精品解析：广东省汕头市潮南区峡山南里棉岭学校等校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

广东省汕头市潮南区峡山南里棉岭学校等校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 7，8，11 D. 11，12，15 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列曲线中表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图．四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为10，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 9. 如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 13 D. 15 10. 如图，已知正方形中，点E为对角线上的一个动点（不与点B、点D重合），点F在上，，下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④若，连接，则． A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则x+y=______． 12. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为_______． 13. 如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接、．如果，，那么的长是_____ ． 14. 如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ． 15. 如图，在中，，平分，点，分别是和上的任意一点，设． （1）连接交于点，则_____ （填表示相等或大小关系的符号）； （2）若，，，则的最小值是 ___________________ ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，四边形是平行四边形，，，求证：． 18. 如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子的底端距墙底如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底端将滑出多少米？ 四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形． 20. 阅读材料，解答问题： 材料：已知，求的值． 小迪同学是这样解答的： ， ， 问题：已知．求的值． 21. 已知：在中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作，交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）填空： ①当时，四边形ADCF是______形； ②当时，四边形ADCF是______形 22. 古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为． （1）若，，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若的长为，比长，求桥面的宽． 五、解答题（三）（本大题2小题，第23题10分，第24题14分，共24分） 23. 如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： （1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 24. 如图，经过正方形的顶点D，，与相交于点G，，连接交于M． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，O为的中点，连接，若，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省汕头市潮南区峡山南里棉岭学校等校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、被开方数含分母，不是最简二次根式； B、被开方数可以写成，含分母，不是最简二次根式； C、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式； D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 故选C. 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 7，8，11 D. 11，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形. 【详解】解：选项A（2，3，4）最长边为4，验证是否满足 ：，而 ，不满足，故A错误； 选项B（3，4，5）最长边为5，验证是否满足 ：，且 ，满足条件，故B正确； 选项C（7，8，11）最长边为11，验证是否满足 ：，而 ，不满足，故C错误； 选项D（11，12，15）最长边为15，验证是否满足 ：，而 ，不满足，故D错误； 故选：B. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加法，减法，乘法法则，性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、：根据二次根式乘法法则，，则，但选项A结果为，显然A错误； B、 ：直接计算得，，故，而，因此选项B错误； C、 ：合并同类二次根式，系数相减：，与选项C结果一致，故正确； D、 ：先计算被开方数：，则，但选项D结果为，显然D错误； 故选：C 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，对角互补的相关内容，即可求证. 【详解】解：∵在中， ∴ ∵ ∴ 故选：A. 5. 下列曲线中表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数定义的应用，由函数定义，我们可以在有图像的部分作一条垂直于x轴的直线，如果这条直线与图像有且只有一个交点，则满足函数定义，反之不满足，从而确定答案，掌握这种由函数定义判定曲线是否为函数图像的方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示，选项图像与垂直于x轴的直线有多个交点，不满足函数定义，不符合题意； B、如图所示，选项图像与垂直于x轴的直线有多个交点，不满足函数定义，不符合题意； C、如图所示，选项图像与垂直于x轴的直线有且只有一个交点，满足函数定义，符合题意； D、如图所示，选项图像与垂直于x轴的直线有多个交点，不满足函数定义，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，求出长是解题的关键．由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解． 【详解】解：正方形的边长为， ， ， ， ， 故选：． 7. 如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知垂直平分，则，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，再求出，最后通过等边对等角和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图．四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为10，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为10， ∴， 故选：D 9. 如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，设，则，证明，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，， ，， 设，则， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为13． 10. 如图，已知正方形中，点E为对角线上的一个动点（不与点B、点D重合），点F在上，，下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④若，连接，则． A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，故①正确；根据三角形外角的性质得到，根据等量代换得到，故②正确；根据，不能证明，故③错误；根据等腰三角形的性质得到，求得 ，根据全等三角形的性质得到，得到的等腰直角三角形，于是得到，故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 在与中， ∵∠， ∴不能证明，故③错误； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴的等腰直角三角形， ∴ ，故④正确； 综上可知，正确的是①②④． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则x+y=______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：由得， ，解得． ∴x+y=﹣1+2=1， 故答案为：1． 12. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求出AD，OA和OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，OA=OC，OB=OD， ∵BC=9，BD=14，AC=8， ∴AD=9，OA=4，OD=7， ∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等，对角线互相平分是解题的关键． 13. 如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接、．如果，，那么的长是_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D，E分别是边上的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：8． 14. 如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】设，则，利用勾股定理可得，，则，而，即可建立方程求解． 【详解】解：如图所示，过B作于F点，设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 15. 如图，在中，，平分，点，分别是和上的任意一点，设． （1）连接交于点，则_____ （填表示相等或大小关系的符号）； （2）若，，，则的最小值是 ___________________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质可得，垂直平分，则，因此； （2）结合（1）的结论和垂线段最短可知，当，且、、三点共线时，取得最小值，使用面积法求出的值即可． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵，平分， ∴，，即垂直平分， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）可知，， 又∵垂线段最短， ∴当，且、、三点共线时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 如图，四边形是平行四边形，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，灵活运用平行四边形的判定与性质定理成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到，再结合易证四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】四边形是平行四边形， ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ． 18. 如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子的底端距墙底如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底端将滑出多少米？ 【答案】0.8米 【解析】 【分析】先在中，利用勾股定理出的长，再根据线段的和差可得的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：梯子的底端将向外移米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形． 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形． 【详解】∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点， ∴BO=DO，∠EDB=∠FBO， 在△EOD和△FOB中， ， ∴△DOE≌△BOF（ASA）, ∴OE=OF， 又∵OB=OD， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BFDE为菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键． 20. 阅读材料，解答问题： 材料：已知，求的值． 小迪同学是这样解答的： ， ， 问题：已知．求的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 根据材料提示可得，由此得到，运用二次根式的运算得到，由此即可求解． 【详解】解： ， ①， ②， 由①+②可得，， ， ， ，． 21. 已知：在中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作，交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）填空： ①当时，四边形ADCF是______形； ②当时，四边形ADCF是______形 【答案】（1）见解析；（2）①矩；②菱 【解析】 【分析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出≌，进而得出，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案； （2）①根据矩形的判定定理即可得到结论； ②根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∵点E是AD的中点， ∴AE=DE， 在和中 ， ≌ ． 又∵， 四边形ADCF为平行四边形； （2）①当时， 又∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCF是矩形 故答案为：矩； ②当时， 又∵AD是BC边上的中线， ∴AD=CD， ∴平行四边形ADCF是菱形． 故答案为：菱． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出≌是解题关键． 22. 古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为． （1）若，，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若的长为，比长，求桥面的宽． 【答案】（1） （2）6.5m 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理应用．熟练掌握等腰直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． （1）由勾股定理求出（m），求出，，，即得； （2）根据，， ，，可得． 【小问1详解】 解：由题意知：，， ∴（m）， ∵， ∴， 由题意可知：四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴（m）， ∴， 故从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为； 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∵比长， ∴， ∵， ∴， ∴， 故桥面的宽长为． 五、解答题（三）（本大题2小题，第23题10分，第24题14分，共24分） 23. 如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： （1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）t， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段 ；点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； 解答即可． （2）过点A作于点E，先计算，再利用三角形面积不变，面积公式计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意， ，列式计算即可． 【小问1详解】 ∵点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段 ； ∵点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． 【小问2详解】 过点A作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵是边上的高， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 故当或时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解有一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 24. 如图，经过正方形的顶点D，，与相交于点G，，连接交于M． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，O为的中点，连接，若，，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）过点F作，由“”可证，再证明，可得； （2）连接，由直角三角形的性质可求的长的长，由三角形中位线的定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 证明：过点F作， 四边形是正方形，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，连接， ，， ， 四边形是正方形，O为的中点， ， 中，是斜边上的中线， ， ， ， ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $