精品解析：2026年浙江杭州市上城区九年级学情调查数学试卷

2025学年第二学期九年级学情调查 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 2026年是“十五五”开局之年，浙江省级重点项目年度计划投资达1100000000000元，精准投向交通强省、能源转型等核心领域．将数据“1100000000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义确定a和n的值即可，科学记数法的表示形式为，要求满足，n为整数，n等于原数的整数位数减1． 【详解】解：∵待表示的原数为1100000000000，共13位整数， ∴， 将原数整理为满足的形式，得， ∴． 3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，在原正方体中，与“城”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 美 B. 好 C. 教 D. 育 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体展开图的特征，通过空间折叠想象进行判断即可． 【详解】∵在第二行中，“美”与“教”中间隔着“好”， ∴“美”与“教”相对， 若以“美”字所在面为正面，则“城”字所在面为上面，“好”字所在面为右面，“上”字所在面为左面，“教”字所在面为后面，“育”字所在面为下面， ∴“城”与“育”相对，“上”与“好”相对 ． 4. 下列整式运算，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的基本运算法则，包括合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，由对应法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故A计算错误； 选项B：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，得，故B计算错误； 选项C：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得，故C计算正确； 选项D：根据积的乘方法则，每个因式分别乘方，得，故D计算错误． 5. 已知点，将点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点．若点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据点平移时“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的规律即可求解. 【详解】∵将点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， ∴的横坐标． 6. 如图是的高，，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由含30度角的直角三角形的性质可求出，结合勾股定理可求出．再根据正切的定义得出，即可求出，最后计算即可． 【详解】∵是的高，， ∴， ∴， ∴． ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键． 7. 杭州某中学为传承宋韵文化，开展（A．宋词诵读，B．书法篆刻，C．宋韵剪纸，D．陶艺制作）四个类型的文化体验活动，从全校学生中随机抽取部分学生进行“最喜爱的活动类型”抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．下列说法正确的是（ ） A. 本次抽样调查的样本容量为500 B. C类活动所对应的扇形圆心角度数为 C. 选择D类活动的学生人数为50人 D. 若该校共有初中学生1200人，则该校选择B类活动的学生大约有320人 【答案】B 【解析】 【分析】根据A类人数求出样本容量，进而求出选择D类活动的学生人数及C类活动所对应的扇形圆心角度数，进而求出样本中选择B类活动的人数，即可求出该校选择B类活动的学生． 【详解】解：由条形图可知A类有100人，由扇形图可知A类占， 样本容量为：，故A选项错误； D类占， 选择D类活动的学生人数为：（人），故C选项错误； C类有140人， C类活动所对应的扇形圆心角度数为：，故B选项正确； 样本中选择B类活动的人数为：（人）， 该校选择B类活动的学生大约有：（人），故D选项错误． 8. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 若函数图象分布在第二、四象限，则 B. 若点在函数图象上，且，则 C. 若，则当时，的最大值为 D. 若函数图象上有两点，满足且，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的系数的正负，结合反比例函数的图象与性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数， 对选项A：∵函数图象分布在第二、四象限， ∴，解得，A说法正确； 对选项B：当，即时，在内，y随x的增大而增大， ∵， ∴； 当，即时，在内，y随x的增大而减小， ∵， ∴，题中的结论不成立，B说法错误； 对选项C：∵， ∴， ∵时，反比例函数y随x增大而减小， ∴时，时y取最大值，最大值为，C说法正确； 对选项D：∵，若，则说明时，时， 可得，即，D说法正确． 9. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径画，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，作直线，交于点，交于点．则下列说法正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等腰三角形内角和定理计算和的度数．根据作图知，所以是等腰三角形，可推导、的度数．因为是的垂直平分线，所以，是等腰三角形，可推导相关角的度数．针对每个选项，结合上述推导的角度、线段关系，利用等腰三角形判定、角平分线定义、三角形内角和、三角形面积公式等逐一分析判断． 【详解】解：∵，， ∴． 由作图，， ∴， ∴， ， ∴，且． 由作图，到、的距离都等于， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 选项A：∵， ∴， ∴不平分，故A错误． 选项B：∵，， ∴， ∴，故B正确． 选项C：∵，，， ∴，故C错误． 选项D：和同高，面积比等于底，由计算得，因此，D错误． 10. 如图（1），在中，，矩形内嵌于．顶点F，G在边上，点D在边上，点E在边上．当矩形以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动（当G点与C点重合时停止运动）．设运动时间为x秒，矩形与重叠部分的面积为S．如图（2）为S关于x的函数图象，且经过点，．下列选项正确的是（ ） A. B. 重叠部分面积的最大值为140 C. D. 点在函数图象上 【答案】C 【解析】 【分析】设矩形的长，宽，由及可知为等腰直角三角形，故 ，当时，矩形右侧超出的部分是直角边为x的等腰直角三角形，面积，结合图象点及转折点特征，可求出a，h的值，进而分段求出S与x的函数关系式，验证各选项． 【详解】解：设矩形的长，宽， ∵矩形内嵌于，，， ∴是等腰直角三角形，， 当时，矩形向右平移距离为x，右侧超出的部分是直角边为x的等腰直角三角形，  ∴， 由图（2）知，当时，，且图象发生转折，说明此时F点运动到C点，即， ∴，解得， ∴，故A选项错误； 矩形面积最大值为，故B选项错误； 当时，F点已过C点，G点在C点左侧（G距C点距离为，且）， 重叠部分面积S等于右侧固定的等腰直角三角形面积（直角边为 10）加上左侧矩形面积， ∴， 当时，，故C选项正确； 当时，G点在C点左侧且距C点距离小于10，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为，  ∴， 当时，，故D选项错误． 二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分． 11. ______ 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式的解集，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 13. 因式分解：_____． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 14. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过列举得到所有等可能的结果数，以及两次取出的小球标号和等于4的结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵随机取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球， ∴所有等可能的结果为：，，，，，，，，， ，，，一共种， 其中两次取出的小球标号的和等于的结果为：，，共种， 则两次取出的小球标号的和等于4的概率是． 15. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 【答案】的长或的长 【解析】 【分析】根据题意，，在中，利用勾股定理构造方程，整理得，对比题干的方程可知，是方程的正根，结合等量代换可知，也是方程的正根． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴ ， 整理，得， ∴是方程的正根， ∵，， ∴ ，即， ∴也是方程的正根． 16. 如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且． （1）若，则___________． （2）若，则四边形与的面积比为___________（用含的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠、矩形的性质与判定、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、三角函数关系等知识，题目比较综合． （1）利用折叠的性质得到 ，结合矩形性质证得，再证明为中点，即为矩形中心，从而易证，得出，即可得出答案； （2）令，证明，利用面积公式和三角函数关系即可求出面积比． 【详解】解：（1）由折叠可知 ，  ∴，， ∵ 四边形 是矩形 ， ∴，  ∴，  ∴，  ∵， ∴，  ∴，  ∵， ∴，  在 中，， ∴， 设 ，则 ，， 在直角中，， 在直角中，，  ∵， ∴，  ∵， ∴ ∴为中点， 即为矩形中心， ∴ ∴， ∵， ∵ 四边形 是矩形 ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）令， 在直角中，， 在直角中，，  ∵， ∴，  ∴，  ∴， 在直角中，， 由折叠可知，  在直角中， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，  ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 化简得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 化简求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简整式，再代入计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：． 小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得 步骤②：去括号，得 步骤③：移项，得 步骤④：合并同类项，得 步骤⑤：系数化为1，得 （1）小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________； （2）请写出该一元一次方程正确的解答过程． 【答案】（1）①，方程右边未同时乘6 （2）解答过程见详解 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤，逐一检查，即可找出第①步错误及其原因； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1，逐一求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，小程在解题过程中第①步开始出现问题，虽然方程左边同时乘上分母的最小公倍数6，但是方程右边未同时乘6，导致接下来的步骤出现错误． 【小问2详解】 解：步骤①：去分母，得 步骤②：去括号，得 步骤③：移项，得 步骤④：合并同类项，得 步骤⑤：系数化为1，得． 19. 如图，某手工兴趣小组在正方形纸板上裁剪十字形装饰纸板，设计了正方形“十字架”结构：在上取一点，连接，过点作，交于点，交于点． （1）请写出的证明过程． （2）若正方形纸板的边长，且为的中点，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 2026年，杭州某中学开展“最美杭州”文明实践，调查初三年级学生参与“西湖先锋”社区公益、西湖景区文明引导等志愿服务的次数，随机抽取了该年级部分学生进行调查，得到如下不完整的频数分布表： 志愿服务次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次 频数（人数） 2 5 a 8 b 8 已知以下信息： ①参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的； ②参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的___________，___________； （2）求本次调查中，学生参与志愿服务次数的众数和中位数； （3）若该校初三年级共有450名学生，据调查结果，估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数，为学校后续组织志愿者活动提供人数参考． 【答案】（1）10，17 （2）学生参与志愿服务次数的众数和中位数分别为5和4.5 （3）估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数为297人 【解析】 【分析】（1）先算出调查抽取的学生总人数，再根据参与志愿服务次数为3次的学生的占比求出a的值，最后用总人数分别减去不同次数的人数即可得到b的值； （2）根据中位数和众数的定义即可得出结果； （3）用样本估计总体，可知该校初三年级共有学生450名中， 本学期志愿服务次数不低于4次的学生频率，再用450乘以该频率即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的， ∴抽取的学生人数为：（人）， ∵参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵抽取的学生人数为50人， ∴第25、26人在志愿服务次数分别为4次和5次， ∴中位数为：， ∵本次调查中，学生参与志愿服务次数为5次的人最多，有17人， ∴众数为5． 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数为297人． 21. 一次函数，当时，记该函数在区间上的最小值与最大值的和为．如一次函数，当时， （1）若一次函数满足，，求k和b的值； （2）已知一次函数的图象经过点，且，证明：． 【答案】（1）， （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可得，，联立两个方程建立二元一次方程组即可求解； （2）根据题意可得，再得出，从而得到，即可证得结论． 【小问1详解】 解：由题意知，， 整理得：， ， 整理得：， ∴，解得． 【小问2详解】 证明：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∵， ∴，解得：． 22. 如图，在中，为的直径，点D为上一点，且，与相切于点D，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，由得到，从而证得，由直径所对圆周角为直角可求得，即可证得结论； （2）延长交于点H，先证得四边形为矩形，根据已知条件可求得，利用解直角三角形可求得的长度，四边形是直角梯形，利用梯形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点H， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 23. 某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． （1）求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； （3）乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 【答案】（1） （2）乒乓球此次飞行能够顺利越过球网 （3）击球点与原点O的水平距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意设函数表达式为，将点代入即可求得结果； （2）将代入函数表达式进行判断即可； （3）先求出乒乓球在桌上的落球点坐标，再根据题意设平移后的，代入求出a的值，最后将代入即可求得结果． 【小问1详解】 解：由题意知，设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：当时，, ∴乒乓球此次飞行能够顺利越过球网． 【小问3详解】 解：对于函数， 当时，，， ∴乒乓球在桌上落球点坐标为， 由题意，弹起后的图象是由y向右平移a个单位，再向下平移0.25个单位得到， ∴， ∵过点， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 当时， 解得，（球在桌外，不合题意舍去）， ∴击球点与原点O的水平距离为． 24. 如图，在菱形中，，点E为菱形内部一点，将绕B点顺时针旋转，使边与重合，得到，且点M、A、E在同一直线上．延长交射线于G点，延长交射线于F点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）当E在内部运动时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，菱形的性质得出，，，证得，从而得出结果； （2）连接，利用菱形的性质得出，从而通过邻补角的定义求得，进而证得，利用相似三角形的性质即可求得结果； （3）由旋转的性质结合邻补角的定义可得出点A，E，C，B四点共圆，由（2）的结论证得，设，，利用勾股定理表示出相关线段的表达式，再证明，从而得到，当时，则有最小值2． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴是等边三角形， ∴， 在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 在菱形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由题意知，， ∵， ∴， ∴点A，E，C，B四点共圆， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∴， 设，， 如图，过点F作交于点H， 在中，， ∴，则， ∴， 在中，， ∴由可得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则有最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级学情调查 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年是“十五五”开局之年，浙江省级重点项目年度计划投资达1100000000000元，精准投向交通强省、能源转型等核心领域．将数据“1100000000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，在原正方体中，与“城”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 美 B. 好 C. 教 D. 育 4. 下列整式运算，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，将点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点．若点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 6. 如图是的高，，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 杭州某中学为传承宋韵文化，开展（A．宋词诵读，B．书法篆刻，C．宋韵剪纸，D．陶艺制作）四个类型的文化体验活动，从全校学生中随机抽取部分学生进行“最喜爱的活动类型”抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．下列说法正确的是（ ） A. 本次抽样调查的样本容量为500 B. C类活动所对应的扇形圆心角度数为 C. 选择D类活动的学生人数为50人 D. 若该校共有初中学生1200人，则该校选择B类活动的学生大约有320人 8. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 若函数图象分布在第二、四象限，则 B. 若点在函数图象上，且，则 C. 若，则当时，的最大值为 D. 若函数图象上有两点，满足且，则 9. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径画，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，作直线，交于点，交于点．则下列说法正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 10. 如图（1），在中，，矩形内嵌于．顶点F，G在边上，点D在边上，点E在边上．当矩形以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动（当G点与C点重合时停止运动）．设运动时间为x秒，矩形与重叠部分的面积为S．如图（2）为S关于x的函数图象，且经过点，．下列选项正确的是（ ） A. B. 重叠部分面积的最大值为140 C. D. 点在函数图象上 二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分． 11. ______ 12. 不等式组的解集是___________． 13. 因式分解：_____． 14. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4的概率是___________． 15. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 16. 如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且． （1）若，则___________． （2）若，则四边形与的面积比为___________（用含的代数式表示）． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 化简求值：，其中． 18. 以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：． 小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得 步骤②：去括号，得 步骤③：移项，得 步骤④：合并同类项，得 步骤⑤：系数化为1，得 （1）小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________； （2）请写出该一元一次方程正确的解答过程． 19. 如图，某手工兴趣小组在正方形纸板上裁剪十字形装饰纸板，设计了正方形“十字架”结构：在上取一点，连接，过点作，交于点，交于点． （1）请写出的证明过程． （2）若正方形纸板的边长，且为的中点，求线段的长． 20. 2026年，杭州某中学开展“最美杭州”文明实践，调查初三年级学生参与“西湖先锋”社区公益、西湖景区文明引导等志愿服务的次数，随机抽取了该年级部分学生进行调查，得到如下不完整的频数分布表： 志愿服务次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次 频数（人数） 2 5 a 8 b 8 已知以下信息： ①参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的； ②参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的___________，___________； （2）求本次调查中，学生参与志愿服务次数的众数和中位数； （3）若该校初三年级共有450名学生，据调查结果，估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数，为学校后续组织志愿者活动提供人数参考． 21. 一次函数，当时，记该函数在区间上的最小值与最大值的和为．如一次函数，当时， （1）若一次函数满足，，求k和b的值； （2）已知一次函数的图象经过点，且，证明：． 22. 如图，在中，为的直径，点D为上一点，且，与相切于点D，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 23. 某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． （1）求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； （3）乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 24. 如图，在菱形中，，点E为菱形内部一点，将绕B点顺时针旋转，使边与重合，得到，且点M、A、E在同一直线上．延长交射线于G点，延长交射线于F点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）当E在内部运动时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $