精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高一年级第二学期第一次阶段性检测数学试题

天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高一年级第二学期第一次阶段性检测数学试题 一、单选题（共9题，每题5分） 1. 若复数 满足 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法先算出复数，然后由模长公式求解. 【详解】，则， 则. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出向量，再根据向量垂直的坐标关系列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 因为，所以，即，解得， 所以. 3. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用展开，结合向量数量积公式即可求解夹角. 【详解】已知， 则， 所以，则. 设与的夹角为，则， 又，故，所以与的夹角为. 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】， ∴. 故选：A. 5. 在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 6. 已知点是的重心，若，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. 7. 设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，然后根据正弦定理求出三角形外接圆半径. 【详解】由，可得， 则，因为，所以， 又，由正弦定理可得，解得. 故选：B. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出、的值，依题意可得为等边三角形，求出，再由余弦定理求出即可； 【详解】解：设， 则， ，解得． 因为，所以，又，，所以为等边三角形， 所以，， 由余弦定理， 所以； 故选：B 9. 在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值. 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 二、填空题（共6题，每题5分） 10. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】先将复数转化为的形式，然后得到其共轭复数，进而得出的虚部. 【详解】因为，所以； 所以的虚部为. 故答案为：. 11. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角的条件，借助数量积公式来确定实数的取值范围. 【详解】因为向量，，与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 13. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 14. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 15. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 如图所示,连接，因为三点共线，且 ，解得， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 三、解答题（共75分） 16. 已知复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据实数的概念列方程求解的值； （2）根据纯虚数的概念列式求的值； （3）复数的几何意义及第四象限点的坐标的特征列不等式组求解． 【小问1详解】 若是实数， 则，解得或. 【小问2详解】 若复数是纯虚数， 则，解得. 【小问3详解】 若在复平面内对应的点位于第四象限，则， 不等式，即，解得或； 不等式，即，解得， 所以，，即的取值范围是. 17. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． （1）求顶点D的坐标； （2）求与所成夹角的余弦值． （3）求平行四边形ABCD的面积； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算，可得结果； （2）用坐标表示，然后根据平面向量的夹角公式计算即可； （3）根据向量的数量积求出，进而求出，再利用平行四边形的面积公式求解. 【小问1详解】 设顶点D的坐标为； ， ， 又，所以， 即，解得； 所以顶点的坐标为； 【小问2详解】 由， 所以， 所以； 【小问3详解】 ， 所以， 所以， 所以. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合已知条件可得出的值，再利用余弦定理可得出的值； （3）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简可得出的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 由余弦定理可得， 因为，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得，所以，即，可得， 由余弦定理可得，故. 【小问3详解】 因为，则为锐角，所以， 所以， ， 所以. 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， （1）求角A的大小； （2）在中，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【小问1详解】 由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. 【小问2详解】 由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 20. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【小问1详解】 由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； 【小问2详解】 由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； 【小问3详解】 由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高一年级第二学期第一次阶段性检测数学试题 一、单选题（共9题，每题5分） 1. 若复数 满足 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知点是的重心，若，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 7. 设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题5分） 10. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 11. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 12. 在中，角的对边分别是，若，则__________． 13. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 14. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为 ___________． 15. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 三、解答题（共75分） 16. 已知复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 17. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． （1）求顶点D的坐标； （2）求与所成夹角的余弦值． （3）求平行四边形ABCD的面积； 18. 在中，角、、所对的边分别为、、.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，求的值. 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， （1）求角A的大小； （2）在中，，求的取值范围. 20. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $