精品解析：山东济南市长清区2025-2026学年下学期八年级阶段检测数学试题

八年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 中国传统纹样作为华夏文明的重要组成部分，是民族历史与祥瑞文化脉络赓续传承的生动体现．下列纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 2. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：， 得 表示在数轴上如图所示 3. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：若， 对选项A，，无法推出，A变形错误； 对选项B，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，B变形错误； 对选项C，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，C变形正确； 对选项D，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，可得，D变形错误． 4. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形需正确，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，式子左边是整式的积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B选项，变形错误，，不是正确的因式分解； C选项，式子右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解； D选项，式子左边是多项式，右边是整式的积的形式，且变形正确，属于因式分解． 5. 已知，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解. 再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求式子因式分解得：， ∵ ，， ∴ 原式． 6. 年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是正确理解题意． 设该球队前场比赛中胜了场，由负场，可知平了场，根据积分超过了分，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得 故选：． 7. 若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得，，从而求出，结合，，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到． ∴，， ∴， ∴，， ∴． 9. 如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 关于x的方程的解为 C. 直线上有两点，，若时，则 D. 关于x的不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 10. 如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定初始点的坐标，根据旋转性质求出的坐标；由每次旋转计算出旋转一周的次数，得到坐标循环周期；用总旋转次数除以周期，根据余数确定对应的坐标位置，从而选出正确选项． 【详解】解：∵中，，与轴重合， ∴初始点的坐标为． ∵将绕原点顺时针旋转得到，，将绕原点顺时针再旋转（累计旋转）得到，， ∴的坐标为． ∵每次旋转，旋转一周需要的次数为：，即周期为， ∵， ∴旋转次后，点的位置与旋转次后的位置相同，坐标为． 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可 【详解】解：． 故答案为: . 12. 将“与3的和不小于0”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找准不等关系，即可列出一元一次不等式. 【详解】解：由题意得： 13. 如图，的边长，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查平移的基本性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质，求解即可． 【详解】解：将沿方向平移cm（cm），得到， ，，， 阴影部分的周长cm． 故答案为：13． 14. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点P是在内一点，连接，，，将绕点A逆时针旋转得到．若点C，P，，恰好在同一直线上，则 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交直线于点，利用旋转的性质得，再证明，根据含直角三角形的性质及勾股定理求出的长，然后在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：过点作交直线于点， 在中，，， ，， 将绕点A逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ， ， 在中，， ， ， 若点C，P，，恰好在同一直线上， 在中，． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，勾股定理，化为最简二次根式等知识，添加正确的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0，1，2 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集， 原不等式组的解集是， ∴整数解为0，1，2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 18. 如图，在中，，，，将以点B为旋转中心顺时针旋转90°，得到．连接AC，求AC的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理等知识点，要找准旋转角以及旋转后的对应线段是解题的关键． 在中，利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理求得AC的长即可． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理可得：， ∵将以点B为旋转中心顺时针旋转90°， ∴，， 在中，． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的，并写出点的坐标_________； （3）若将平移得到，使得点A与D对应，点B与E对应，点C与F对应，其中点D的坐标为，则平移的距离为_________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； （3）根据与得到平移方式，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示：，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：，即为所求； ． 【小问3详解】 解：∵平移后的对应点为，且 ， ∴将向右平移一个单位，再向下平移4个单位，得到， ∴平移的距离为． 20. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． （1）_________，_________； （2）若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 【答案】（1）；3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）由题意可得 ，按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【小问1详解】 解： ， ， 【小问2详解】 解：由题意得 ， ∵． ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得． 21. 我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． （1）仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法： _________ ②拆项法（写出计算过程）： （2）应用：若，求a、b、c的值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 22. 为落实《长清区创建全国县域义务教育优质均衡发展区实施方案（2022-2026年）》要求，保障校园体育场地设施与器材设备达标，长清区某中学计划补充采购足球和篮球，用于课后延时服务、班级联赛及校级体育课程创新教学等．经对接长清区教育装备定点供应商询价得知：已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元． （1）求每个足球和每个篮球的售价； （2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 【答案】（1）每个足球50元，每个篮球80元； （2）最多可买43个篮球． 【解析】 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元，建立二元一次方程组求解即可； （2）设买m个篮球，则购买个足球，根据总费用不超过4000元，建立一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球x元，每个足球y元， 由题意得， 解得， 答：每个足球50元，每个篮球80元； 【小问2详解】 解：设买m个篮球，则购买个足球， 由题意得， ， 解得：， ∵m为整数， ∴m最大取43． 答：最多可买43个篮球． 23. 在北师版八下数学124页12题中我们探究过一个图形可通过两种不同的方法来计算它的面积或体积，从而得到一个数学等式．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法． 根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为：、、． （1）将图（3）中三块长方体的体积和进行因式分解： _________． （2）根据图（1）写出该立体图形的体积为：_________， 结合图（1）和图（3）思考：类比平方差公式，利用等体积法我们能得到等式：_________．（写成因式分解的形式） （3）利用在（2）中所得到的等式进行因式分解： （4）应用：若已知，，则的值． 【答案】（1） （2）；； （3） （4）81 【解析】 【分析】（1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图形体积等于图（3）的三个立体图形的体积和，可得立体图形体积关系是：； （3）根据，可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得． 【小问1详解】 解：分解因式：； 【小问2详解】 解：图（1）中立方体的体积为； 图（1）中立方体的体积也可表示为； 利用等体积法，能得到公式：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：∵，， ∴ ． 24. 如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． （1）求出m、n的值； （2）直接根据图象写出关于x的不等式的解集； （3）将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）根据函数图象即可直接得出答案； （3）设点E坐标为，先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后求出，判断出点在第二象限，根据列出方程求解即可得到点的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线：经过 ， ∴， 解得， ， 将代入直线，得：， 解得， ，； 【小问2详解】 解：根据图象可以看出，关于x的不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由（1）得直线的解析式为， 设点E坐标为， 令，解得， ∴， 令 ，解得， ∴， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积为6，且 ， ∴点E在第二象限， ∴ ∴ ． ∴， 则 ， ∴点E坐标为， 设直线平移后的解析式为，则 ， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 25. 如图1，与都是等腰三角形，，，且． （1）如图1，线段与的数量关系是_________．和的数量关系是_________． （2）如图2，若，且点D恰好落在线段的延长线上时，第一问的两个结论是否依然成立，请说明理由； （3）如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形 ，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3）的最小值为4， 【解析】 【分析】（1）根据题意得，证明，即可得出结论； （2）根据题意得，证明，即可得出结论； （3）把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，，，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵与都是等腰三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：成立，理由： ∵与都是等腰三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，      ∴，； 【小问3详解】 解：由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到（与重合），则 ，如图； ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 中国传统纹样作为华夏文明的重要组成部分，是民族历史与祥瑞文化脉络赓续传承的生动体现．下列纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 6. 年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（    ） A. B. C. D. 7. 若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 关于x的方程的解为 C. 直线上有两点，，若时，则 D. 关于x的不等式的解集为 10. 如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. 分解因式：___． 12. 将“与3的和不小于0”用不等式表示为______． 13. 如图，的边长，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 14. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为________． 15. 如图，在中，，，，点P是在内一点，连接，，，将绕点A逆时针旋转得到．若点C，P，，恰好在同一直线上，则 __________________． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在中，，，，将以点B为旋转中心顺时针旋转90°，得到．连接AC，求AC的长． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的，并写出点的坐标_________； （3）若将平移得到，使得点A与D对应，点B与E对应，点C与F对应，其中点D的坐标为，则平移的距离为_________． 20. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． （1）_________，_________； （2）若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 21. 我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． （1）仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法： _________ ②拆项法（写出计算过程）： （2）应用：若，求a、b、c的值． 22. 为落实《长清区创建全国县域义务教育优质均衡发展区实施方案（2022-2026年）》要求，保障校园体育场地设施与器材设备达标，长清区某中学计划补充采购足球和篮球，用于课后延时服务、班级联赛及校级体育课程创新教学等．经对接长清区教育装备定点供应商询价得知：已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元． （1）求每个足球和每个篮球的售价； （2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 23. 在北师版八下数学124页12题中我们探究过一个图形可通过两种不同的方法来计算它的面积或体积，从而得到一个数学等式．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法． 根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为：、、． （1）将图（3）中三块长方体的体积和进行因式分解： _________． （2）根据图（1）写出该立体图形的体积为：_________， 结合图（1）和图（3）思考：类比平方差公式，利用等体积法我们能得到等式：_________．（写成因式分解的形式） （3）利用在（2）中所得到的等式进行因式分解： （4）应用：若已知，，则的值． 24. 如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． （1）求出m、n的值； （2）直接根据图象写出关于x的不等式的解集； （3）将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 25. 如图1，与都是等腰三角形，，，且． （1）如图1，线段与的数量关系是_________．和的数量关系是_________． （2）如图2，若，且点D恰好落在线段的延长线上时，第一问的两个结论是否依然成立，请说明理由； （3）如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形 ，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $