第八章 立体几何中的动点、截面问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以“立体几何中的动点、截面问题”为核心，通过步骤解析与图示结合梳理正方体截面确定（交轨法、平行线法）和球的截面性质等核心方法，用六大题型分类框架呈现知识脉络，清晰体现重难点内在联系。 讲义亮点在于“方法-题型-应用”递进设计，如交轨法作截面培养空间观念（数学眼光），动点轨迹问题结合逻辑推理（数学思维）。例题覆盖基础（正方体截面周长计算）到综合（正四棱台截面面积），帮助不同层次学生掌握，支持教师实施精准化复习教学。

第八章 立体几何中的动点、截面问题 目录 题型1：截面周长的计算 3 题型2：截面面积的计算 4 题型3：球的截面问题 6 题型4：动点中的平行与垂直问题 7 题型5：动点中的空间角问题 10 题型6：与球（圆）有关的动点轨迹问题 12 1. 正方体截面的确定 (1) 相交线法（交轨法）作截面 如图，要作过点的截面，先延伸所在的平面(图中平面和平面)，并延长线段找交点(图中点)，连接，分别交几何体的棱于点和点，这样我们就找到了截面的顶点，连接这些点使其形成一个封闭的多边形，这个多边形就是过点的截面. (2) 平行线法作截面 如图，要作过点的截面，我们知道，平面，平面//平面， 在平面上，过点作的平行线，交线段的延长线于点，交线段的延长线于点，连接和，分别交几何体的棱为，所以多边形即为截面. 2. 球的截面的性质 (1) 用一个平面去截球得到的任何截面都是圆； (2) 球心和不过球心的截面圆心的连线必垂直于截面，且球心距、球的半径、截面圆半径构成直角三角形. 题型1：截面周长的计算 【例1.1.】 如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 在边长为12的正方体 中，，分别为线段，上的点，且满足 ，，平面与正方体各表面的交线所围成多边形为______边形；该多边形的周长为_________ 【例1.3.】 棱长为2的正方体中，为棱CD的中点，过点作平面，使得平面平面，则平面在正方体表面上截得的图形的周长为_____________. 【例1.4.】 在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 【例1.5.】 如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 题型2：截面面积的计算 【例2.1.】 正方体的棱长为，分别为的中点，过三点的平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【例2.3.】 在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，则五边形的面积为_______． 【例2.5.】 在四棱锥中，底面，底面为正方形，，一平面经过点且垂直于直线，则该平面截四棱锥所得截面的面积为__________. 【例2.6.】 “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如图如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中与为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为，半径为用平行于底面的平面去截“四脚帐篷”.当平面经过的中点时，截面图形的面积为__________.    【例2.7.】 已知正八面体的中心为点，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为________. 【例2.8.】 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 【例2.9.】 已知在四面体中，，，，， ，平面满足，记平面截得该四面体的多边形的面积为，则的最大值为________. 【例2.10.】 在长方体中，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为________． 【例2.11.】 在三棱锥中，，其余棱长均相等，，分别为AB，PC的中点，垂直于的一个平面分别交棱PA，PB，CB，CA于E，F，G，H四点，则四边形EFGH的面积的最大值为__________． 题型3：球的截面问题 【例3.1.】 已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为__________. 【例3.4.】 如图，在长方体中，分别在棱上，且，则以为直径的球的表面积__________，该球与侧面的交线长为__________.    【例3.5.】 已知圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为______. 【例3.6.】 在四面体中，两两垂直，，以为球心，为半径的球与四面体各面交线的长度和为___________． 【例3.7.】 已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 【例3.8.】 已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为______． 【例3.9.】 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型4：动点中的平行与垂直问题 【例4.1.】 如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【例4.2.】 如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（   ） A．4 B． C．6 D． 【例4.3.】 在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【例4.4.】 （多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【例4.5.】 在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是______． 【例4.6.】 已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为________． 【例4.7.】 已知面积为的菱形，如图①所示，其中，是线段的中点．现沿折起，使得点到达点的位置，此时二面角的大小为，连接，得到三棱锥，如图②所示，则三棱锥的体积为______；若点在三棱锥的表面运动，且始终保持，则点的轨迹长度为______． 【例4.8.】 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为________． 【例4.9.】 正方体的棱长为2，点为底面ABCD的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则线段长度的最小值为____________. 【例4.10.】 如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在侧面上，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 题型5：动点中的空间角问题 【例5.1.】 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【例5.2.】 已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【例5.3.】 (多选)若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（ ） A．点形成的轨迹长度为 B．有且仅有一个点使得 C．四面体的体积取值范围为 D．线段长度最小值为 【例5.4.】 （多选）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 题型6：与球（圆）有关的动点轨迹问题 【例6.1.】 将边长为2的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且，若，则点的轨迹长度为______. 【例6.2.】 在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，动点在侧面内（包含边界），若，则点轨迹的长度为___________. 【例6.3.】 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形上的动点， (1)求四面体的体积； (2)若，求的轨迹的长度及线段扫过区域的面积. 【例6.4.】 如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. (1)求证：平面； (2)点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度. 【例6.5.】 如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（   ） A．2 B． C． D． 【例6.6.】 在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【例6.7.】 已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何中的动点、截面问题 目录 题型1：截面周长的计算 3 题型2：截面面积的计算 9 题型3：球的截面问题 21 题型4：动点中的平行与垂直问题 33 题型5：动点中的空间角问题 46 题型6：与球（圆）有关的动点轨迹问题 52 1. 正方体截面的确定 (1) 相交线法（交轨法）作截面 如图，要作过点的截面，先延伸所在的平面(图中平面和平面)，并延长线段找交点(图中点)，连接，分别交几何体的棱于点和点，这样我们就找到了截面的顶点，连接这些点使其形成一个封闭的多边形，这个多边形就是过点的截面. (2) 平行线法作截面 如图，要作过点的截面，我们知道，平面，平面//平面， 在平面上，过点作的平行线，交线段的延长线于点，交线段的延长线于点，连接和，分别交几何体的棱为，所以多边形即为截面. 2. 球的截面的性质 (1) 用一个平面去截球得到的任何截面都是圆； (2) 球心和不过球心的截面圆心的连线必垂直于截面，且球心距、球的半径、截面圆半径构成直角三角形. 题型1：截面周长的计算 【例1.1.】 如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 【例1.2.】 在边长为12的正方体 中，，分别为线段，上的点，且满足 ，，平面与正方体各表面的交线所围成多边形为______边形；该多边形的周长为_________ 【答案】 五 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】过点在平面内作，分别交，的延长线于两点，，连接，分别交，于，，连接各平面上的交点，即可得到平面与正方体各表面的交线所围成多边形；通过三角形相似以及勾股定理可以求出五边形各边边长，即可求出该多边形的周长. 【详解】如图，连接，，，过点在平面内作，分别交，的延长线于，，连接，分别交，于，，连接，，，，所以五边形为平面与正方体各表面的交线所围成多边形， 过点作，过点作，所以， 由正方体，知， 因为，，所以， 所以为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点， 所以，因为，所以根据勾股定理可得：， 因为，为对角线，所以， 又因为，所以为等腰直角三角形，所以， 同理，又因为，，所以， 所以与相似，因为，所以， 所以，同理与相似，所以， 所以，所以根据勾股定理可得：，， 所以五边形周长为. 故答案为：五；. 【例1.3.】 棱长为2的正方体中，为棱CD的中点，过点作平面，使得平面平面，则平面在正方体表面上截得的图形的周长为_____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、判断正方体的截面形状 【分析】取棱的中点，先根据正方体的性质、面面平行的判定定理及点线面位置关系可得平面即为平面；再根据三角形中位线的性质得出六边形的边长，进而可求出截面图形的周长. 【详解】如图，点，，，，分别为棱，，，，的中点， 连接，，，，，，. 由正方体及三角形中位线性质可得：，，. 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，平面，平面， 所以平面平面， 则平面即为平面. 由可得：，，，四点共面. 又因为，平面， 所以平面， 同理可得：平面，即平面即为平面. 由三角形中位线性质可得：该六边形每条边的长度等于正方体面对角线的一半，即每条边长度为， 故平面在正方体表面上截得的图形的周长为. 故答案为：. 【例1.4.】 在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】采用延长交线法，连接，延迟与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，再由勾股定理计算可得. 【详解】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 【例1.5.】 如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、台体体积的有关计算、棱台中截面的有关计算 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示， 过点作于点，因为， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示： 过于点，于点，连接， 由对称性可知， 所以， 而， 所以， 所以，同理， 分别在棱上取点，使得， 易得， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 题型2：截面面积的计算 【例2.1.】 正方体的棱长为，分别为的中点，过三点的平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】延长至，且，延长至，且，延长至，且，连接交与，交与，连接，交与，交与，连接，交与，交与，证明共面， 与点重合，与点重合，点与点重合，由此确定过三点的平面截正方体所得截面形状及面积. 【详解】延长至，且，延长至，且， 延长至，且， 因为为不共线三点，所以过有且只有一个平面，记为平面， 因为平面，所以直线平面， 连接交与，交与， 连接，交与，交与，连接，交与，交与， 所以平面，故共面， 因为，所以，又， 所以，故， 所以与点重合， 因为，所以，又， 所以，故， 所以与点重合，同理可证点与点重合， 所以过点的截面为六边形， 且， 所以六边形的面积为， 故选：C. 【例2.2.】 如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱柱及其有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    【例2.3.】 在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】公理的应用、由平面的基本性质作截面图形、棱台中截面的有关计算 【分析】取的中点，则，又，则，可得过，，三点截面为等腰梯形，利用题中数据及正四棱台的性质计算即可. 【详解】 取的中点，连接，则， 又，则，又根据正四棱台的性质得， 则为等腰梯形，即过，，三点截面为等腰梯形． 取的中点，连接， 在等腰梯形中，， 则，， 在等腰梯形中，，， 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积． 故选：A． 【例2.4.】 如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，则五边形的面积为_______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】棱锥中截面的有关计算、证明线面垂直 【分析】连接，，，设，连接，由题意可得平面，进而得到I为VD的中点，F是VB的中点，进而再证明G，H分别在的中点上，进而求解即可. 【详解】连接，，，设，连接， 依题意，平面，因为平面， 所以，因为，，， 在直角中，，故I为VD的中点，同理，F是VB的中点， 所以， 下面证明：G，H分别在的中点上， 当G，H也是中点时，，有， 四边形是平行四边形， 又，则，故， 又，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，故，则， 因为 均在平面内，且相交，所以平面， 故此时平面和平面即同一平面，满足题意，则G，H分别在的中点上. 又平面，又平面，所以，则， 则四边形是矩形， 依题意，，，， 中边上的高为， 则， 四边形的面积是， 故五边形的面积是. 故答案为：. 【例2.5.】 在四棱锥中，底面，底面为正方形，，一平面经过点且垂直于直线，则该平面截四棱锥所得截面的面积为__________. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】证明面面垂直、证明线面垂直、棱锥中截面的有关计算 【分析】设在，上的射影分别为，，连接，即可证明平面，再求出，设平面与棱的交点为，由对称性可知为点在上的射影，即可求出截面面积. 【详解】如图，设在，上的射影分别为，，连接， 因为底面，底面，所以平面底面. 又平面底面，，底面， 所以平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又因为，平面，所以，， 又，，平面，所以平面， 在中，，所以， 连接，在中，，， 所以， 所以， 所以的面积， 设平面与棱的交点为，由对称性可知为点在上的射影， 与全等，所以该平面截四棱锥所得截面的面积为. 故答案为： 【例2.6.】 “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如图如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中与为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为，半径为用平行于底面的平面去截“四脚帐篷”.当平面经过的中点时，截面图形的面积为__________.    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】组合体截面的形状 【分析】根据对称性，可得截面的形状为正方形，利用勾股定理得正方形的边长即可求. 【详解】解：根据对称性可得截面的形状为正方形，对角线的一半等于， 所以边长为，故其面积为 故答案为： 【例2.7.】 已知正八面体的中心为点，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为________. 【答案】/ 【难度】0.28 【知识点】棱锥中截面的有关计算、组合体截面的形状 【分析】作出平面截正八面体上面正四棱锥所得截面，再借助共线向量定理的推论及余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】直线交于点，交的延长线于，，连接， 则四边形是过点的平面截正八面体上面正四棱锥所得截面， 由是正方形的中心，得，，而， 于是分别为的中点，， 而，则，，， 在中，，令，则， 由点共线，得，则是的中点，， 令，于是，由点共线，得， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， ， 而， 因此，由正八面体的对称性得所求截面面积为. 【例2.8.】 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理及辨析、圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由题可求出圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则，解得. 当截面过中心轴时，则，， 所以， 由三角形面积公式可得，当时，截面面积最大，最大为. 【例2.9.】 已知在四面体中，，，，， ，平面满足，记平面截得该四面体的多边形的面积为，则的最大值为________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】棱锥中截面的有关计算、棱柱的结构特征和分类 【分析】将四面体还原至长方体，可知点，分别为，中点，即可得当经过中点时，截面面积最大，再根据长方体的性质可得解. 【详解】由，，， 可知四面体的各个棱为长方体各面的对角线， 设长方体的长宽高分别，，， 则，解得， 如图所示， 由， ， 可得点，分别为，中点， 所以长方体以为对角线的平面， 又，所以与长方体以为对角线的平面平行， 易知当经过中点时，截面面积最大， 此时与长方体的截面如图所示，其中四边形即为与四面体相交所得截面， 此时、、、分别为各边中点， 则， 故答案为：. 【例2.10.】 在长方体中，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】棱锥中截面的有关计算 【分析】结合题意画出对应图形后，设，则有，则有，借助表示出面积，结合二次函数的性质即可得. 【详解】平面截四面体的截面如图所示， 设，则，所以四边形为平行四边形， 且， 在矩形中，，， 则 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【例2.11.】 在三棱锥中，，其余棱长均相等，，分别为AB，PC的中点，垂直于的一个平面分别交棱PA，PB，CB，CA于E，F，G，H四点，则四边形EFGH的面积的最大值为__________． 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、面面平行证明线线平行、证明面面平行、棱锥中截面的有关计算 【分析】将三棱锥置于如图所示的长方体中，由面面平行的性质定理，判定定理和线面垂直的判定定理证明四边形EFGH为矩形.再设，，，表示出EFGH的面积，由二次函数的性质求解即可. 【详解】将三棱锥置于如图所示的长方体中，    其中，又平面EFGH，平面， 所以平面平面EFGH， 又平面平面，平面平面，所以， 同理，所以；同理， 所以四边形EFGH为平行四边形． 连接，，则，，所以平面， 又平面，所以，所以，所以四边形EFGH为矩形． 设，则，所以，， 所以四边形EFGH的面积， 当时，． 故答案为：2. 题型3：球的截面问题 【例3.1.】 已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度. 【详解】面是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为, 顶点都在球内（），在球外（）， 因此和各有一个交点，交线为两点间的圆弧, 上交点满足，得， 又（中），因此圆弧圆心角，弧长， 同理，面与对称，弧长， 是等边三角形，、各有一个交点，圆心角为， 弧长：， 到面的距离，截面圆半径，截面圆心为， 弧长：， . 【例3.2.】 已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先找出平面截球面的截面圆的圆心是的中点，再找到截面圆的半径和交线. 【详解】如图，取的中点为 因为，直四棱柱的棱长均为2， 所以为等边三角形，所以， 又四棱柱为直四棱柱， 所以平面， 又在平面内，故， 因为侧面，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 取的中点为的中点为，连接、， 则，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 则，所以，根据弧长公式可得. 【例3.3.】 已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为__________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】证明线面垂直、球的截面的性质及计算、棱锥中截面的有关计算、正棱锥及其有关计算 【分析】由题意可得以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面，，有交线，其中表面，的交线相同，取的中点，连接，过作‖，过作‖，过作于，连接，可证得平面，所以可得以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧，根据已知条件可求出弧长，从而可求得结果. 【详解】因为正四棱锥的所有棱长均为2， 所以以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面，，有交线， 取的中点，连接，过作‖，过作‖，， 则四边形为平行四边形，，所以， 过作于，连接， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为正四棱锥的所有棱长均为2， 所以， 所以, 所以，得， 因为，所以, 所以以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以弧的长为， 同理可得以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线长为， 以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为点为圆心，为半径的四分之一圆，弧的长为， 所以以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 ， 故答案为： 【例3.4.】 如图，在长方体中，分别在棱上，且，则以为直径的球的表面积__________，该球与侧面的交线长为__________.    【答案】 【难度】0.55 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算 【分析】先确定球心位置，再结合题意得到球的半径，再求解球的半径解决第一空，先确定交线的轨迹，作出图形，再利用图形的几何性质求解第二空即可. 【详解】由题意可知以为直径的球的球心是长方体的中心， 则点到平面的距离，过点作， 连接， 由已知可得平面，所以， 作，所以，因为，所以，所以，所以，所以，    则球的半径． 如图，设在平面的投影为，则为正方形的中心，    设点在球与正方形的交线上，则， 故以为直径的球与正方形的交线是以为圆心， 为半径的圆在正方形内的曲线． 设圆与的一个交点为，作，垂足为， 则，所以， 所以圆与正方形的交线部分的圆心角之和为， 所以以为直径的球与侧面的交线长为. 【例3.5.】 已知圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为，求出的外接圆和内切圆的半径，即为圆锥的外接球、内切球的半径， 所对的圆心角为，设的中点为，求出，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，进而求出截面圆的半径，即可求解. 【详解】作出圆锥的轴截面如下： 因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形， 则，所以， 设球心为（即为的重心）， 所以，， 即内切球的半径为，外接球的半径为， 因为，所以所对的圆心角为（在圆上）， 设的中点为，则， 不妨设为上的点，连接， 则， 过点作交于点， 则，所以， 即，解得， 所以平面截内切球截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 故答案为： 【例3.6.】 在四面体中，两两垂直，，以为球心，为半径的球与四面体各面交线的长度和为___________． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】作出辅助线，得到各边长，分析出与底面和侧面的交线，分别求出交线长，相加即可. 【详解】由题意得两两垂直，， 由勾股定理得， 三棱锥为正三棱锥，顶点在底面上的投影为的中心， 取的中点，则三点共线，连接， 由题意得，，，， ， 因为，而， 故以为球心，为半径的球与底面相交于三段圆弧， 如图，分别为， 其中， 所以，同理， 所以，故，同理， 所以， 所以， 由于，故以为球心，为半径的球与底面边分别相交于， 则即为球与底面的交线， 因为，故，所以， 故，，则， 所以， 故以为球心，为半径的球与底面的交线长度也为， 所以交线的长度和. 【例3.7.】 已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算、正棱锥及其有关计算 【分析】确定截面最小和截面最大时的位置，即可求出截面圆面积的范围. 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接， 则， . 在中，，解得. 因为，所以. 在中，， 所以. 过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为，最小面积为； 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 所以截面圆面积的取值范围是. 故答案为：.    【例3.8.】 已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】取BC的中点，由给定条件可得是梯形ABCD外接圆圆心，再由球的截面性质求出球半径，进而求出长即可得解. 【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC，取BC的中点，连接，，如图， 由，，得四边形都为菱形， 则，即是梯形ABCD外接圆圆心， 而O为四棱锥的外接球球心，因此平面ABCD，又平面ABCD， 则，而PA为球O的弦，则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，连接OE，OA， 于是，而，即有，四边形为矩形，， 因此球O的半径，在中，， ，， ，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于OM， 设此时截面圆半径为r，则，所以截面圆面积的最小值为． 故答案为： 【例3.9.】 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.35 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】找出外接球的球心位置，确定外接球的半径，再找出截面面积最小时的截面圆半径，最后根据圆面积公式计算截面面积. 【详解】由题意可知，设下底面中心为，上底面中心为， 则，又因为下底面是边长为6的正方形， 所以到下底面各顶点的距离为， 同理到上底面各顶点距离为， 设外接球球心为，它在直线上， 设到的距离为，则外接球半径满足： ，， 所以，解得：， 所以球心与下底面中心重合，半径， 因为，是侧棱和的中点， 所以过侧棱中点的截面平行于底面，为正方形， 边长等于上下底面边长的平均值，所以， 因为侧棱长， 又， 所以，同理， 在等腰中，，， 作于，则为中点，， 所以， 即球心到直线的距离为2， 过直线作球的截面，截面圆半径为， 其中为球心到截面的距离，当截面圆面积最小时，最大， 且最大值为到直线的距离2，此时， ，所以截面面积的最小值为. 题型4：动点中的平行与垂直问题 【例4.1.】 如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据长方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 因为，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为.    【例4.2.】 如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题 【分析】分别取中点，求证平面平面，接着取中点求证四点唯一确定一个平面得到平面即为平面，再由题意得到动点的轨迹为平面四边形，求出四边形为等腰梯形即可计算求解. 【详解】分别取中点，连接， 则由正方体结构性质可知，， 所以四边形、、均为平行四边形， 所以，所以， 因为平面，在平面外， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 取中点，连接，则，则， 所以四点唯一确定一个平面，所以平面即为平面， 所以由题意若平面，则动点的轨迹为平面四边形， 因为， 所以四边形为等腰梯形，且该梯形的高为， 由正方体结构性质可得面积为. 故选：B 【例4.3.】 在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、立体几何中的轨迹问题、面面平行证明线面平行 【分析】连接，根据面面平行的判定定理，可证平面平面，结合题意，可得点P在直线AC上运动，再根据正方形的性质即可求解. 【详解】连接，因为E，F，G分别是棱的中点， 所以， 又平面，平面，平面， 平面，平面，平面，， 所以平面平面，又平面， 从而有平面，即点平面， 又点P在平面内，平面平面， 所以点P在直线AC上运动， 由正方形性质可得当点P位于AC中点时，BP最小，此时. 故选：C    【例4.4.】 （多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【难度】0.55 【知识点】锥体体积的有关计算、异面直线的判定、立体几何中的轨迹问题、由线面平行求线段长度 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 【例4.5.】 在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是______． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角 【分析】①以为直线与AC所成的角或其补角，利用余弦定理求解；②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H，则点的轨迹是六边形. 【详解】①连接，易得， 所以为直线与AC所成的角或其补角．又， 由余弦定理得， 即直线与AC所成角的余弦值为． ②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H， 连接EF，FG，GM，MN，NH，HE，， 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为F，M，N分别是，AB的中点，所以， 所以，同理可得， 所以E，F，G，M，N，H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为的正六边形， 因为平面，平面，所以BD，又， 平面，所以平面， 又平面，所以，因为N，H分别为AB，AD的中点，所以， ，同理可得，又，平面， 所以平面，因为，所以点的轨迹是六边形， 所以点P的轨迹长度为． 【例4.6.】 已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】在AB上取点F，使得，连接MF，在上取点G，使得，连接，通过证明平面，说明的边即为点N的轨迹，求出的周长即可得解. 【详解】 四棱柱的底面为菱形，， 底面，，底面， 底面，， ， 平面，平面，. 如图所示，在AB上取点F，使得，连接MF， 则，， 在上取点G，使得，连接， 设MF与BD的交点为O，连接GO， 在中，，，， 在中，，，， ，故，， ，平面， 的边即为点N的轨迹. 在中，，，由余弦定理可得， 在中，， ，， 动点N的轨迹长度为. 故答案为： 【例4.7.】 已知面积为的菱形，如图①所示，其中，是线段的中点．现沿折起，使得点到达点的位置，此时二面角的大小为，连接，得到三棱锥，如图②所示，则三棱锥的体积为______；若点在三棱锥的表面运动，且始终保持，则点的轨迹长度为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、棱锥中截面的有关计算 【分析】根据锥体体积公式求得三棱锥的体积，作出点的轨迹，进而计算出轨迹长度. 【详解】设，折叠前，折叠后， 由题设二面角可知，又，根据余弦定理易得， 由于平面，所以平面， 依题意，，点到平面的距离为， 的面积为，则三棱锥的体积为． 如图，取边上靠近点的四等分点，取的中点， 连接，，，故点的轨迹长度即为的周长． 由于，所以， 由于平面，所以平面. 又，，故点的轨迹长度为． 故答案为：； 【例4.8.】 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、锥体体积的有关计算 【分析】根据可知点轨迹是以为直径的球与四边形（包括边界）的交线，求出在四边形内的圆的半径即可得出结果. 【详解】以为直径作球，球半径， 与球上任意一点(除去点)均能构成直角， 故点轨迹为球与四边形（包括边界）的交线. 易知在平面上的投影为菱形的外心， 且都全等, 故四边形为正方形，四棱锥为正四棱锥，在平面上的投影为正方形的中心， 记球心在平面上的投影为，， 故平面截球的小圆半径， 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段弧， 由题意可知 如图所示，设该圆弧交于点，所以四点共圆， 而，所以， 所以三点共线，即也是半径为的圆的直径， 故所求为. 故答案为：. 【例4.9.】 正方体的棱长为2，点为底面ABCD的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则线段长度的最小值为____________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，故当点在线段上时，平面，可得⊥，当⊥时，取得最小值，并由勾股定理求出各边长，求出答案. 【详解】连接，因为点为底面ABCD的中心， 所以⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 正方体的棱长为2，故， 由勾股定理得，， 故在上取中点，连接，其中， 此时，又， 所以∽，故， 所以， 故⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，平面，可得⊥， 当⊥时，取得最小值， 由勾股定理得， 其中， 又， 故，故，即， 所以. 故答案为： 【例4.10.】 如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在侧面上，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】取的中点，连接，由空间中垂直关系的转化可得，从而可得的轨迹，故可求的最小值. 【详解】如图，取的中点，连接， 由正三角形可得， 而由正三棱柱可得平面， 因平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，而平面，故， 所以点在以线段为直径的圆与长方形相交的部分，记的中点为． 又由， 故的最小值为． 故选：B. 题型5：动点中的空间角问题 【例5.1.】 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 【例5.2.】 已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、求线面角 【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点到平面的距离即可确定点的运动轨迹，进而可得出答案． 【详解】将正三棱台补全为三棱锥， 则三棱锥为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示.设点在侧面的射影为点，可得， 取点为的中点，可求得，，， 为的中心， 又直线与平面所成角的正切值为，所以， 在等腰梯形内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆弧与圆弧， 为的中心， 由对称性可知为正六边形， ，， 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为．    故答案为：． 【例5.3.】 (多选)若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（ ） A．点形成的轨迹长度为 B．有且仅有一个点使得 C．四面体的体积取值范围为 D．线段长度最小值为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明面面垂直、求线面角、锥体体积的有关计算 【分析】A选项，根据题意得所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界）；B选项，寻找到不止一个点使；C选项，根据点不同位置求出点到平面的距离最大值及最小值，求出最大体积和最小体积； D选项，结合的所在区域及三角形两边之和大于第三边求出长度最小值. 【详解】A选项，由线面角的定义可知，，即， 故点所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界），即圆的， 轨迹长度为，A正确； 如图，设点的轨迹与交于点， B选项，不妨点与点重合，此时， 由余弦定理可得：，则， 同理可得：，则， 故不止一个点使得，B错误； C选项，如图，平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 且平面平面， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离相等， 如图，当点在点处时，此时点到平面的距离最大，最大距离为， 此时四面体的体积为， 当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为， 因为，所以，所以最小体积为， 故四面体的体积取值范围为，C正确； D选项，当取最小值时，线段长度最小， 由三角形两边之和大于第三边知：当三点共线时，取得最小值， 即，则，D错误. 故选：AC. 【例5.4.】 （多选）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【难度】0.42 【知识点】证明面面平行、求二面角、立体几何中的轨迹问题 【分析】对于A，易得即可判断；对于B，可找到点P，M使得平面与平面PBD平行；对于C，由题意，证得，得到二面角的平面角即可判断；对于D，求得点M的轨迹长度判断． 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 题型6：与球（圆）有关的动点轨迹问题 【例6.1.】 将边长为2的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且，若，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】首先作辅助线，取棱的中点，连接，先证明平面平面，利用余弦定理求出的三角函数值，然后过点作交的延长线于点，根据垂直关系和勾股定理求出的值，从而可以确定点的轨迹为圆，最后根据圆的周长公式求出其轨迹长度即可. 【详解】取棱的中点，连接， 则， 又平面， 则平面，由平面， 得平面平面. 在中，，由余弦定理得， 为钝角，且. 在平面内过点作交的延长线于点，而平面平面， 于是平面，连接，又平面，则. 在中，. 在中，， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以其轨迹长度为. 故答案为：. 【例6.2.】 在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，动点在侧面内（包含边界），若，则点轨迹的长度为___________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】立体几何中的轨迹问题 【分析】过点作，过点作，结合已知得，再结合平面几何知识即可求解. 【详解】如图所示，过点作于E，过点作与， 因为四棱柱是直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为直线平面， 所以， 因为，，， 所以， 又因为，所以， 因为点在侧面内， 所以在平面直角坐标系中来研究点轨迹的长度，如图所示： 点的运动轨迹为以点为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧， 显然，，所以， 所以. 故答案为：. 【例6.3.】 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形上的动点， (1)求四面体的体积； (2)若，求的轨迹的长度及线段扫过区域的面积. 【答案】(1) (2)轨迹长度，扫过区域的面积为 【难度】0.65 【知识点】求组合体的体积、立体几何中的轨迹问题 【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式可求得四面体的体积； （2）作出图形，由勾股定理可知，则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆弧，设该圆弧分别交线段、于点、，求出圆弧所对的圆心角，利用扇形的弧长公式可求出点的轨迹长度，分析可知线段扫过的区域为正方形除去、和扇形区域剩余的区域，由此可求得线段扫过区域的面积. 【详解】（1）如下图所示： . （2）如下图所示： 因为底面，平面，所以， 因为且，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆弧， 因为，设该圆弧分别交线段、于点、， 则，且为锐角，故， 同理可知，故，且， 故的轨迹的长度为， 所以线段扫过的区域为正方形除去、和扇形区域剩余的区域， 故扫过的区域面积为. 【例6.4.】 如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. (1)求证：平面； (2)点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面垂直 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证平面，进而利用线面垂直的性质可证，可理可证，进而可证结论； （2）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接，可证点M的运动轨迹为一个半圆，据此求解即可. 【详解】（1）四边形是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接， 则，又因为平面；平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以点M的运动轨迹为此半圆， 设的中点为，连接，因为，所以， 所以根据扇形的弧长公式得点M的运动轨迹长度为. 【例6.5.】 如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.28 【知识点】球的截面的性质及计算、立体几何中的轨迹问题 【分析】由最小时，得到分别为的三等分点，得到以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内， 如图（1）所示，可得， 所以， 当最小时为， 此时，即分别为的三等分点， 因为，所以， 分别在取点，使得， 可得， 则以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图（2）所示， 所以轨迹的长度为. 【例6.6.】 在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】利用球面截平面得圆弧，再结合弧长公式即可求解. 【详解】由题意可得，动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则动点一定在以为球心，以3为半径的球面上， 再由动点在矩形的内部及其边界上运动，则矩形面截以为球心，以3为半径的球面可得圆弧，如图，    因为，结合勾股定理可得：， 所以圆弧， 故选：D. 【例6.7.】 已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】球的结构特征辨析、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据给定条件可得点的轨迹是以为球心，半径为的球面与正三棱柱表面的交线，再按点所在位置分类求解. 【详解】由，得点在以为球心，半径为的球面上， 而点在正三棱柱表面上，因此点的轨迹是球与正三棱柱表面的交线， 当点在面内时，由平面，平面，则， ，此时点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，弧长为；令弧的端点为，则， 当点在面内时，点的轨迹分别是以为圆心，为半径， 圆心角为的圆弧，弧长都为； 当点在侧面内时，取中点，连接， 由平面，平面，则， 而，平面，则平面， 又平面，因此，而，则， 此时点的轨迹是以为直径的半圆，弧长为， 所以动点的轨迹的长度为. 故选：C ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $