精品解析：广东湛江市徐闻县2025～2026学年第二学期期中考试九年级数学试卷

2025—2026学年度第二学期期中考试 九年级数学试卷 说明：①本试卷共4页，五大题；②考试满分120分，时间120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. 8 C. D. 2 2. AI是人工智能的英文缩写，下列4个AI品牌的图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年全国两会审议通过的《政府工作报告》及“国家账本”预算报告数据显示，2026年全国教育支出达到4.58万亿元，中央本级教育支出安排1925亿元，财政投入力度前所未有．将2026年全国教育支出4.58万亿元用科学记数法表示为（ ）． A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，坡角为的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第二、四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 下列对二次函数的图像的描述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 顶点在x轴的上方 9. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 分解因式：________． 13. 已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于__________． 14. 如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F，若DE=，则BC的长为_________． 15. 如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为_________° 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E． （1）请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线； 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”成轴对称，，半径，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度即与之间的距离； （2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 20. 指向五育并举的过程性评价是新时代教育改革与发展的重大命题．党的二十大报告指出：“全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图： （1）这名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”） （2）求这名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？ （3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？ 21. 科技创新是发展的第一动力．某科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间满足一次函数关系，部分数据如下表： x（件） 10 15 20 … （元/件） 58 57 56 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求销售利润w(元)关于销售量x(件)的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？ （3）为了保证销售利润不低于420元，求该产品的销售价格的取值范围． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题情境】：在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在等边中，点O是的中点，将绕点O顺时针旋转α（）得到，与交于点G，连接和．试猜想线段和的数量关系，并加以证明． （1）请你根据图①的情况，解答老师提出的问题； （2）“善思小组”发现，如图②，连接和，则直线垂直平分线段，请你根据图②的情况加以证明； 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点．直线与两个图象分别交于点，与轴交于点． （1）求，的值． （2）当点在线段上时，求的最大值． （3）设点，到直线的距离分别为，，当时，求对应的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 九年级数学试卷 说明：①本试卷共4页，五大题；②考试满分120分，时间120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. AI是人工智能的英文缩写，下列4个AI品牌的图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的概念是关键； 把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐项判断即得答案. 【详解】解：A、选项中的图标不是中心对称图形； B、选项中的图标不是中心对称图形； C、选项中的图标不是中心对称图形； D、选项中的图标是中心对称图形； 故选：D. 3. 2026年全国两会审议通过的《政府工作报告》及“国家账本”预算报告数据显示，2026年全国教育支出达到4.58万亿元，中央本级教育支出安排1925亿元，财政投入力度前所未有．将2026年全国教育支出4.58万亿元用科学记数法表示为（ ）． A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】先将“万亿元”换算为元，再根据科学记数法的定义：把一个数表示成（，为整数）的形式，进行转化． 【详解】解：4.58万亿元元 元． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， ， 解不等式 , 移项得， ， 根据“同大取大”的规则，取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为． 6. 如图，坡角为的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，再通过角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴电线杆与山坡所成锐角的度数为， 故选：． 7. 从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第二、四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正比例函数性质确定满足条件的k的个数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵正比例函数中，当时，函数图象经过第二，第四象限， 给出的三个数 中，满足条件的数为和，共个， ∵总共有种等可能的取数结果， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限的概率是． 8. 下列对二次函数的图像的描述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 顶点在x轴的上方 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，顶点坐标为，当时，，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，在x轴的下方，故错误， 当时，，因此图象经过原点，故C正确； 故选：C． 9. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，然后在求解即可． 【详解】， ． ， ． AB为直径， ． 在中， ∵， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键． 10. 在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和等于，两根之积等于得，，代入算式即可得到答案，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F，若DE=，则BC的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，角平分线的性质可得到△DEF为等腰直角三角形，然后设BC=CD=x，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C=90°，∠CDB=45°，BC=CD． ∴EC⊥CB． 又∵BE平分∠CBD，EF⊥BD， ∴EC=EF． ∵∠CDB=45°，EF⊥BD， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴DF=EF， 设BC=CD=x， ∵DE=， ∴EC=x-，即DE =EF=x-， 在Rt△DEF中，， ∴ 解得x= ∴BC= 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 15. 如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为_________° 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用三角形内角和性质得，再根据圆内接四边形对角互补，得，因为旋转得，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵为圆的内接三角形，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上， ∴， ∴， ∴， 即旋转角大小为， 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则计算即可化简，再将x=2代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 18. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E． （1）请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可； （2）连接，由为直径、可得出点D在上且，根据平分可得出，进而得出，再结合即可得出，进而即可证出是的切线； 【小问1详解】 解：如图1所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”成轴对称，，半径，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度即与之间的距离； （2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1）闸机通道的宽度即与之间的距离为 （2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形、分式方程的应用，掌握在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半、列分式方程并求解是解题的关键． （1）连接，延长交于点G；延长交于点H，则，，根据“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”分别求出、，再由计算闸机通道的宽度即与之间的距离即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列关于x的分式方程并求解，再计算的值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点G；延长交于点H． 由题意可知，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴闸机通道的宽度即与之间的距离为． 【小问2详解】 解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （人）． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人． 20. 指向五育并举的过程性评价是新时代教育改革与发展的重大命题．党的二十大报告指出：“全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图： （1）这名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”） （2）求这名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？ （3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？ 【答案】（1）合格 （2）这名学生培训后比培训前的平均分提高了分 （3）培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数的平均数为这组数据的中位数． （2）根据条形统计图数据计算即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 由题意得，这名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格． 故答案为：合格． 【小问2详解】 培训前的平均分：（分）； 培训后的平均分：（分）； 培训后比培训前的平均分提高了分． 【小问3详解】 样本中培训后“良好”的比例为：； 样本中培训后“优秀”的比例为：； 培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是． 21. 科技创新是发展的第一动力．某科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间满足一次函数关系，部分数据如下表： x（件） 10 15 20 … （元/件） 58 57 56 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求销售利润w(元)关于销售量x(件)的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？ （3）为了保证销售利润不低于420元，求该产品的销售价格的取值范围． 【答案】（1） （2）当销售量为50件时，销售利润最大，最大值是500元 （3） 【解析】 【分析】（1）设，用待定系数法可得与之间的函数关系式为； （2）根据题意，由二次函数的性质可得答案； （3）当时，，解得或，结合（1）可得当销售利润不低于420元，该产品的销售价格的取值范围是． 【小问1详解】 设，把，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得： ， ， 当时，取最大值，最大值为500， 当销售量为50件时，销售利润最大，最大值是500元； 【小问3详解】 当时，， 解得或， 当时，； 当时，； 当销售利润不低于420元，该产品的销售价格的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题情境】：在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在等边中，点O是的中点，将绕点O顺时针旋转α（）得到，与交于点G，连接和．试猜想线段和的数量关系，并加以证明． （1）请你根据图①的情况，解答老师提出的问题； （2）“善思小组”发现，如图②，连接和，则直线垂直平分线段，请你根据图②的情况加以证明； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接和，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质证明，得到，即可得到结论； （2）由（1）可得，，，证明，得到，证明点G和O都在线段的垂直平分线上，即可得到答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 连接和， 由旋转得到， ，， ，点O是中点， ，， ，点O是中点， ， ， ∴， ∵ ，， ∴， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，由（1）证明，得， 得， ， ， ， 即 又， ， 点G和O都在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点．直线与两个图象分别交于点，与轴交于点． （1）求，的值． （2）当点在线段上时，求的最大值． （3）设点，到直线的距离分别为，，当时，求对应的值． 【答案】（1），； （2）； （3）或或或． 【解析】 【分析】（）先求出，，然后通过待定系数法即可求解； （）由二次函数解析式为，又直线与轴垂直，则，，故有，然后通过二次函数的性质即可求解； （）过点作于点，过点作于点，求出直线表达式为，则，所以，，然后证明，均为等腰直角三角形，所以，即，同理可得，当时，，整理得，即或，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：由二次函数得， 当时，，解得：，， ∴，， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点，， ∴， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴二次函数解析式为， ∵直线与轴垂直， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴当时，取得最大值为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 设直线与直线交于点， ∵，， 设直线表达式为：， 代入点，， 则， 解得：， ∴直线表达式为， ∴， ∴， ， ∵，， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，均为等腰直角三角形， ∴，即， 同理可得， 当时，， 整理得：， ∴或， 对于方程，， ∴故，； 对于方程，， ∴，故，， ∴当时，对应的值有个，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $