精品解析： 山东省济南市长清区2024-2025学年下学期八年级期中数学试题

八年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=27°，则∠BOC的度数是(　　) A. 18° B. 27° C. 45° D. 72° 6. 如图，在中，，交于点D，，，则的长为（ ） A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．设x个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A. 30x﹣45≥300 B. 30x+45≥300 C. 30x﹣45≤300 D. 30x+45≤300 8. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 9. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，平移的距离为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则．③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分，直接填写答案） 11. 因式分解： =__________． 12. 加图．平移后得列，，，则的度数是______． 13. 如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为__________ ． 14. 关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，则m的取值范围是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，是线段绕点逆时针旋转．得到线段连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且，求证：． 19. 数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”．规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集． 接力游戏 老师：． 甲同学：： 乙同学：： 丙同学：： 丁同学：： 戊同学：． 请根据上面的“接力游戏”．解答下列问题． （1）在“接力游戏”中．共有______位同学出现计算错误； （2）请你给出不等式的正确的解答过程，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出两次平移后的； （2）若和关于原点成中心对称．画出； （3）将绕某点旋转也可以得到，则其旋转中心的坐标是______． 21. 阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例：因式分解：． 解：原式 （1）解决问题：运用配方法将多项式进行因式分解． （2）拓展运用：已知，，是的三边长．且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 22. （哪吒2魔童闹海）票房大卖，周边玩偶热销．甲、乙两个玩偶专卖店以同样的价格出售相同款式的哪吒玩偶，并且又各自推出不同的优惠方案： 专卖店 优惠条件 甲 购物花费优惠10% 乙 累计购物超过100元后，超出100元的部分按八所以收费 （1）设顾客累计购物花费元，若在甲商场购物，则实际花______元；若在乙商场购物，则实际花费______元；（均用含的式子表示，均化为最简形式） （2）在什么情况下，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠？请说明理由． （3）甲玩偶专卖店打算要花费1000元购进哪吒、敖丙两款玩偶共60个，已知哪吒玩偶进价18元/个、敖丙玩偶进价15元/个，问最多可以购进哪吒玩偶多少个? 23. 对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式．利用图1，可以得到一个因式分解等式：：如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． （1）观察图2，可以发现多项式可以因式分解为__________________； （2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； （3）拓展：如图3表示的是一个棱长为x的正方体切去一个小长方体后重新拼成一个新的长方体，请你根据图中图形的体积变化关系，直接写出一个因式分解形式的等式． 24. 如图1．已知点，将线段平移至线段，点，其中点与点对应．点与点对应，，满足． （1）直接写出点．点的坐标：（______）、（______）； （2）如图2，连，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒3个单位的速度向下运动，若经过秒，的面积与的面积相等，试求的值及的坐标． （3）如图3，若点在线段上，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在线段上时，直接写出点的坐标． 25. （1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接， ∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵ ∴______° ∴______． 即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：A、，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等式右边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； C、，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质． 利用不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.，，故该选项错误，不符合题意； B. ，，，故该选项错误，不符合题意； C. ，当时，，故该选项错误，不符合题意； D. ，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集。.熟练掌握一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．先分别解出不等式组的每一个不等式的解集，再找出其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后数形结合在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：   故选：C． 5. 如图，将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=27°，则∠BOC的度数是(　　) A. 18° B. 27° C. 45° D. 72° 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据图形的旋转的性质得∠BOC=∠AOC-∠AOB，再求解． 【详解】∵将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°后得到△COD， ∴∠AOC=45°， ∵∠AOB=27°， ∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°-27°=18°．所以只有A正确. 故正确选项是A. 【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，解题的关键是一个旋转图形的对应点的连线所夹的角相等，都等于旋转角． 6. 如图，在中，，交于点D，，，则的长为（ ） A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得，在中，角所对的边是斜边的一半，可得，再证明为等腰三角形，得，因此． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了含有角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟知相应的性质是解题的关键． 7. 亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．设x个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A. 30x﹣45≥300 B. 30x+45≥300 C. 30x﹣45≤300 D. 30x+45≤300 【答案】B 【解析】 【分析】此题中的不等关系：现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．至少即大于或等于． 【详解】解：x个月可以节省30x元， 根据题意，得30x+45≥300． 故选∶B． 【点睛】本题主要考查简单的不等式的应用，解题时要注意题目中的“至少”这类的词． 8. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长，即：， ∴的周长． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，平移的距离为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及坐标与图形变化-平移，过点C作轴于点D，则点D是线段的中点，结合点A，B的坐标，可得出点D的坐标及的长，在中，利用勾股定理，可求出的长，进而可得出点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出平移后的点C的坐标，结合平移前点C的坐标，即可得出平移的距离． 【详解】过点C作轴于点D，如图所示 ∵， ∴点D是线段的中点， 又∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴． 在中，， ∴， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得：， ∴当点C落在直线上时，点C的坐标为， ∴平移的距离为． 故选：D． 10. 一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则．③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数过一，二，四象限，可得，，则，故①符合题意；由，可得随增大而减小，故②不符合题意；当，，，结合函数图象可得：，故③符合题意；由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，当时，，即，故④符合题意；由函数图象可得：当时，可得，故⑤不符合题意． 【详解】解：∵一次函数过一，二，四象限， ∴，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴随增大而减小， 而，是直线上不重合的两点． 当，则，则， 当，则，则，故②不符合题意； 当，，， 结合函数图象可得：，故③符合题意； 由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3， ∴当时，，即，故④符合题意； 由函数图象可得：当时， ，故⑤不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，利用两直线的交点坐标确定不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分，直接填写答案） 11. 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 12. 加图．平移后得列，，，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理的运用．根据三角形内角和定理得到，再根据平移得到，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平移后得到， ∴， 故答案为：． 13. 如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 14. 关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，则m的取值范围是_____． 【答案】m＞﹣ 【解析】 【分析】先求出方程的解，再根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解方程3x﹣2m＝1得：x＝， ∵关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数， ∴＞0， 解得：m＞﹣， 故答案为：m． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程、一元一次方程的解，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，是线段绕点逆时针旋转．得到线段连接，则线段的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质；一次函数点的特征，将及分别代入得，，由已知可得，，推出是等腰直角三角形，得出，，在上取点，使，又根据P是线段上的动点，将线段绕点B逆时针旋转，推出，，因为，则，从而得出，所以，则，即，所以点在与x轴平行的直线上运动，当线段与垂直时，线段的值最小，在中，因为，求出，则可求，所以，则． 【详解】解：当时，则， 当时，则，解得， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴C是的中点，是的平分线， ∴，， 如图，在上取点，使，连接 又∵P是线段上的动点，将线段绕点B逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点在与x轴平行的直线上运动， ∴当线段与垂直时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，灵活选用分解因式的方法是解答本题的关键． （1）原式直接运用提公因式法提取公因式即可； （2）原式直接运用提公因式法提取公因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为1，2 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可． 【详解】解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是， ∴整数解为1，2． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 18. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且，求证：． 【答案】 证明：∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先根据“”证明，得出，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】略 19. 数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”．规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集． 接力游戏 老师：． 甲同学：： 乙同学：： 丙同学：： 丁同学：： 戊同学：． 请根据上面的“接力游戏”．解答下列问题． （1）在“接力游戏”中．共有______位同学出现计算错误； （2）请你给出不等式的正确的解答过程，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）根据计算过程判断即可得解； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：由计算过程可得，在“接力游戏”中．甲同学和戊同学出现计算错误，即共有位同学出现计算错误； 【小问2详解】 解：． ； ； ， 表示在数轴上如图所示： 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出两次平移后的； （2）若和关于原点成中心对称．画出； （3）将绕某点旋转也可以得到，则其旋转中心的坐标是______． 【答案】（1） 如图：就是所求作的三角形； （2） 如图：就是所求作的三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了 —平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及成中心对称的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据成中心对称的性质作图即可； （3）连接、，交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、，交点即为所求，结合图象可得旋转中心的坐标是 ． 21. 阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例：因式分解：． 解：原式 （1）解决问题：运用配方法将多项式进行因式分解． （2）拓展运用：已知，，是的三边长．且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴． ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方公式、利用公式法分解因式、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得解； （2）根据完全平方公式进行变形得出，结合非负数的性质求出，，即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 22. （哪吒2魔童闹海）票房大卖，周边玩偶热销．甲、乙两个玩偶专卖店以同样的价格出售相同款式的哪吒玩偶，并且又各自推出不同的优惠方案： 专卖店 优惠条件 甲 购物花费优惠10% 乙 累计购物超过100元后，超出100元的部分按八所以收费 （1）设顾客累计购物花费元，若在甲商场购物，则实际花______元；若在乙商场购物，则实际花费______元；（均用含的式子表示，均化为最简形式） （2）在什么情况下，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠？请说明理由． （3）甲玩偶专卖店打算要花费1000元购进哪吒、敖丙两款玩偶共60个，已知哪吒玩偶进价18元/个、敖丙玩偶进价15元/个，问最多可以购进哪吒玩偶多少个? 【答案】（1）； （2）当元时，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠 （3）33个 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，一元一次不等式的应用， 对于（1），根据甲商场购物的花费乘以，再根据乙商场实际花费为100加上乘以可得关系式，再整理； 对于（2），根据题意可知，再求出解集即可； 对于（3），设购进哪吒玩偶个，则购进敖丙玩偶（）个，根据题意列出不等式，求出解集即可． 【小问1详解】 解：甲商场购物，实际花；乙商场购物，实际花费． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， ， ∴当元时，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠； 【小问3详解】 解：设购进哪吒玩偶个，则购进敖丙玩偶（）个，根据题意，得 ， 解得， ∵为正整数， ∴最多为33． 答：最多可以购进哪吒玩偶33个． 23. 对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式．利用图1，可以得到一个因式分解等式：：如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． （1）观察图2，可以发现多项式可以因式分解为__________________； （2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； （3）拓展：如图3表示的是一个棱长为x的正方体切去一个小长方体后重新拼成一个新的长方体，请你根据图中图形的体积变化关系，直接写出一个因式分解形式的等式． 【答案】（1） （2）30 （3） 【解析】 【分析】本题考查几何图形与整式乘法，熟练掌握整式乘法的应用是解题的关键． （1）利用两种不同的方法计算图中的面积，即可得到从而得到答案； （2）根据题意可得：所有裁剪线长之和为，由于每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，所以可得到，，进而求出的值，即可得到答案； （3）根据图中图形的变化关系可得到几何体的体积不变，分别求出几何体变化前后的体积即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图2可得：矩形的面积为：， ∵， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图2得，所有裁剪线长之和为：， ∵每块小长方形的面积为4， ∴， ∵四个正方形的面积之和为34， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：30； 【小问3详解】 解：由图3中左图得，几何体体积为：， 由图3中右图得，几何体体积为：， ∴， 故答案为：． 24. 如图1．已知点，将线段平移至线段，点，其中点与点对应．点与点对应，，满足． （1）直接写出点．点的坐标：（______）、（______）； （2）如图2，连，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒3个单位的速度向下运动，若经过秒，的面积与的面积相等，试求的值及的坐标． （3）如图3，若点在线段上，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在线段上时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）当时，；当， （3） 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质计算得出，，从而可得，，即可得出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，再由平移的性质即可得解； （2）分两种情况：当点在线段上时，，；当点在的延长线上时，，，分别计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，设，作轴于，轴于，则，，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，证明，求出，，证明，得出，，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将线段平移至线段，其中点与点对应．点与点对应， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴； 【小问2详解】 解：∵动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒3个单位的速度向下运动， ∴当点在线段上时，，， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得，此时； 当点在的延长线上时，，， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得：，此时； 综上所述，当时，；当，； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴于，轴于， 则，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25. （1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接， ∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵ ∴______° ∴______． 即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值． 【答案】（1）；等边；90 ；； （2），（或）， 证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）最小值为 【解析】 【分析】本题考查了旋转三角形的问题，等边三角形，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可． （2）将绕A点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接、，证明是等边三角形，得，则，当点、、、四点共线时，最小，证明，在中 ，根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：（1） 等边 90 （2） 略 （3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、． ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点、、、四点共线时，最小 ∵， ∴， 在中， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $