18.3 正方形-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

18.3 知识储备 1.正方形既是 图形，又是 图形. 2.正方形的性质：(1)四条边都 ;(2)四个角 都是 ;(3)对角线 3.正方形的判定：有一个角是 的菱形是 正方形；有一组 相等的矩形是正方形， +十十十十十十十十十十十十w十十十+十十十十十 01基础练 必各知识梳理 知识点一 正方形的性质 1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是 A.四条边相等，四个角相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 2.正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,OA=3,则此正方形的面积为 3.(2025·南阳校级期末)如图， P是正方形ABCD的对角线 AC上的一点，PE⊥AD于点 E,PE=3,则点P到直线AB 的距离为 4.【教材P141习题T2变式】如图，在正方形 ABCD中，点M,N分别在AB,BC上，且 BM=CN,AN与DM交于点P, (1)求证：△ABN≌△DAM; (2)求∠APM的大小. 正方形 知识点二正方形的判定 5.如图，将长方形纸片折叠，使 点A落在边BC上的F处，折 痕为BE,若沿EF剪下，则折B 叠部分展开是一个正方形，其数学原理是 6.(2025·乐山)如图，在□ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个 条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个 条件可供选择：①AC⊥BD:②AC=BD; ③∠ADC=90°.则正确的组合是 (只 需填一种组合即可). 7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分 ∠ACB交AB于D,DE⊥AC,DF⊥BC,垂 足分别为E,F.求证：四边形CEDF是正方 形. 8.如图，Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， CD是AB边上的中线，四边形ADCE是平 行四边形.求证：四边形ADCE是正方形. 助学助教优质高数84 02综合练 膏关健能力捉升一 9.【教材P147复习题T13变 式】如图，正方形ABCD的边 长是4，对角线AC,BD相交 于点O,点O是另一个正方 形A'B'CO的顶点，将正方 形A'B'CO绕点O旋转，A'O交AD于E, CO交AB于F,则四边形EOFA的面积是 10.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点 O,分别以点B,C为圆心，2AC,号BD长为 半径画弧，两弧交于点P,连结BP,CP. (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明 理由； (2)请说明当口ABCD的对角线满足什么条 件时，四边形BPCO是正方形？ 85八年级数学·下册·HS 03素养练 手李科老杀路方一 11.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，有 一较大的直角三角板，一边始终经过点B, 直角顶点P在射线AC上移动，另一边交 DC于点Q. (1)如图1，当点Q在边DC上时，探究PB 与PQ所满足的数量关系.小明同学探 究此问题的方法如下： 过点P作PE⊥DC于点E,PF⊥BC于 点F,根据正方形的性质和角平分线的 性质，得出PE=PF,再证明△PEQ≌ △PFB,可得出结论，他的结论应是 (2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时， 猜想并写出PB与PQ满足的数量关 系，并证明你的猜想 D E O 图1 图2=AC·(OD+OB)=)AC·BD.∴Snn= a6 【针对练习】 36 5 18.2.2菱形的判定 知识储备 1.相等2.互相垂直 基础练 1.D2.证明：.□ABCD,..AD∥BC.,.∠DAC=∠ACB..AC平分 ∠BAD,.∠BAC=∠DAC.∴.∠BAC=∠ACB,∴.AB=CB.又□ABCD ∴□ABCD是菱形.3.菱形四条边相等的四边形是菱形 4.证明：：BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中， /ABD=∠CBD, ∠A=∠C, .△ABD≌△CBD..AB=BC,AD=CD.又AB= BD=BD. AD,∴AB=BC=CD=AD..四边形ABCD是菱形.5.C6.AC⊥BD (答案不唯一)7.证明：连结BD,交AC于O.,四边形 ABCD是菱形，∴.BD⊥AC,AO=CO,BO=DO..AE= CF,∴.EO=FO.又BO=DO,∴.四边形BEDF是平行四 边形.又BD⊥EF,∴.平行四边形BEDF是菱形.8.C 9.B10.2611.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，，.BC∥AD ∴.CF∥ED.∴.∠FCD=∠EDG.,G是CD的中点，.CG=DG.在△FCG I∠FCG=∠EDG, 和△EDG中，CG=DG, ..△FCG2△EDG(ASA)..∴.FG=EG ∠CGF=∠DGE. ,CG=DG,∴四边形CEDF是平行四边形；(2)解：：四边形CEDF是菱 形.∴CE=DE.:∠CDE=∠B=60°，∴△CDE是等边三角形.DE= CD=3,.AE=AD-DE=2.故答案为：212.(1)证明：，AB∥DC, ∠OAB=∠DCA.,'AC为∠DAB的平分线，∴.∠OAB=∠DAC.∴.∠DCA =∠DAC.∴.CD=AD=AB.,AB∥DC,∴.四边形ABCD是平行四边形 AD=AB,.平行四边形ABCD是菱形；(2)解：，四边形ABCD是菱形， 0A-OC.BDLAC.CELAB.0E=OA=OC.BD=2.0B- BD=1.在Rt△AOB中，AB=√5，OB=1,,∴.OA=√AB2-OB2=5-1= 2..OE=OA=2. 18.3正方形 知识储备 1.轴对称 中心对称2.相等直角相等且互相垂直平分3.直角 邻边 基础练 1.D2.183.34.(1)证明：.正方形ABCD,.AD=AB=CB,∠DAB =90°=∠B.,BM=CV,∴.AB-BM=CB-CN.即AM=BN.,AD= BA,∠DAB=∠B,∴.△ABN≌△DAM;(2)解：'△ABN≌△DAM, ∴.∠ADM=∠BAN.又∠ADM+∠AMD=90°，.∴.∠BAN+∠AMD=90° ∴.∠APM=90°.5.有一组邻边相等的矩形是正方形6.①②7.证明： ,CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,∴.∠DEC=∠DFC=90°，DE=DF. 又∠ACB=90°，∴.四边形DECF是矩形.又DE=DF,.矩形DECF是正 方形.8.证明：.AC=BC,∠ACB=90°，CD是AB边上的中线.∴.∠B ∠BAC=45,CD=AD=2AB.∠BAC=∠ACD=45°.∴∠ADC=180 45°X2=90°.平行四边形ADCE,AD=CD,.□ADCE是菱形.又 ∠ADC=90°，，.菱形ADCE是正方形.9.410.解：(1)四边形BPCO为 平行四边形.理由：：四边形ABCD为平行四边形，.OC=OA=?AC,OB =OD=号BD.:以点B,C为圆心，？AC.2BD长为半径画弧，两弧交于点 P,∴.OB=CP,BP=OC.∴.四边形BPCO为平行四边形；(2)当AC⊥BD, AC=BD时，四边形BPCO为正方形.，AC⊥BD,∴.∠BOC=90°.∴.□BD C0是矩形.：AC-BD,OB=2BD.OC-2AC,OB=0C.矩形BPC0 为正方形.11.PB=PQ解：PB=PQ.证明：过 点P作PE⊥BC,交BC的延长线于点E,PF⊥CD 交DC的延长线于点F..P,C为正方形对角线AC 上的点，∴.CP平分∠ECF,∠BCD=90°.又PE⊥ CB,PF⊥CQ,.∴.PF=PE,∠PEC=∠PFC=90° .四边形PECF是矩形.又PE=PF,.矩形 图2EP PECF为正方形.∴.∠EPF=90°=∠EPB+∠BPF.又∠BPQ=90°= ∠BPF+∠QPF,∴.∠EPB=∠QPF.又∠E=∠PFQ=90°，PE=PF, ∴.△PEB≌△PFQ.∴PB=PQ. 模型构建专题（二）与正方形有关的几种几何模型 1.解：BE=AF且BE⊥AF.理由如下：，四边形ABCD是正方形，AB= AD=CD,∠BAE=∠D=90°.又DE=CF,,∴.AE=DF...△ABE≌ △DAF(SAS)..BE=AF,∠ABE=∠DAF.,∠DAF+∠BAF=90°， .∠ABE+∠BAF=90°∴.∠AGB=90°，即BE⊥AF. 2.解：（一）DE=AF;(二)过点D作DP∥EF交AB于点P, 过点A作AQ∥GH交BC于点Q,如图②所示：'EF⊥GH, ,DPGH.同（一）可证明：△ADP≌△BAQ(SAS),..DP AQ.四边形ABCD是正方形，且AB=4,.AB∥CD,AD∥ G 0. BC,AD=AB=4.又DP∥EF,AQ∥GH,∴.四边形DFEP, 四边形AGHQ都是平行四边形.∴.EF=DP,PE=DF,GH=AQ.∴.GH= EF.点E为AB的中点，DF=1,AE=2AB=2,PE=DF=1.AP AE-PE=1.在Rt△ADP中，由勾股定理，得DP=√AD十AP= √4+1=√I7,.GH=EF=DP=I7;(三)，四边形ABCD是正方形， 且AB=3,∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.正方形ABCD的面积为9，设 图中阴影部分的面积为S.,图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积 之比为2：3，.S:9=2:3,S=6.S△ABG十S四边形GEDF=9一6=3.在 (AB=BC. △ABE和△BCF中，∠ABE=∠BCF=90°， BE=CF. ∴.△ABE≌△BCF(SAS).S△ABE=S△F.·'S△ABE-S△GE=S△F-S△GE· 六SAAG=Sg边形0EDF..SAg=习. =.3.1)=(2)44.95.10证 明：.BE⊥PA,DF⊥PA,..∠BEA=∠AFD=90° .四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90°.∴.∠BAE+∠DAF =∠ADF+∠DAF=90°..∴.∠BAE=∠AD.在△BAE和△ADF中， BEA-AFD. ∠BAE=∠ADF,∴.△BAE≌△ADF(AAS).∴.BE=AF,AE=DF AB-AD, .AF-AE=EF,.'BE-DF=EF,BE=EF+DF;(2)DF=BE+EF. 证明：，四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAE十∠DAF=90°.，BE ⊥PA、DF⊥PA,∴.∠AEB=∠DFA=90°.∴.∠BAE+∠ABE=90° ABE-DAF. ,∴.∠ABE=∠DAF.在△ABE和△DAF中，∠BEA=∠AFD=90° AB-DA. ∴.△ABE≌△DAF(AAS).∴.BE=AF,AE=DF. ,AE=AF十EF,∴.DF=EB十EF; (3)EF=BE十DF.证明：四边形ABCD是正方形，∴.AB =AD,∠BAD=90°..∠1+∠3=90°.，BE⊥PA、DF⊥ PA,∴.∠AEB=∠DFA=90°..∠2+∠3=90°.∴.∠1= ∠BEA=∠AFD=90°， ∠2.在△ABE和△DAF中，∠1=∠2， 图3 AB=DA. ,∴.△ABE≌△DAF(AAS)...BE=AF,AE=DF..·EF=AF+AE,.EE =EB十FD.6.证明：在AB上截取BM=BE,连结ME.'∠B=90° .∴.∠BME=∠BEM=45°.，CF平分∠DCG,,∴.∠FCG=45°...∠AME= ∠ECF=135°.：'∠AEF=∠B=90°，.∠AEB+∠CEF=∠AEB+ ∠MAE=90°.∴.∠CEF=∠MAE.AB=BC,BM=BE,.AM=EC. △AME≌△ECF(ASA)..AE=EF.7.证明：过点F作FH⊥BC,交 BC的延长线于点H..∠AEF=90°，..∠AEB+∠FEH=90°..∠ABE