精品解析：2025年浙江省杭州市萧山区中考一模数学试题

2024学年第二学期九年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．考试结束后，试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（ ） A. P B. Q C. M D. N 2. 根据杭州市统计局发布的《2024年杭州市人口主要数据公报》，萧山区常住人口总量达216.4万人，则216.4万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体三视图，则此几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 直三棱锥 D. 球 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 5. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00—10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 9. 已知二次函数的图象经过点，，若，则下列可能成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（ ） A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11 计算：________． 12. 有9张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到9中的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，则抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是_____． 13. 如图，，平分，若，则________． 14. 命题“若，则关于x的一元二次方程必有实数根”是________命题（填“真”或“假”）． 15. 已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后点仍在这个正比例函数的图象上，则________． 16. 如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则________． 三、解答题：本题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲： 乙： 信息二：服务质量得分统计图（满分10分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7 乙 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中______；______；______．（填“”“”或“”）． （2）综合表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 20. 科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 21. 小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，） 22. 如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． 23. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式． （3）已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 24. 已知正方形内接于，边以点C为中心顺时针旋转到，连接分别交，边于点F，G． （1）如图1，若是的切线， ①求的度数； ②连结，求证：． （2）如图2，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期九年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．考试结束后，试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（ ） A. P B. Q C. M D. N 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点的绝对值的范围，然后比较范围即可解答． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是， 故选：A． 2. 根据杭州市统计局发布的《2024年杭州市人口主要数据公报》，萧山区常住人口总量达216.4万人，则216.4万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：216.4万． 故选：C． 3. 如图是某几何体的三视图，则此几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 直三棱锥 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状， 主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形． 主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥，由此可以得出答案． 【详解】解：主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥， 此几何体为圆锥， 故选：B． 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，先将原代数式变形为，再整体代入得，再变形得，再一次整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明是解题的关键．根据题意可证明得到，然后代入数值即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ， ，即， 故选：D 6. 从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00—10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图的知识，准确理解折线统计图所含信息、数形结合是解答本题的关键．根据折线统计图提供的信息逐项判断即可． 【详解】解：通过统计图发现，乘坐地铁所用的时间的连线最接近水平，受时间段的影响产生的波动的幅度最小，即地铁出行受出发时刻的影响较小，①说法正确； 通过统计图发现，若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，②说法正确； 通过统计图发现要30分钟内到达必须要在6:30之前出发才可以，故③说法错误； 故选：A． 7. 如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，先由等腰三角形得到，再解即可表示，即可求解． 详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则，分别表示出和即可求解． 【详解】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b， 则， ∴， ∵， ∴． 故选C． 9. 已知二次函数的图象经过点，，若，则下列可能成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，不等式的性质，先把点的坐标分别代入解析式得到，，再 由，然后依次对各选项进行判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的 关键. 【详解】解：、∵二次函数的图象经过点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴当时，可能成立，原选项正确，符合题意； 、∵， ∴，即， 若若时，则，原选项可能不成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， 若时，则，原选项可能不成立，不符合题意； 故选：． 10. 如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（ ） A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据四边形和四边形是正方形，得出，，，，即可得，连接，证明，得出，即可证明点三点共线，延长，过点作交的延长线于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，则四边形和四边形是矩形，则，证明，得出，即可得，证出四边形是正方形，即可得，从而得，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，即可得出，即，故①正确；连接，证明，得出，即可得，从而证出点三点共线，故②正确. 【详解】解：连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ，， ∴， 连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， 延长，过点作交的延长线于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点， 则四边形和四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， 即，故①正确； 连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线，故②正确； 故选：A． 【点睛】该题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 有9张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到9中的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，则抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先得出2的倍数，再根据概率公式即可得出结论． 【详解】∵1到9中2的倍数有2，4，6,8四个数， ∴P=. 【点睛】本题考查的知识点是概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式. 13. 如图，，平分，若，则________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数，角平分线的计算，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 先由平行得到，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 14. 命题“若，则关于x的一元二次方程必有实数根”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，一元二次方程根的判别式，利用完全平方公式变形求值，以及平方的非负性，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程必有实数根， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 15. 已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了点的平移、正比例函数的性质等知识点，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键． 设，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，然后代入求解即可． 【详解】解：设，则把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为， ∵在正比例函数的图象上， ∴，解得：， ∵ ∴． 故答案为：2． 16. 如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，先求出，证明为等腰直角三角形，得出，设，，则，，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，，则，，， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题：本题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及二次根式的乘法运算等知识点，掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘方和二次根式的乘法运算，再进行有理数的乘法运算，最后进行加减计算． 【详解】解：原式， ， ． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲： 乙： 信息二：服务质量得分统计图（满分10分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7 乙 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______；______．（填“”“”或“”）． （2）综合表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1），， （2）应选择甲快递公司，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数、平均数和方差，熟练掌握调查统计的相关知识是解题关键． （1）根据中位数、平均数和方差的公式求解即可得； （2）根据中位数、平均数和方差的意义进行决策即可得． 【小问1详解】 解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 则， ， ， ， 则， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：∵从配送速度得分看，在平均数和中位数上，甲和乙的得分相差不大；从服务质量得分看，甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲快递公司的评价得分更稳定， ∴小丽应选择甲快递公司． 20. 科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）月利润不高于100万元时共经历4个月 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键； （1）根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法求解出反比例函数解析式，再求出一次函数图象经过点，利用待定系数求解即可； （2）分别求出当时，反比例函数中，一次函数中，即可解答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象经过点 ∴， ∴反比例函数表达式为； 又当时，， ∴一次函数图象经过点，， 即， ∴， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，对于反比例函数，对于一次函数， ∴月利润不高于100万元的月份有2月份，3月份，4月份和5月份， ∴月利润不高于100万元时共经历4个月． 21. 小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，） 【答案】小车行驶符合安全规范 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由勾股定理得，证明，则，求出 ，再求出 ，最后比较即可． 【详解】解：中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴小车行驶的速度为， ∴小车行驶符合安全规范． 22. 如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由黄金分割的定义得到，，然后由作图可知，进行等量代换，再由两边成比例且夹角相等证明相似； （2）由得到，则，再代入数据求解． 【小问1详解】 证明：∵点P是线段的黄金分割点，， ∴，， 由作图可知，， ∴，即， 又， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式． （3）已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数平移的性质，函数增减性式关键． （1）根据解析式得到对称轴直线，再代入计算函数值即可求解； （2）由题意得平移后的解析式为，将代入，运用待定系数法即可得到解析式； （3）根据题意得到，结合题意得到，，所以原式，可得，结合二次函数顶点坐标即可求解． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得平移后的解析式为，将代入， ∴， ∴， ∴二次函数表达式为； 【小问3详解】 证明：二次函数化为一般式得， ∴， ∵和是该二次函数图象上任意两点， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴原式， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，， ∴． 24. 已知正方形内接于，边以点C为中心顺时针旋转到，连接分别交，边于点F，G． （1）如图1，若是切线， ①求的度数； ②连结，求证：． （2）如图2，连接，求证：． 【答案】（1）①；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆综合，涉及的主要知识点有圆周角定理，切线的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等，解答该题的关键是掌握以上知识点． （1）①连接，根据正方形的性质易证经过圆心O，再由是切线，得到，求出，由旋转，得到，利用即可求解；②连接，延长相交于点M，证明，推出， 再证明，推出，即可证明； （2）根据是内接于正方形的边长，得到，进而得到，易证点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上，利用圆周角定理求出，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，①连接， ∵正方形内接于， ∴由对称性可知，经过圆心O， ∴ 而是切线， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； ②证明：连接，延长相交于点M， 由题可知，，，， ∴ ∴， 又是的直径， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是内接于的正方形的边长， ∴， ∴， 又， ∴点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$