黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高三下学期学情自测数学试卷

数学答案： 一、单选题 1-8．DBCB CADA 二、多选题 9．BC 10．BCD 11．ACD 三、填空题 12．； 13．3； 14．． 四、解答题 15．解：（1）（6'） ．　　4' ．　　6' （2）（3'） 由（1）知，，由．　　7' 得，的单调减区间为．　　9' （3）（4'） 即．　　11' ，不等式成立的的取值集合为．　　13' 16．解：（1）（3'）1—5组的频率分别为0.15，0.2，0.3，0.2，0.15， ．　　3' （2）（7'）依题意 　　8' ，， 63分应聘者成绩进入范围内，72分应聘者成绩没有进入范围内．　　10' （3）（5'）在内抽人，在内抽人．　　11' 设“抽取的两人成绩均在内”为事件A，则“抽取的两人成绩至少一人在内”为事件，设“抽取的两人成绩均在范围内”为事件B 则，，所以．　　13' 则．　　15' 17．（1）（3'）因为平面平面，平面平面，平面， 又因为，所以，所以平面．　　3' （2）（7'）因为，所以，再由（1）知、、两两垂直， 建系如图，，，，．　　4' ，， 设是平面的法向量， 由，可得，取，则，　　6' 设是平面的法向量， 由，可得，取，则，　　8' 二面角为锐角，余弦值为，　　10' （3）（5'）由，得， 因为，直线与平面不平行，与平面相交，　　12' 在四边形中延长、交于点，平面，所以平面， 点是直线与平面的交点． 13' 因为，是中点，所以，所以， 所以，　　15' 18．（1）（4'）设，由，得，　　2' 曲线的方程为：　　4' （2）（5'）设点，过的切线为 联立得，由，，得 所以切线方程为，代入得 同理，抛物线在处切线方程： 切线过得，直线的方程为　　7' 联立得所以， 　　9' （3）（9'）设直线的方程为，设， 联立：韦达定理得：， 法一：， 由得：得　　12’ 所以化简得： 直线方程为：即恒过定点：　　14' 法二：由及得 整理得：　　12' 所以化简得： 直线方程为：即恒过定点：　　14' 直线，且恒过定点，所以．动点的运动轨迹是以线段为直径的圆，圆心即为线段的中点，平面内存在定点，使得为定值，定值为．　　17' 19．（1）（7'）令，则函数的零点等价于方程的实数根． 1' 令，得． 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增． 又时，且小于0；时，；时，．　　3' ①当时，方程无实根，无零点；　　4' ②当时，方程有唯一实根，有1个零点；　　5' ③当时，方程有两个不同实根，有2个零点；　　6' ④当时，方程有唯一实根，有1个零点．　　7’ （2）（10'）法一：当，时，即证： 由（1）， 可证：　　9’ 设 ①当时，　　11' 由（1）知， 此时　　12’ ②当时， 令，则，在上单调递增， 故　　14' ，所以在上单调递增．　　15' 所以17' 综上，当，时，． 法二：当，时，即 可证： 设函数（） 函数开口向上，对称轴为因此在上单减． 所以 故欲证，只需证，．　　9' 设 ①当时同法．　　12' ②当时 设，在单调递增 所以，（）．　　13' 设，， 其在处切线方程为．　　14' 当时，．　　15' 设 在单调递增 在单调递增，．　　17' 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2025—2026学年度高三下学期 第四次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分共2页） 第I卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1．设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ） A． B． C． D． 2．已知，若复数是方程的根，则的值为（ ） A．4 B．2 C． D． 3．在中，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．已知，是空间中的两条直线，且直线平面，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．神经网络系统在人工智能研发中扮演关键角色．一种神经网络系统的工作原理如下：将一个正整数列输入系统，系统将相邻两项依次相加，再将得到的新数列输出——以上过程称为一个“阶段”，例如，输入1，2，3，9，将输出3，5，12；现向系统中输入100个“1”，将系统输出的结果再次输入系统，重复上述过程，总共经历个“阶段”的运算后，结果为一个正整数；若满足，则，的值分别为（ ） （参考数据：） A．99；29 B．99；28 C．999；299 D．999；298 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知事件，满足，，则（ ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 10．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，，其中，则（ ） A．当时，平面 B．当时， C．当时， D．三棱锥的外接球半径的最小值为 11．数列满足，，现将数列按如图规律填入三角形中，第一行一个，第二行两个，第三行三个…以此类推，设三角形第行数字之和为数列，则下列正确的为（ ） A． B． C． D． 第II卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12．已知一个物体在三个力，，的作用下处于静止状态，则_________． 13．已知函数在处取得极大值，则_________． 14．甲、乙两同学分别从6门选修课程中任意选取3门，设为这6门课程中被选到的课程数量，则的数学期望为_________． 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合． 16．某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试．应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）估计此次测试分数的平均值； （2）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （3）从成绩在与范围内的两组中，按比例分层抽取7人．现从此7人中随机抽取两人，已知抽取的两人中至少有1人的成绩在的范围内，求这两人的成绩都在范围内的概率． （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 17．如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 18．设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是2．记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求； （3）直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值， 19．已知函数，． （1）讨论函数的零点个数； （2）证明：当，时，． 参考数据： 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $