精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年度第二学期期中学业质量检测高一数学试题

杨村一中2025～2026学年度第二学期期中学业质量检测 高一数学 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，故. 2. 在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】根据正弦定理，得， 即. 3. 底面圆半径为1，高为的圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥母线长，再分别计算底面积和侧面积，求和得到圆锥表面积. 【详解】圆锥的母线长 ， 所以圆锥的表面积为. 故选：B. 4. 在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状． 【详解】由正弦定理，余弦定理及得， ，即， 则，即 或为等腰三角形或直角三角形． 故选：D. 5. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，，，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，，，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，，则的位置关系有平行或异面，故D错误. 6. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. 7. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意列出等量关系，然后由向量的数量积化简等式，进而得到即可. 【详解】由题意得，则， ∴，∴，∴. 故选：A. 8. 如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与容器高度的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆柱和球的体积公式，根据水的体积不变可得答案. 【详解】设圆柱部分的高度为h，底面半径为r，因为轴截面是正方形，所以. 容器总高度. 圆柱体积，半球体积. 水的高度是容器高度的一半，即，水的体积为. 容器倒置后水先填满半球（体积），剩余体积为， 剩余体积在圆柱中的高度为，倒置后水的总高度为， 水的高度与容器高度的比值为. 故选：B 9. 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知i为虚数单位，则复数的虚部是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简，再利用复数的定义即可得解. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故答案为：. 11. 在中，内角所对应的边分别是，若的面积是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】结合余弦定理与三角形面积公式，化简求得的值，结合三角形内角的取值范围确定角. 【详解】在中，根据余弦定理可得：. 已知的面积. 将上式代入得：. 又由三角形面积公式得，因此. 由于，故，两边同除以整理得：. 即，因为为三角形内角，所以，因此. 12. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 【答案】 【解析】 【分析】根据方位角确定四边形中相关内角，借助正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知， 在中，利用正弦定理可知， 在中，由余弦定理可知， 即2号灯塔与乙地之间的距离是海里. 13. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【答案】# 【解析】 【详解】因为分别为的中点，则 所以，则. 14. 已知边长为4的正方形ABCD，F为边BC上靠近点B的四等分点，E为线段CD上一点，M为线段EF上一点，且，若，则________；若以EF为底边作等腰三角形EFP，则当点E在边CD上运动时，的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的线性坐标运算求得点的坐标，可求；利用在的垂直平分线上，可得，进而利用向量的数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正方形的边长为4，所以， 所以， 因为F为边BC上靠近点B的四等分点，所以， 又，所以，所以， 设，又，所以， 所以，解得，所以 ； 因为以EF为底边作等腰三角形EFP，所以在的垂直平分线上， 取中点为，则，所以， 所以， 设，所以，即， 所以，， 所以， 又因为，所以， 所以的取值范围为. 15. 正方体中，棱长为1，则四面体与四面体公共部分的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出公共部分的位置，然后利用锥体体积公式来求得正确答案． 【详解】 记，，， 因为，所以为的一个三等分点（靠近）， 连接，是的中点，因为平面， 所以到平面的距离是到平面的距离的一半， 则公共部分是三棱锥，， ， 根据长方体的性质可知，， 因为平面，，所以平面， 所以，． 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及诱导公式化简等式，即可求得； （2）由余弦定理即可解得，然后得到； （3）由正弦定理求得，判断的范围求得，从而求得，，由和角公式求得的值. 【小问1详解】 因为 由正弦定理有①. 又因为，所以代入①式有. 又因为三角形内角，因此，所以. 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得或（舍去），故； 【小问3详解】 由正弦定理，且，，， 得， 由于，则为锐角，故， 故， ， 故 . 18. 如图，在多面体中，为等边三角形，,点为边的中点. （Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）求证:平面平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）. 【解析】 【分析】(I)取中点,连结,利用三角形中位线定理可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）先证明，，可得平面 ，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅲ）取中点,连结，直线与平面所成角等于直线与平面所成角, 过作,垂足为,连接，为直线与平面所成角，利用直角三角形的性质可得结果. 【详解】(I) 取中点,连结 ， 是平行四边形， 平面，平面, 平面. (II) ， 又 平面 平面 ， 又为等边三角形，为边的中点， 平面 由(I)可知， 平面， 平面 平面平面． (III) 取中点,连结， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角, 过作,垂足为,连接. 平面平面 ,平面， 平面. 为斜线在面内的射影，为直线与平面所成角， 在中， 直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的证明以及线面角的求解方法，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点， （1）求证：； （2）求异面直线EF与所成角； （3）已知P是侧面内一点，若平面，求线段长度的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明平面即可证明结论； （2）连接，由题意可得，进而结合为等边三角形可得结论； （3）分别取的中点，连接，先证明平面平面，结合平面确定的位置，并根据各边长度得到的最小值和最大值，得到答案. 【小问1详解】 连接，因为是正方形，所以， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，平面，所以， 又因为点E、F分别是棱BC，的中点，所以，所以； 【小问2详解】 连接，由（1）可得， 所以或其补角为异面直线EF与所成的角， 由正方体，可得， 所以为等边三角形，所以， 所以异面直线EF与所成的角为； 【小问3详解】 分别取的中点，连接，所以， 因为E，F分别是棱的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，又因为P是侧面内一点，若平面， 所以点在上， 因为正方体的棱长为2，所以由勾股定理可得，， 当为的中点时，，此时的长最短，此时， 所以； 当与重合时，可得最大，最大值为， 所以线段长度的取值范围是. 20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， （1）求角C； （2）若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； （3）求锐角的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角化简整理即可； （2）根据角平分线建立等角关系，再结合正弦定理和三角形面积公式建立关于的方程并求解； （3）根据余弦定理建立关于周长和函数关系，结合函数单调性求解范围. 【小问1详解】 已知，由正弦定理边化角得： ， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. 【小问2详解】 由是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. 【小问3详解】 由余弦定理得：， 因为是锐角三角形，由余弦定理得： ， ， 故，则周长， 易知在上单调递增，得， 因此周长的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村一中2025～2026学年度第二学期期中学业质量检测 高一数学 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2. 在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6 3. 底面圆半径为1，高为的圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与容器高度的比值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知i为虚数单位，则复数的虚部是_______. 11. 在中，内角所对应的边分别是，若的面积是，则________． 12. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 13. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 14. 已知边长为4的正方形ABCD，F为边BC上靠近点B的四等分点，E为线段CD上一点，M为线段EF上一点，且，若，则________；若以EF为底边作等腰三角形EFP，则当点E在边CD上运动时，的取值范围为________． 15. 正方体中，棱长为1，则四面体与四面体公共部分的体积为________． 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 如图，在多面体中，为等边三角形，,点为边的中点. （Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）求证:平面平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点， （1）求证：； （2）求异面直线EF与所成角； （3）已知P是侧面内一点，若平面，求线段长度的取值范围． 20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， （1）求角C； （2）若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； （3）求锐角的周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $