抽查学生成绩的中上等水平， ∴小靓是九年级学生． 21. 《年国家健康指南》中健康生活方式聚焦吃动平衡、健康体重、减少久坐等核心．如图是小区、公园、村阳光运动区域中常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图，从侧面看踏板静止时踏板连杆与立柱上的线段重合，长为． （1）如图，当踏板连杆绕着点旋转到处时，测得，此时点离地面的距离是，求的长． （2）如图，从侧面看当人在漫步时，为了安全两个踏板连杆形成的张角不超过，且关于对称，求两个踏板之间距离的最大值． （结果精确到．参考数据） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）通过点作构造直角三角形，利用算出的长度，再结合的三角函数关系列方程，求解出的长度； （）先根据对称性构造直角三角形，再利用三角函数关系，通过已知边长与角度的正弦值计算出半长，最后翻倍得到的最大值． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：当 时，最大， 由题意， ，关于对称， 设交于点，则， ， ， 在 中， ， 由三角函数定义：， ∴ ， 则： ，  代入 ， ， ∴ ， 即的最大值约为． 22. 如图，矩形， ， ． （1）用直尺和圆规作出一个平行四边形，须满足：①平行四边形的面积是矩形面积的一半；②；③与在同侧． （2）在（1）的条件下， ①求证： 是等边三角形； ②若是等腰三角形，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②的值为，1， 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为，在的右侧，以为圆心，为半径作弧，交于点，在射线上截取线段，使得，连接，四边形即为所求； （2）①证明即可； ②分三种情况：，，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 ①证明：∵平行四边形面积是矩形面积的一半， ∴垂直平分线段， ， ， ， 是等边三角形； ②解：当时， 是等边三角形， ， ； 当时，如图， 是等边三角形，60°， 30°， ， ； 当时，如图， 由30°， 得CM²＋DM²＝DC²， 即， ， ， ， ． 【点睛】本题考查复杂作图，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 23. 已知二次函数（a，c是常数，）． （1）求该函数图象的对称轴． （2）当时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值． （3）已知点，都在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）求出y的最大值和最小值，即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征得到或，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在内， 当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为， ∵当时，y的最大值和最小值的差为4， ∴ ， 解得：； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时，， 解得：； 当在右侧时， ， 解得：； ∴或． 24. 已知，如图①，是的直径，，点E是上一动点（点E与点C在直径的两侧，且点E不与A，B重合），连接，连接交于点F，连接分别交于点G，H． （1）求证：． （2）试问：在点E在运动过程中，的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由． （3）如图②，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）不会； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）连接，根据圆周角定理可得 ，则，证明，可得，即可解答； （3）延长至M，使得，连接，则 ，证明，可得，从而得到，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：不会变化， 如图，连接， ∵， ∴ ， 是的直径， ， ， ，， ∴， ，， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：如图②，延长至M，使得 ，连接，则 ， ∵是直径， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 即 ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写上姓名、座位号和准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效． 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，项是符合题目要求的． 1. 如果表示转盘沿逆时针方向转3圈，那么转盘沿顺时针方向转5圈可记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由个相同的小立方体搭成的几何体，则此几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 根据萧山区政府2026年1月发布的《政府工作报告》获悉，2025年萧山区总值为2506亿元，同比增长．则2506亿用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P是的角平分线上一点，于点E，点F是射线上任意一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某初中2026年共16个班约有800名学生参加中考复习教学质量检测．考试后为了解数学考试情况，需从中抽取80份试卷答案，统计分析每道题的解答情况．为了使所了解的数据具有代表性，则下列抽样方案最合适的是（ ） A. 每班中随机挑选5份试卷 B. 全校男、女生中各随机挑选40份试卷 C. 相邻2个班作为一个组合，从8个组合中随机挑选80份 D. 按照成绩分成优、良、合格、待合格4组，每个组中随机挑选20份 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是以原点O为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，平行四边形中，点是的中点．连接，过点作交边于点．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 12. 分式方程的解是______． 13. 如图，，，则的度数是______． 14. 取张扑克，其中张“方块”，张“梅花”，张“红桃”，从中任取张，是“梅花”或“红桃”的概率是______． 15. 已知一次函数和，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于的值，则m的取值范围是______． 16. 如图，四边形是边长为4的正方形，点E是边上一动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得到，过点E作交于点H，连接．则在点E移动过程中，线段的最小值为______． 三、解答题：本题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 设． （1）当时，求的值． （2）当 且 时，求x的取值范围． 19. 如图，中，，．将绕点B顺时针旋转至位置，点A，B，D在同一直线上． （1）若，求证：． （2）在（1）的条件下，求点A经过的路径长． 20. 为了引导学生对家乡历史、人文、经济、社会等更多的关注，某初中对全体八、九年级的学生进行了以“知家乡、爱家乡”为主题的知识竞赛． 【数据的收集和整理】 学校从两个年级抽取数量相同的学生成绩进行分析，并将学生测试成绩（得分为x）分成四个等级，A：；B：；C：；D：，获得以下信息： ①抽查九年级测试成绩条形统计图和抽查同学测试成绩扇形统计图（均不完整）： ②两个年级被抽查的同学中满分100分的共有2人，本次达到D组成绩的有10人，其中八年级D等级的成绩各不相同，九年级测试成绩D等级的全部成绩如下：91，92，93，93，93，94，100． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次共抽取______人的成绩，两个年级中D组成绩的众数是______ （2）小靓发现自己的分数正好是她所在年级抽查学生成绩的中位数，小丽看了这个分数后说：“小靓的成绩在我们年级成绩是中上等水平”，请你根据这些信息，判断小靓是哪个年级的学生，并说明理由． 21. 《年国家健康指南》中健康生活方式聚焦吃动平衡、健康体重、减少久坐等核心．如图是小区、公园、村阳光运动区域中常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图，从侧面看踏板静止时踏板连杆与立柱上的线段重合，长为． （1）如图，当踏板连杆绕着点旋转到处时，测得，此时点离地面的距离是，求的长． （2）如图，从侧面看当人在漫步时，为了安全两个踏板连杆形成的张角不超过，且关于对称，求两个踏板之间距离的最大值． （结果精确到．参考数据） 22. 如图，矩形， ， ． （1）用直尺和圆规作出一个平行四边形，须满足：①平行四边形的面积是矩形面积的一半；②；③与在同侧． （2）在（1）的条件下， ①求证： 是等边三角形； ②若是等腰三角形，请直接写出的值． 23. 已知二次函数（a，c是常数，）． （1）求该函数图象的对称轴． （2）当时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值． （3）已知点，都在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 24. 已知，如图①，是的直径，，点E是上一动点（点E与点C在直径的两侧，且点E不与A，B重合），连接，连接交于点F，连接分别交于点G，H． （1）求证：． （2）试问：在点E在运动过程中，的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由． （3）如图②，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $