专题09：立体几何中的截面问题【知识梳理+6个题型归纳】讲义 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题09：立体几何中的截面问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：作几何体的截面】 【练方法】 核心解题方法 1基本原理：利用平面的基本性质公理1（两点在面内则直线在面内）公理3（两平面相交则交线唯一） 2通用“两点法”： 步骤1：找截面平面与几何体的两个公共点确定交线 步骤2：延长交线与几何体的棱或面相交得到新的交点 步骤3：依次连接交点形成封闭的截面多边形 3平行线法：利用线面平行的性质截面与几何体平行面的交线互相平行 4延长线法：延长棱或面对角线找到截面与几何体延伸面的交点再反推截面边 5辅助平面法：过已知点作平行或垂直于棱的辅助平面辅助确定截面的边 6正方体截面作图口诀：先找两点连直线延长相交找新点平行传递画对边依次闭合成截面 （2024高三·全国·专题练习）在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面；经典例题1例题 （24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.经典例题2例题 (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） （24-25高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；小试牛刀1    （24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．小试牛刀2    （2024高三下·全国·专题练习）四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面（图）.小试牛刀3 【题型2：判断截面的形状】 【练方法】 核心解题方法 1边数判定：截面与几何体的面相交的个数等于截面多边形的边数 正方体截面：与3个面相交→三角形与4个面相交→四边形与5个面相交→五边形与6个面相交→六边形 2特殊形状判定： 三角形：截面过三个顶点或与三个面相交可分为锐角三角形直角三角形正三角形 四边形：截面与四个面相交可分为平行四边形矩形菱形梯形正方形 五边形：截面与五个面相交必为凸五边形 六边形：截面与六个面相交正方体中截面六边形的对边互相平行 3特殊情况排除： 正方体截面不可能是直角三角形钝角三角形正五边形 圆柱截面：平行于底面→圆垂直底面→矩形斜截→椭圆 圆锥截面：平行底面→圆过顶点→等腰三角形斜截→椭圆平行母线→抛物线 （25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ）经典例题1例题 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 （25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ）小试牛刀1 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 （24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）．小试牛刀2 A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 （24-25高一下·江苏南通·期中）在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（   ）小试牛刀3 A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形 【题型3：求截面的面积或周长】 【练方法】 核心解题方法 1周长计算： 方法1：直接法依次计算截面多边形各边的长度再求和 方法2：展开法将几何体侧面展开截面边转化为平面线段再计算长度 2面积计算： 方法1：分割法将截面多边形分割为三角形利用三角形面积公式计算再求和 方法2：投影法其中为截面与投影面的夹角 方法3：特殊图形公式截面为正多边形平行四边形梯形时直接套用对应面积公式 3关键技巧： 截面为三角形时优先用海伦公式或 截面为平行四边形时用底乘高或向量叉乘计算面积 截面为圆或椭圆时用对应曲线的面积公式 （24-25高二下·四川成都·月考）如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．经典例题1例题    A． B．6 C． D． （25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q．小试牛刀1 (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） （24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，小试牛刀2 (1)求四棱锥的体积； (2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长． （24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：由动点求截面的最值】 【练方法】 核心解题方法 1轨迹分析：先确定动点的运动轨迹分析截面随动点变化的规律 2周长最值： 方法1：展开法将几何体侧面展开截面周长转化为平面内两点间的距离利用两点之间线段最短求最小值 方法2：几何临界法找到动点在端点中点垂足等特殊位置时的截面周长比较得到最值 3面积最值： 方法1：函数法设动点参数将截面面积表示为参数的函数利用函数单调性或导数求最值 方法2：几何临界法找到截面面积最大或最小时的动点位置（如截面过几何体中心或顶点） 方法3：投影法截面面积与投影面积成正比投影面积最大时截面面积也最大 4关键结论： 正方体中截面为六边形时过中心的截面面积最大 圆柱中平行于底面的截面圆面积固定斜截面椭圆的长轴随倾斜角增大而变长 （2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体为正四面体，分别是中点，若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高二上·安徽合肥·期中）已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于，经典例题2例题 两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． （25-26高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______．小试牛刀1 （24-25高三下·江苏·月考）在四面体中，，，，、分别为、的中点．若用一个与直线垂直且与四面体各面均相交的平面去截该四面体，则得到的多边形截面面积的最大值为______．小试牛刀2 （2024·江西九江·一模）已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．小试牛刀3 ①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是； ②M的面积最大值为； ③M的周长为定值． 【题型5：与截面有关的体积计算】 【练方法】 核心解题方法 1分割法：用截面将几何体分割为两个部分分别计算两部分的体积 2补形法：将截面分割后的几何体补成熟悉的几何体（如棱柱棱锥）再计算体积 3关键技巧： 截面为平面时利用“同底等高的棱锥体积相等”简化计算 截面平行于底面时利用相似比求分割后棱锥的体积相似比为截面与底面的边长比体积比为相似比的立方 截面过顶点时分割后的几何体为棱锥直接用计算体积 4体积差法：用原几何体体积减去分割后其中一部分的体积得到另一部分的体积 （23-24高三上·安徽·月考）如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线.经典例题1例题      (1)画出直线的位置，并说明作图依据； (2)正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积. （24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，正方体的棱长为a.经典例题2例题 (1)过正方体的顶点，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； (2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； （2023·广西河池·模拟预测）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．小试牛刀1 (1)若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明． (2)求多面体的体积． （2025·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________．小试牛刀2 （2025·山东聊城·一模）点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 __________，______小试牛刀3    【题型6：由截面求其他量】 【练方法】 核心解题方法 1求截面与棱的夹角：利用截面的边与棱的位置关系构造直角三角形计算线线角 2求截面与底面的二面角：找到截面与底面的交线在两个面内分别作交线的垂线得到二面角的平面角再计算角度 3求截面的高或斜高：利用截面的形状构造直角三角形计算截面多边形的高或斜高 4关键技巧： 截面与底面平行时截面与底面的夹角为0°截面为相似图形 截面与底面垂直时截面的边与底面的交线垂直可直接构造直角三角形 利用截面的对称性简化角度或长度的计算 （24-25高一下·河南郑州·月考）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则____经典例题1例题 （23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ）经典例题2例题 A．2 B． C．1 D． （2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）小试牛刀1    A． B． C． D． （24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）小试牛刀2    A．10 B．15 C． D． （2022·贵州毕节·三模）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（    ）    A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．上述三种图形以外的平面图形 2．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 3．（2023·四川南充·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C．9 D．18 4．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南永州·模拟预测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·山西晋城·一模）如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则（    ） A．的体积为2 B．的体积为12 C．的外接球的表面积为 D．平面截该正四棱柱所得截面的面积为 三、填空题 8．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为______. 9．（23-24高一下·广东东莞·期中）在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为____________． 10．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 11．（23-24高二上·广东江门·月考）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过B，D，P三点截面的面积为_______. 12．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 13．（24-25高二上·上海·月考）正方体的棱长为x，点M是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为___________. 14．（24-25高一下·河北承德·期中）在棱长为3的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为________． 15．（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题09：立体几何中的截面问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：作几何体的截面】 【练方法】 核心解题方法 1基本原理：利用平面的基本性质公理1（两点在面内则直线在面内）公理3（两平面相交则交线唯一） 2通用“两点法”： 步骤1：找截面平面与几何体的两个公共点确定交线 步骤2：延长交线与几何体的棱或面相交得到新的交点 步骤3：依次连接交点形成封闭的截面多边形 3平行线法：利用线面平行的性质截面与几何体平行面的交线互相平行 4延长线法：延长棱或面对角线找到截面与几何体延伸面的交点再反推截面边 5辅助平面法：过已知点作平行或垂直于棱的辅助平面辅助确定截面的边 6正方体截面作图口诀：先找两点连直线延长相交找新点平行传递画对边依次闭合成截面 （2024高三·全国·专题练习）在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面；经典例题1例题 【答案】作图见解析 【分析】过点作的平行线即可. 【详解】取的中点为，连接，易证， 则四边形即为所求截面，如图阴影部分， （24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.经典例题2例题 (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. （24-25高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；小试牛刀1    【答案】答案见解析 【分析】利用两个平面相交必有且只有一条交线的基本事实作图即得. 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. （24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．小试牛刀2    【答案】答案见解析 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． （2024高三下·全国·专题练习）四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面（图）.小试牛刀3 【答案】答案见解析 【分析】首先找到交点,连接ST，又因为，得出答案    . 【详解】（i），，连接ST（为截面与底面的交线，称为轴线）； （ii）； （iii），则四边形RQPK即是过P，Q，R三点的棱锥的截面. 【题型2：判断截面的形状】 【练方法】 核心解题方法 1边数判定：截面与几何体的面相交的个数等于截面多边形的边数 正方体截面：与3个面相交→三角形与4个面相交→四边形与5个面相交→五边形与6个面相交→六边形 2特殊形状判定： 三角形：截面过三个顶点或与三个面相交可分为锐角三角形直角三角形正三角形 四边形：截面与四个面相交可分为平行四边形矩形菱形梯形正方形 五边形：截面与五个面相交必为凸五边形 六边形：截面与六个面相交正方体中截面六边形的对边互相平行 3特殊情况排除： 正方体截面不可能是直角三角形钝角三角形正五边形 圆柱截面：平行于底面→圆垂直底面→矩形斜截→椭圆 圆锥截面：平行底面→圆过顶点→等腰三角形斜截→椭圆平行母线→抛物线 （25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ）经典例题1例题 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. （25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ）小试牛刀1 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【详解】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B （24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）．小试牛刀2 A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【详解】如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C （24-25高一下·江苏南通·期中）在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（   ）小试牛刀3 A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图形，结合正方体的结构特征判断截面的形状. 【详解】延长交直线于，连接交于，连接，即即为所求截面， 由题设有，即为的中点，则且， 又，，则为平行四边形， 所以且，故且，又， 所以为等腰梯形. 故选：B 【题型3：求截面的面积或周长】 【练方法】 核心解题方法 1周长计算： 方法1：直接法依次计算截面多边形各边的长度再求和 方法2：展开法将几何体侧面展开截面边转化为平面线段再计算长度 2面积计算： 方法1：分割法将截面多边形分割为三角形利用三角形面积公式计算再求和 方法2：投影法其中为截面与投影面的夹角 方法3：特殊图形公式截面为正多边形平行四边形梯形时直接套用对应面积公式 3关键技巧： 截面为三角形时优先用海伦公式或 截面为平行四边形时用底乘高或向量叉乘计算面积 截面为圆或椭圆时用对应曲线的面积公式 （24-25高二下·四川成都·月考）如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．经典例题1例题    A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A. （25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. （25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q．小试牛刀1 (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上即可； （2）连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，，得到四边形即为所求截面，再求面积即可． 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． （24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，小试牛刀2 (1)求四棱锥的体积； (2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用体积公式即可求解， （2）根据题意得截面为五边形，即可利用三角形的边角关系求解长度得解. 【详解】（1）由正方体特征知， （2）如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形． 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以， ， ， 即截面周长为． （24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长． 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 【题型4：由动点求截面的最值】 【练方法】 核心解题方法 1轨迹分析：先确定动点的运动轨迹分析截面随动点变化的规律 2周长最值： 方法1：展开法将几何体侧面展开截面周长转化为平面内两点间的距离利用两点之间线段最短求最小值 方法2：几何临界法找到动点在端点中点垂足等特殊位置时的截面周长比较得到最值 3面积最值： 方法1：函数法设动点参数将截面面积表示为参数的函数利用函数单调性或导数求最值 方法2：几何临界法找到截面面积最大或最小时的动点位置（如截面过几何体中心或顶点） 方法3：投影法截面面积与投影面积成正比投影面积最大时截面面积也最大 4关键结论： 正方体中截面为六边形时过中心的截面面积最大 圆柱中平行于底面的截面圆面积固定斜截面椭圆的长轴随倾斜角增大而变长 （2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体为正四面体，分别是中点，若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将四面体补成正方体，在正方体内利用截面为平行四边形可得，进而利用基本不等式即可得解. 【详解】把正四面体补为正方体，如图， 根据题意可得截面为平行四边形， 所以，，，， 所以，， ， 又因为，所以， 所以所求截面面积，当且仅当时成立， 故选：B （24-25高二上·安徽合肥·期中）已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于，经典例题2例题 两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据正方体体积可求得其棱长为；在正方体中作出截面，可知为线段中点为截面为四边形和五边形的临界状态，从而得到结果. 【详解】解：由于正方体的体积为1， 可得正方体的棱长为1， 点在线段上（点异于两点）， 当点为线段的中点时，， 则共面，截面为四边形，如图， 当时，截面为四边形；当时，截面为五边形， 即平面截正方体所得的截面为四边形时， 线段的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体截面问题的求解，关键是能够确定截面为四边形和五边形的临界点，从而得到所求的范围. （25-26高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】本题关键是结合正方体的结构特征与平面基本性质,分析截面为五边形的临界条件,再利用勾股定理将线段长度转化为所求变量的表达式,进而求解取值范围. 【详解】由题意知,，又，故. 则. 当时，可知， 又，则， 故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)， 当时，过点作的平行线交于点， 可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图), 当时，过点作的平行线交的延长线于， 交于点，连接交于点， 可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时, 即的范围为. （24-25高三下·江苏·月考）在四面体中，，，，、分别为、的中点．若用一个与直线垂直且与四面体各面均相交的平面去截该四面体，则得到的多边形截面面积的最大值为______．小试牛刀2 【答案】10 【分析】根据题意，将四面体补形为长方体，然后即可得到截面，再结合基本不等式即可得到截面积的最大值. 【详解】 由题意，将四面体补成一个长方体，设长方体的长宽高分别为， 则，解得，则， 由已知条件可得，，由于，所以可得截面为平行四边形，由，可得，由，可得， 所以，所以可得， 设异面直线与所成角为，则， 在中，由余弦定理可得， 所以， 则， 当且仅当时，取等号. 所以多边形截面的最大面积为. 故答案为：. （2024·江西九江·一模）已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．小试牛刀3 ①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是； ②M的面积最大值为； ③M的周长为定值． 【答案】②③ 【分析】根据平面，平面，分点E与或重合和点E与不重合，两种情况讨论求解判断. 【详解】如图所示： 平面，平面， ①当点E与或重合时，M为正或正， 周长为，面积为，在平面上投影面积为； ②当点E与不重合时，设，则， ∴，， ∴， 同理可得：，， 故M的周长为定值． M的面积为 ， 当时，取得最大值． M在平面上投影的面积， 由①②知M在平面上投影的面积取值范围是， M的面积最大值为，M的周长为定值． 故答案为：②③ 【题型5：与截面有关的体积计算】 【练方法】 核心解题方法 1分割法：用截面将几何体分割为两个部分分别计算两部分的体积 2补形法：将截面分割后的几何体补成熟悉的几何体（如棱柱棱锥）再计算体积 3关键技巧： 截面为平面时利用“同底等高的棱锥体积相等”简化计算 截面平行于底面时利用相似比求分割后棱锥的体积相似比为截面与底面的边长比体积比为相似比的立方 截面过顶点时分割后的几何体为棱锥直接用计算体积 4体积差法：用原几何体体积减去分割后其中一部分的体积得到另一部分的体积 （23-24高三上·安徽·月考）如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线.经典例题1例题      (1)画出直线的位置，并说明作图依据； (2)正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积. 【答案】(1)作图见解析，依据见解析 (2) 【分析】（1）根据点线面的位置关系，三个平面两两相交，三条交线的可能情况分析，此题中的三条交线必定交于一点，即可作图并写出依据. （2）根据作出的图形可以发现正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台，由棱台体积公式即可求解. 【详解】（1）如图所示即为所求：    依据如下： 延长交的延长线于，连接，则即为直线的位置. ∵， ∴平面，平面， ∴平面平面， 又由题意显然有平面平面， ∴平面平面，则即为直线的位置.（也可根据线面平行性质确定直线位置） （2）如图所示： 设直线与交于点，则为四等分点，正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台， 其体积为 . （24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，正方体的棱长为a.经典例题2例题 (1)过正方体的顶点，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； (2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； 【答案】(1) (2)作图见解析， 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积，再用正方体体积减去即可； （2）根据点､线､面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长； 【详解】（1）因为正方体，所以平面， 则为三棱锥的高，，， 则， 则正方体剩余部分的体积为. （2）画直线交，延长线分别为点， 再分别连接，分别交于点， 顺次连接，五边形即为交线围成的多边形， 易得，，则为等腰直角三角形， 则，根据∽，， 则，则，， 同理可得，，而， 则五边形的周长为. （2023·广西河池·模拟预测）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．小试牛刀1 (1)若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明． (2)求多面体的体积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）延长，连接交于，连接，可得截面；过作交于，通过证明，可得； （2）由（1）可得，后由题目条件可得答案. 【详解】（1）延长，连接交于，连接，如图，四边形为截面. 中，，由，则为中点，为中点． 过作交于，则. ,.，即． （2）. 由题意及（1）可得，. 则； 又可得，点F到平面BEC距离为， 则. 则． （2025·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________．小试牛刀2 【答案】3 【分析】利用平行线作出截面图，再利用四棱锥体积转换成三棱锥体积的2倍，然后进行换顶点和底面求体积，即可求解. 【详解】 如图，因为为的中点，为棱的三等分点（靠近点）， 所以取为棱的六等分点（靠近点），则，即四点共面， 所以过三点的截面为平行四边形 则， 又因为，所以 故答案为：3． （2025·山东聊城·一模）点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 __________，______小试牛刀3    【答案】 / 【分析】延长交的延长线于点，可知截面为四边形；可证得为中点，得到；结合知，由此可求得；设四边形的面积为，可得，由可推导得到. 【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则平面截三棱柱所得截面为四边形．     ，为的中点， ≌，为的中点， 的面积. ，， 的面积为， . 设四边形的面积为， 的面积为， 五棱锥的体积为， 连接，则三棱锥的体积为， 故，， . 故答案为：；. 【题型6：由截面求其他量】 【练方法】 核心解题方法 1求截面与棱的夹角：利用截面的边与棱的位置关系构造直角三角形计算线线角 2求截面与底面的二面角：找到截面与底面的交线在两个面内分别作交线的垂线得到二面角的平面角再计算角度 3求截面的高或斜高：利用截面的形状构造直角三角形计算截面多边形的高或斜高 4关键技巧： 截面与底面平行时截面与底面的夹角为0°截面为相似图形 截面与底面垂直时截面的边与底面的交线垂直可直接构造直角三角形 利用截面的对称性简化角度或长度的计算 （24-25高一下·河南郑州·月考）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则____经典例题1例题 【答案】2 【分析】延长直线、，交于点，平面变为，连接，交于点，再根据三角形中线的性质，求的值. 【详解】延长、，交于点，连接，交于点， ，且，可得点、分别是、的中点， 又点是的中点，和是的中线， 点是的重心，所以.    故答案为： （23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ）经典例题2例题 A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C （2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）小试牛刀1    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. （24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）小试牛刀2    A．10 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A.    （2022·贵州毕节·三模）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于，利用平面的基本性质可得直线即为直线，然后利用正方体的性质可得，即得. 【详解】延长交的延长线于，连接交于， ∵平面，平面，平面平面， ∴，故直线即为直线， 取的中点，连接，又点，分别是棱，的中点， ∴， ∴，， ∴，即. 故选：B. 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（    ）    A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．上述三种图形以外的平面图形 【答案】B 【分析】根据长方体的结构特征及平面的基本性质，想象一个平面截长方体所得截面的可能情况即可得答案. 【详解】由长方体任意相对的两个平面都平行，用一个平面截取长方体时，相对的两个平面所得的线段必平行，即截面必为平行四边形； 若截面与任意侧面都不垂直时，所得截面不可能出现直角，故不一定为矩形； 所以四边形的形状为平行四边形. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 3．（2023·四川南充·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】根据，分别是，的中点，得到，利用正方体的结构特征，有，从而有，由平面的基本性质得到在同一平面内，截面是等腰梯形，再利用梯形面积公式求解. 【详解】由题知连接，，，如图所示 因为分别是的中点，所以， 在正方体中，所以， 所以在同一平面内， 所以平面截该正方体所得的截面为平面，因为正方体的棱长为， 所以，，， 则到的距离为等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确. 故选：B. 4．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示， 过点作于点，因为， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示： 过于点，于点，连接， 由对称性可知， 所以， 而， 所以， 所以，同理， 分别在棱上取点，使得， 易得， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 5．（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化成点到直线上的点的距离垂线段最短解决. 【详解】如图： 根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点. 点在上，在线段上取点，使得. 根据正方形的对称性，则，所以， 表示点沿着折线到直线的距离. 取的中点，则，根据垂线段最短可得：. 所以的最小值为. 故选：A 6．（2025·湖南永州·模拟预测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果. 【详解】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 在长方体中，，所以， 所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 7．（2024·山西晋城·一模）如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则（    ） A．的体积为2 B．的体积为12 C．的外接球的表面积为 D．平面截该正四棱柱所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】根据题意求截面，可知为直三棱柱，进而可求相应的体积，即可判断AB；利用补形法结合长方体的性质求外接球的半径和表面积，即可得判断C；可知平面截该正四棱柱所得截面为矩形，即可得面积判断D. 【详解】设， 连接，，， 由长方体的性质可知：，可知A，，，四点共面， 所以为直三棱柱，其体积为，故A正确； 的体积为 ，B错误． 的外接球即为长方体的外接球， 所以的外接球的半径， 则的外接球的表面积为，C正确． 平面截该正四棱柱所得截面为矩形，其面积为，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 8．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为______. 【答案】 【分析】在上取靠近D的四等分点，连接CF易得，故，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，进而易求其周长. 【详解】如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG.因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.    故答案为： 9．（23-24高一下·广东东莞·期中）在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为____________． 【答案】18 【分析】取的中点，连接，则梯形为过三点的截面，然后求解其面积即可. 【详解】取的中点，连接， 因为为的中点，所以‖，， 因为‖，，所以‖，， 所以四点共面，即过三点的截面为梯形， 因为正方体的棱长为4， 所以， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故答案为：18 10．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 11．（23-24高二上·广东江门·月考）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过B，D，P三点截面的面积为_______. 【答案】 【分析】取的中点，连接，，结合中位线、正四棱台的性质证截面为等腰梯形，再根据已知求截面的面积即可. 【详解】取的中点，连接，，则，，又， 则，根据正四棱台的性质得，则为等腰梯形， 即过B，D，P三点截面为等腰梯形. 取的中点，连接， 在等腰梯形中，，，，， 则，， 在等腰梯形中，，， 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积.    故答案为： 12．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到平面截该四棱柱所得截面为五边形，求出各边边长，相加得到答案. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点， 所以，，， 因为∽，，故，， 在上取点，连接，则， 同理可知，所以四边形为平行四边形， 故四点共面， 则平面截该四棱柱所得的截面为五边形， ，， 同理， 故截面周长为. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·月考）正方体的棱长为x，点M是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为___________. 【答案】 【分析】画出截面图形，由梯形的面积计算即可. 【详解】取中点，延长交于点， 如图，四边形的面积即为所求，是一个等腰梯形，由几何关系可得为的中位线， 则，，， 设梯形的高为则， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一下·河北承德·期中）在棱长为3的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为________． 【答案】 【分析】作出截面，借助平行线分线段成比例定理计算相关线段长，再结合勾股定理求出周长. 【详解】如图，画直线交的延长线分别于点，连接交于点， 交延长线于点，连接交分别于点，连接， 则六边形即为过点，，的截面，由为棱上靠近点的三等分点， 得，即，由，得点为上靠近点的三等分点，即， 由，得，，由， 得，即，由，得， 由勾股定理得，，同理得， 所以截面图形的周长为． 故答案为：． 15．（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $